Simplification d epressions contenant des valeurs absolues & applications Rappelons la définition de la valeur absolue : si 0 ( R ) si 0 En d autres termes, la valeur absolue d un réel positif est ce réel, la valeur absolue d un réel négatif est l opposé de ce réel Par eemple : 3 3, car 3 0 et 3 ( 3) 3, car 3 0 Une conséquence immédiate de la définition est la propriété essentielle de la valeur absolue : ( R ) 0 Lorsque vous rencontrez des epressions algébriques contenant des valeurs absolues, il est très souvent nécessaire d éliminer les valeurs absolues Pour cela, on discute toujours en utilisant la définition a) Nous commençons par étudier des epressions contenant une seule valeur absolue Par eemple : 4 si 4 0 c-àd si 4 + 4 si 4 0 c-àd si Il est pratique de faire la simplification dans un tableau : + 4 0 + 4 + 4 0 4 On écrit l opposé de l epression entre là où elle est On écrit l epression entre où elle est + là
La ligne dans le tableau qui contient le signe de 4 car on connaît la : est en fait superflue Règle du signe d un binôme a +b du er degré ( a 0 ) : Le signe de a se trouve toujours à droite du zéro Dans la suite, on fera donc directement le tableau de simplification suivant : + 4 + 4 0 4 De même, par eemple pour simplifier 3, on obtient : 3 + 3 3 0 3 Rappelons également la : Règle du signe d un trinôme a + b + c du e degré ( a 0 ) : Le signe de a est partout, sauf entre les racines Donc, par eemple, pour simplifier 6 7, on détermine d abord les racines du trinôme, qui sont simplification suivant : et 7, puis on obtient le tableau de - 7 + 6 7 6 7 0 + 6 + 7 0 6 7 Autre eemple : 3 3 + 4 9 9 4 0 4 9 0 9 4 Eercice Ecrire sans valeur absolue à l aide d un tableau les epressions suivantes : a) 4 b) e) 3 4 + 3 + 35 f) ( + 5) g) + 8 c) d) 5 + 3 b) Lorsque une epression contient plusieurs valeurs absolues, il faut compter une ligne par valeur absolue dans le tableau Par eemple, soit la fonction : f ( ) 5 4 3,
définie sur R En combinant les deu premiers tableau ci-dessus, on obtient le tableau de simplification suivant : 3 + 4 + 4 0 4 4 3 3 3 0 3 f ( ) Remarques : 5 ( + 4) ( 3 ) 9 + 7 5 ( 4) ( 3 ) 3 0 5 ( 4) ( 3) 9 7 a) Les valeurs et 3 de la re ligne du tableau sont parfois appelées valeurs critiques de f ( ) En effet, pour ces valeurs-là, l une ou l autre valeur absolue change d epression et donc aussi f ( ) b) On remarque que f 9 + 7 ou f () 3 De même : f ( 3) 3 3 0 ou f ( 3) 9 3 7 0 On peut donc prendre soit l epression à gauche soit l epression à droite dans le tableau! (Ceci provient de raisons de continuité, que vous ne comprenez pas encore pour le moment Patience ) Eercice Ecrire sans valeur absolue à l aide d un tableau les fonctions suivantes : a) g( ) + 3 b) h( ) 3 + 5 k c) (Attention au domaine ici!) 4 c) Applications Les tableau de simplification précédents servent dans beaucoup de situations ou interviennent des valeurs absolues : résolution d équations et d inéquations, représentation graphique de fonctions, calcul de limites Illustrons cela à l aide de l eemple précédent : 9 + 7 si f ( ) 5 4 3 3 si 3 9 7 si 3 f est une fonction affine par morceau : son graphe est constitué de morceau de droites c-à-d de segments et de demi-droites :
y f Graphiquement on observe que l équation sont les abscisses des deu points algébriquement cette équation : f ( ) 5 a deu solutions Ce bleus sur la figure Résolvons er cas : Alors : 4 f 5 9 + 7 5 9 3 Cette valeur étant bien, on l accepte comme solution e cas : 3 Alors : 8 f 5 3 5 8 Cette valeur étant bien comprise entre et 3, on l accepte comme solution 3 e cas : 3 Alors : f 5 9 7 5 9 9 Cette valeur doit être écartée car elle est < 3 Finalement : S { 4, 8 } 3 Pour les inéquations, on procède de façon analogue Eercice 3 Résoudre algébriquement l inéquation fonction précédente Réponse : f ( ) 5 où f est la er cas : Alors : 4 f 5 9 + 7 5 9 3 4 S [ 3,] e cas : 3 Alors : 8 f 5 3 5 8 8 S [, ] 3 e cas : 3 Alors : f 5 9 7 5 9 Il est impossible d avoir à la fois 3 et 9 Donc : S 3 9
4 8 Ainsi : S S S S [ ] 3 3, Pour terminer, appliquons la simplification de f ( ) à un calcul de limites : lim ( 9 + 7) 8 + 7, lim ( 3) 3, + + Donc : De même : lim ( 3) 3 3 0, 3 3 lim ( 9 7) 9 3 7 0, + + 3 3 Donc : 0 3 Eercice résolu 4 () Quel est le domaine de la fonction g :? + 3 () Ecrire g( ) sans valeur absolue sur son domaine (3) Déterminer limg( ), lim g( ) et interpréter graphiquement 7 Réponse () CE : + 3 0 + 3 ( ) + 3 ( ) et + 3 ( ) + 6 3 et + 6+ 3 et 7 Donc : D g R \{,7} () Simplifions d abord le dénominateur de g( ) : a b a b a b a b ou a b + + 0 + + 0 + 3 3 ( ) 7 3 ( ) 5 + 5( ) + 5 3 ( ) + 7 Donc :
+ g( ) 0 7 5 5 5, + 7, si si 7 (3) lim g( ) lim lim 5( ) 5 lim g 7 7 ; 5 6 lim +, + 7 0 + lim g 7 7 6 lim, + 7 0 + + 0 + + 7 + 0 lim g( ) n'eiste pas 7 Interprétation graphique : La courbe représentative de g admet un trou en (, et une AV d équation 7 ) 5 Eercice résolu 5 Soit f ( ) () Quel est le domaine de la fonction f? () Etudier la parité de f (3) Ecrire f ( ) sans valeur absolue sur son domaine (4) Déterminer, et interpréter graphiquement Réponse () CE : 0 et Donc : Df R \{,} () f est une fonction paire, car : f f f D ( ) (3) Les valeurs critiques sont, 0 et Comme f est paire, il suffit de R + l étudier sur D où le tableau de simplification :
0 + 0 0 f ( ) 0 ( ) ( )( + ) + / ( ) ( )( + ) + (4) lim, + lim, + + + C f admet un «saut» en l abscisse n'eiste pas Comme f est paire, on obtient les limites en - par symétrie du graphe :, C f admet un «saut» en, + l abscisse - n'eiste pas