Introduction à la géostatistique

Intitut National Agronomique de Pari-Grignon Introduction à la géotatitique Gille Guillot janvier 2004

Ce note correpondent à un cour de géotatitique dipené en deuxième année à L INA-PG. Il agit d un cour d introduction, d un volume total de douze eure, dan le cadre d un module d Agriculture de Préciion. Ce cour n a pa l ambition d aborder réellement le problème de modéliation en tatitique patiale poé par l Agriculture de Préciion, qui pour la plupart ont de problème ouvert. Toutefoi, dan la meure du poible, le notion introduite ont illutrée à l aide de donnée agronomique collectée par l unité Environnement et Grande Culture ur la parcelle expérimentale de Pont- Cailloux à Grignon.

TABLE DES MATIÈRES Table de matière 1 Introduction 4 2 Métode exploratoire 5 2.1 Quelque point de vocabulaire........................ 5 2.2 Ditribution monovariable........................... 5 2.3 Répartition patiale............................... 5 2.4 Nuée variograpique.............................. 6 3 Fonction aléatoire, tationnarité, covariance 6 3.1 Fonction aléatoire................................ 6 3.2 Fonction de covariance............................. 8 3.3 Stationnarité.................................. 8 3.4 Variogramme.................................. 9 3.5 Fonction de tructure empirique....................... 10 4 L ajutement d une fonction de tructure téorique 11 4.1 Introduction................................... 11 4.2 Famille paramétrique de covariance..................... 11 4.3 Métode d ajutement............................. 14 5 Interpolation linéaire an biai de variance minimale : le krigeage 15 5.1 Objectif du krigeage.............................. 15 5.2 Calcul de poid de krigeage.......................... 15 5.2.1 Le krigeage imple........................... 16 5.2.2 Le krigeage ordinaire.......................... 16 5.3 Évaluation de l erreur : la variance de krigeage................ 17 5.4 Analogie et différence avec le tecnique du modèle linéaire....... 17 5.5 Comportement de poid de krigeage..................... 17 5.6 Comportement de la courbe Z KS () et influence de la fonction de covariance ur le etimation............................... 21 5.7 Une propriété probabilite du krigeage.................... 26 5.8 Quelque application utile du krigeage................... 26 5.9 Quelque application à procrire....................... 26 6 Le logiciel 26 7 Code R permettant de fabriquer le exemple 28 3

1 INTRODUCTION 1 Introduction Dan le année 50, de ingénieur de mine ud-africain faiaient de calcul pour évaluer le reource en minerai d un giement à partir d un petit nombre de ondage prélevé en de ite irrégulièrement réparti dan le domaine d étude. Dan ce contexte, la quantité d intérêt (la réerve totale diponible) était inconnue et traitée comme une variable aléatoire. Mai il était impoible d aimiler le teneur meurée aux différent ite ondé à de réaliation de variable aléatoire indépendante. En effet i on uppoe une indépendance tatitique entre le meure réaliée entre différent point de l epace, la meilleur prédiction que l on peut faire de la teneur en un ite non informé (i.e où l on n a pa réalié de ondage) et d attribuer la moyenne de l écantillon. On ent bien que cette olution a quelque coe de ou-optimal, en particulier il emble ouaitable d utilier une métode qui donne plu de poid aux ite proce qu aux autre point de meure. Cette ituation : (i) un formalime probabilite pour repréenter de quantité inconnue (ii) l impoibilité de uppoer une indépendance entre le donnée, (iii) l exitence d une tructuration de la variable étudiée par rapport aux coordonnée d epace et caractéritique de la tatitique patiale. Quand le meure ont réaliée en de ite irrégulièrement epacé coii par l expérimentateur (on dit alor que la poition de ite et non informative), on e trouve exactement dan la ituation du problème d évaluation d un giement, qui a donné lieu à de nombreux développement métodologique : la Géotatitique. Il arrive que le ite de meure oient régulièrement epacé ur une grille par exemple lorque la meure et réaliée par un atellite. Cette régularité géométrique apporte de nombreue implification mai elle accompagne d une complication : le donnée régulière ont en général fournie en trè grand nombre (typiquement 128 128 pixel) et il faut e limiter à de modèle pour lequel le calcul ont ne ont pa trop complexe. C et préciément l objet de tecnique tatitique d Analye d Image. Il exite enfin de ituation où la poition de ite de meure et une de variable du problème à modélier. On peut pener par exemple au problème de l évaluation de la quantité de boi d une parcelle foretière à partir d un relevé de la poition et du volume de quelque arbre de la parcelle. L évaluation du volume total pae néceairement par une évaluation de la poition (inconnue) de arbre non meuré. Ce type de ituation et abordé à l aide de modèle pécifique : le proceu aléatoire ponctuel. Cacun de troi domaine de la tatitique patiale et trè vate et eul quelque apect eront évoqué. Tout d abord on exclu tou le apect lié aux proceu ponctuel aini que le tecnique d analye d image. On n abordera pa non plu le problème non linéaire, le métode aociée aux ditribution dicrète, et le problème de claification qui eraient trè intéreant dan le cadre d un cour orienté ver l agronomie mai qui ont matématiqement plu complexe et demanderaient plu de temp. L objectif de ce cour d introduction et donc implement de donner une idée de problème qui e poent quand on doit traiter de donnée patiale, d introduire le notion géotatitique decriptive de bae (tationnarité, variogramme) et de le utilier 4

2 MÉTHODES EXPLORATOIRES pour calculer de interpolation (krigeage). 2 Métode exploratoire 2.1 Quelque point de vocabulaire En général un jeu de donnée patiale e préente ou la forme d une lite de valeur numérique z = (z 1,..., z n ) t (la variable) et de coordonnée de ite ( 1,..., n ) auxquelle la variable a été meurée. Quand on réalie une meure pyique, cette meure et aociée à une longueur, une urface ou un volume élémentaire. Par exemple on peut meurer la pluie avec un pluviomètre qui donne la auteur d eau tombée ur une urface d environ 400cm 2, meurer une teneur en minerai dan le ol avec une carotte de 500cm 3. Ce longueur, urface, volume, élémentaire contituent ce que l on appelle le upport de la meure. Une meure réaliée à upport patial donné peut être réaliée à différent upport temporel. Par exemple, on peut meurer la pluie avec un pluviogrape pendant une journée et en déduire la pluie moyenne ur la journée ou la pluie maximale ur la journée. Il agit de deux variable ditincte qui auront de propriété géotatitique trè différente. Lorqu on cerce à déduire le propriété tatitique d une variable à un certain upport à partir de cette même variable à un autre upport, on dit qu on réalie un cangement de upport. Il ne faut pa confondre la notion de upport avec la notion d écelle qui déigne quelquecoe de beaucoup plu vague elon le contexte. Il peut agir de la taille du dommaine étudié ou du upport temporel de la meure. 2.2 Ditribution monovariable Avant d enviager quoi que e oit il et bon de repréenter l itogramme de z, ce qui permet d évaluer à quel point la ditribution écarte d une loi gauienne. On verra par la uite que beaucoup de métode atteignent une efficiacité maximale lorque la ditribution de z et celle d un vecteur multi-gauien, ce qui uppoe entre autre que la ditribution marginale oit gauienne. L écart au caractère gauien peut e manifeter par - une diymmétrie - un enemble de valeur poible borné - une accumulation de valeur en un (ou pluieur) point (ditribution atomique) 2.3 Répartition patiale Cette inpection trè partielle de la ditribution de z doit être complétée par une étude de la répartition patiale de valeur de z. On peut le faire en traçant un ymbol plot dan lequel on repréente en caque ite un ymbole (croix, étoile, cercle) dont la taille et proportionnele à la valeur obervée z i. L examen de ce ymbol plot permet de détecter (de manière qualitative encore) la préence de variation ytématique dan le donnée, on parlera de tendance ou de dérive. 5

6000 0 2000 4000 Squarred difference of dept (cm^2) 200 100 0 Norting(m) 300 8000 3 FONCTIONS ALE ATOIRES, STATIONNARITE, COVARIANCE 0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500 600 Ditance Eating (m) Fig. 1 Droite : Profondeur de ol en 222 point de la parcelle de Pont-Cailloux. Le rayon du cercle et proportionnel a la profondeur meure e. Ce profondeur ont aez e te roge ne. Gauce : nue e variograpique La figure 1 donne le profondeur de ol en 222 point irre gulie rement epace de la parcelle expe rimentale de Pont-Cailloux a Grignon. Le valeur ont aez e te roge ne mai aucune tendance re gulie re ne e manifete. 2.4 Nue e variograpique A ce tade, on ne et pa encore pre occupe de l e ventuelle de pendance entre le donne e. C et ce que l on fait en contruiant ce que l on appelle la nue e variograpique. Il agit du nuage de point forme par le couple (i j ), (zi zj )2. Ce nuage pre ente l allure de figure 1(gauce) et 2 (en ba a droite). La nue e variograpique de profondeur de ol (figure 1) ne fait pa apparaitre de liaion entre l e cart (zi zj )2 /2 et la ditance correpondante. En revance, la diffe rence quadratique γij = (zi zj )2 /2 de re itivite a tendance a croitre en fonction de la ditance ij = i j. Autrement dit, le paire de valeur de z meure e en de ite ge ograpiquement proce ont tendance a e tre plu imilaire que celle meure e en de ite e loigne. C et ce genre de comportement qui fait qu on doit rejeter l ypote e d inde pendance entre le donne e. En effet, dan le ca d un e cantillon i.i.d le γij eraient de variable ale atoire de me me loi et de me me variance. 3 3.1 Fonction ale atoire, tationnarite, covariance Fonction ale atoire La quetion qui e poe maintenant et de mode lier la ditribution tatitique de l e cantillon z1,..., zn. Dan le ca d un e cantillon i.i.d, la caracte riation et facile, il uffit de pe cifier une fonction de re partition (commune a toute le v.a de l e cantillon). 6

3 FONCTIONS ALE ATOIRES, STATIONNARITE, COVARIANCE 60 Frequency 40 200 0 0 20 100 Norting (m) 300 80 400 100 Meaurement ite of reitivity (july 2002) 0 100 200 300 400 0 500 50 100 150 200 Reitivity (Ω.m 3) 30000 20000 0 10000 200 100 0 Norting (m) 300 Mean quared difference (Ω2m 6) 400 40000 Eating (m) 0 100 200 300 400 500 0 Eating (m) 100 200 300 400 500 600 ditance (m) Fig. 2 De aut en ba et de gauce a droite : trajectoire du tracteur lor de 8235 meure de re itivite (le blanc correpondent a de zone non viite e ou a de dyfonctionnement du GPS au moment du paage ; itogramme de re itivite ; ymbol plot (rayon ρ2 ) ; nue e variograpique. 7

3 FONCTIONS ALÉATOIRES, STATIONNARITÉ, COVARIANCE Ici c et beaucoup plu difficile parcequ en toute généralité, il faudrait pécifier comment et ditribué caque Z i, caque couple (Z i, Z j ), caque triplet etc... Mai il e trouve que l on peut décrire la ditribution patiale d un écantillon de manière aez précie dan le ca où la ditribution tatitique de la variable préente une forme d invariance par tranlation dan l epace. Pour précier cette notion, il era commode de pouvoir faire référence à de valeur de la variable en tout point de l epace. Noton z() la valeur de notre variable (meurée ou non) au point de coordonnée. Comme z 1,..., z n, cette grandeur et une réaliation d une variable aléatoire. On définit aini en tout point une variable aléatoire Z(). On dit que Z et une fonction aléatoire. Cette notation permet de faire le lien à la foi avec le notation abituelle en tatitique (la variable n et plu indéxée par le entier 1, 2,... mai par le point de l epace où on l oberve), et avec le notation de la pyique (on pourra par exemple calculer le dérivée 1 Z() et 2 Z() de notre variable par rapport à une coordonnée d epace). 3.2 Fonction de covariance On peut décrire partiellement la ditribution tatitique d une fonction aléatoire via de moment d ordre un et deux tel que l epérance et la covariance (qui ont ici de fonction de coordonnée d epace) défini par µ() = E[Z()] (1) La covariance atifait deux propriété importante : Symétrie : C(, ) = C(, ) C(, ) = Cov[Z(), Z( )] (2) Défini-poitivité : Conidéron par exemple la variance d une omme du type V ar[ À l aide de C elle écrit n λ i Z i ]. i=1 λ i λ j C( i, j ). (3) i,j En tant que variance, cette omme doit être poitive, ceci quel que oient le λ i, ce qui exprime que la fontion C et une fonction de type poitif. 3.3 Stationnarité On dit qu une fonction aléatoire Z() et tationnaire à l ordre 1 i on epérance et la même en tout point de l epace, oit formellement : m R / E[Z()] = m m (4) 8

3 FONCTIONS ALÉATOIRES, STATIONNARITÉ, COVARIANCE On dit que Z() et tationnaire à l ordre 2 i l epérance et la covariance ont invariant par tranlation : C / Cov[Z(), Z( )] = C( ), (5) Lorque le ypotèe (4) et (5) ont vérifiée, la decription de la ditribution tatitique de Z en trouve conidérablement implifiée. Tou le moment d ordre deux e déduient de la fonction de covariance C() = C( ) et de la moyenne m. En toute généralité, une fonction de covariance et définie pour tou le couple,. Lorque Z et tationnaire, la fonction de covariance e réduit à une fonction d une eule variable d epace, ce que l on note abuivement C(, ) = C( ) = C(). Il arrive que cette fonction C ne dépendent pa non plu de la direction du vecteur, mai eulement de a norme : C() = C( ). Ceci exprime que la variable n et pa tructurée elon de direction préférentielle, on dit que Z et C ont iotrope. Dan le ca contraire, on dit que Z et C ont aniotrope. Il e trouve que l yptoèe de tationnarité contitue ouvent en première approximation un bon compromi entre fidélité aux donnée et implicité matématique. Mai bien ouvent, cette ypotèe et faite d emblée ur le donnée car il et difficile de la teter efficacement. On cerce enuite le moin mauvai modèle dan ce cadre implificateur. La notion de tationnarité et illutrée par le figure?? et?? qui préentent de exemple de proceu (imulé par ordinateur) tationnaire et non tationnaire. L impreion viuelle d invariance par tranlation de l apect général de caque trajectoire et trè dépendante de la largeur de la fenêtre d obervation. La figure?? montre de réaliation de proceu tationnaire avec de paramètre d écelle variable. La figure?? préente de réaliation de proceu non tationnaire ayant tou le même paramètre d écelle. On voit qu une trajectoire tationnaire peut paraitre non tationnaire et vice vera. La notion de tationnarité appliquée à un nombre limité de réaliation n a de en qu en référence à un modèle particulier. La quetion à e poer et donc : étant donné un modèle de dépendance et un modèle de tendance (ce modèle étant en général coii par de conidération a priori ur le pénomène étudié), l ypotèe de tationnarité et-elle raionnable? 3.4 Variogramme Dan la continuité d un cour de tatitique, il était naturel de commencer par introduire la fonction de covariance C puiqu elle généralie la notion de matrice covariance d un vecteur aléatoire, mai il e trouve que l uage géotatitique a conacré ce que l on appelle le variogramme. Celui-ci et défini par : γ(, ) = 1 2 V ar[z() Z( )] (6) Un calcul imple montre qu il et relié à la covariance par la relation : γ(, ) = 1 2 [C(, ) + C(, )] C(, ) (7) Aini, d un point vue téorique il et équivalent de connaitre la covariance ou le variogramme de la variable étudiée. L uage courant confond ouvent ce deux fonction en déignant l une et l autre par fonction de tructure. 9

3 FONCTIONS ALÉATOIRES, STATIONNARITÉ, COVARIANCE Mean quared difference (cm 2 ) 0 100 200 300 20 40 60 80 Ditance (m) Fig. 3 Variogramme empirique de profondeur de ol. L écart quadratique moyen ne emble pa dépendre de la ditance qui épare le point. La variable n et pa tructurée patialement Dan le ca où Z et tationnaire d ordre deux, cette relation e implifie en Dan le ca tationnaire, le variogramme écrit γ() = C(0) C() (8) γ() = 1 2 E [ (z() Z( + )) 2] + (µ() µ( + )) 2 (9) Le terme µ() µ( + ) et appelé dérive de Z. 3.5 Fonction de tructure empirique On peut faire le lien entre ce notion téorique et le nuée variograpique empirique obervée (figure 1 et 2). Définion la covariance empirique par C () = 1 z i z j z 2 (10) n i, j S où z = i z i, et (en uppoant que la dérive et nulle), le variogramme empirique par γ () = 1 2n i, j S (z i z j ) 2 (11) où S = {( i, j ) : i j } et n = Card S. De exemple de variogramme empirique ont préenté aux figure 3 et 6 Ce deux quantité permettent d etimer repectivement C et γ lorque Z et tationnaire d ordre deux. 10

4 L AJUSTEMENT D UNE FONCTION DE STRUCTURE THÉORIQUE 4 L ajutement d une fonction de tructure téorique 4.1 Introduction On a vu que le fonction C et γ calculée empiriquement permettaient d etimer le fonction téorique ou-jacente C et γ. Mai ce fonction empirique ne ont pa totalement atifaiante pour pluieur raion : Ce courbe empirique ont ouvent aez erratique, il et donc difficile de réumer en quelque mot comment elle e comportent On a vu qu une fonction de covariance téorique atifaiait la propriété de définipoitivité, condition qui n et pa aurée par la covariance empirique. On réoud ce deux problème en ubtituant à la fonction de tructure empirique une fonction appartenent à une famille paramétrique imple de fonction défini-poitive. 4.2 Famille paramétrique de covariance Il exite un catalogue de modèle paramétrique dont la défini-poitivité et établie et dont caque famille correpond à un comportement type (Cf figure 4 et 5). En voici quelque exemple imple (Cf [1, 5] pour une lite plu complète) : Le modèle pépitique pur ρ() = I 0 () Cette tructure et en fait une abence de tructure et peut interpréter comme une erreur de meure, comme un bruit ou parfoi comme une manière commode de prendre en compte un pénomène trucuturé à une écelle non réolue par le donnée. Le modèle exponentiel ρ() = exp( /a) Dan ce modèle, la décroiance de la covariance et linéaire à l origine et décroit trè rapidement aux grande valaur de an jamai annuller. Le modèle gauien ρ() = exp( /a) 2 Ici la décroiance à l origine et trè lente (le dérivée en 0 ont nulle à tou le ordre) ce qui donne une allure trè lie aux réaliation correpondante. Le deux dernier modèle dépendent d un paramètre d écelle a qui gouverne l intenité de la dépendance patiale. Plu a et élevé, plu dépendance e propage à longue ditance. Le troi modèle correpondent à une fonction aléatoire de variance unité (ρ(0) = 1). On obtient un modèle de variance quelquonque en multipliant un modèle normé par une variance σ 2 : C() = σ 2 ρ(). Un calcul imple montre que σ 2 et la limite du variogramme en +, cette valeur et appelée palier du variogramme. Enfin, i C 1 et C 2 ont deux fonction de covariance, alor pour tout réel poitif a 1 et a 2, a 1 C 1 + a 2 C 2 et aui une fonction de covariance. C et la covariance de a 1 Y 1 + a 2 Y 2 où Y 1 (rep. Y 2 ) et une fonction aléatoire de cov. C 1 (rep. C 2 ). En particulier, on utilie trè ouvent le modèle uivant : C() = σ 2 I pep () + C () où C et une covariance continue à l origine (par exemple exponentielle ou gauienne). Ceci 11

4 L AJUSTEMENT D UNE FONCTION DE STRUCTURE THÉORIQUE Mean quared difference ρ() = exp( 0.1) Mean quared difference ρ() = exp( 0.5) ditance ditance Mean quared difference ρ() = exp( ( 0.2) 2 ) Mean quared difference ρ() = 0.1Il() + 0.9exp( ( 0.2) 2 ) ditance ditance Fig. 4 Quatre fonction de covariance uuelle. De aut en ba et de gauce à droite : exponentielle avec deux portée différente, gauienne, gauienne avec pépite 12

0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 L AJUSTEMENT D UNE FONCTION DE STRUCTURE THE ORIQUE 0.2 13 Fig. 5 Re aliation de fonction ale atoire aocie e aux covariance de la figure 4. 0.0

4 L AJUSTEMENT D UNE FONCTION DE STRUCTURE THÉORIQUE revient à décompoer la variable étudiée en un terme patialement tructuré et un terme patialement non tructuré (Cf figure 6) 4.3 Métode d ajutement Pour etimer le paramètre de la covariance téorique on commence par coiir une famille paramétrique imple, (en général de combinaion linéaire à coefficient poitif du type C() = σ 2 I pep () + C ()), pui on etime le deux ou troi paramètre réel mi en jeu par l une de troi manière uivante : Ajutement à la main C et la métode la plu imple, on coiit le paramètre du modèle de manière à obtenir le meilleur ajutement viuel, en portant une attention particulière (par ordre décroiant d importance) au comportement à l origine au comportement aux petite ditance (linéaire, parabolique) à la ditance à laquelle le comportement e tabilie (Cf figure 6) Moinde carré On minimie par rapport au paramètre inconnu θ la omme de erreur quadratique (γ () γ()) 2 Comme cette métode donne un poid égal à toute le clae de ditance, elle donne de mauvai réultat. On lui préfère la minimiation du critère uivant : (γ () γ()) 2 w() où w() et une fonction plu ou moin arbitraire qui donne beaucoup de poid à l origine et peu aux grande ditance. Vraiemblance Si on e donne une loi de probabilité paramétrique pour le vecteur aléatoire (Z 1,...Z n ) t, on peut écrire la vraiemblance de l écantillon L(z 1,..., z n θ) et la maximier par rapport à θ. Conceptuellement c et la métode al plu atifaiante, néanmoin elle a troi inconvénient : La métode repoe fortement ur l ypotèe ditributionnelle (en général la multinormalité), elle produit parfoi de olution bizarre, de plu on n a pa de olution explicite, il faut maximier numériquement, enfin la olution et parfoi biaiée. On et parfoi urpri du manque de formaliation qui prévaut dan le métode d etimation de paramètre Il y a deux raion à cela : tout d abord le métode abituelle (moindre carré, maximum de vraiemblance) ne marcent pa toujour trè bien enuite le développement de métode géotatitique ont été fortement guidée par de problème concret au cour dequel le géotatiticien dipoaient d information extérieure (ou a priori) ur le pénomène qu il étudiaient, d où la néceité 14

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE 0 50 100 150 Mean quared difference (Ω 2 m 6 ) 0 50 100 150 200 250 300 0 5 10 15 20 0 100 200 300 400 500 Ditance (m) Fig. 6 Variogramme expérimental de la réitivité et variogramme téorique exponentielpépitique de la forme γ() = αi 0 () + (1 α)(1 e /a ) avec α = 0, 1 et a = 30m. L effet de pépite prend en carge 10% dela variance et le corrélation ont trè faible au-delà de =100m. Le zoom à gauce met en évidence la dicontinuité à l origine qu on peut imputer à une erreur de meure non auto-corrélée où à une tructure à trè petite écelle non obervable à partir du emi de point diponible. de conerver une certaine flexibilité aux tecnique d inférence pour pouvoir inclure cette information a priori plu ou moin ubjective. 5 Interpolation linéaire an biai de variance minimale : le krigeage 5.1 Objectif du krigeage Un problème qui e poe trè ouvent dan le quetion environnementale et celui de l etimation d une valeur non meurée : à partir d un l écantillon z 1,..., z n, comment évaluer la valeur qu on aurait trouvé au ite 0 i on l avait meurée. Pour réoudre ce problème on va uppoer que le z i ont le valeur aux point i de la réaliation d un fonction aléatoire de fonction de covariance C connue. 5.2 Calcul de poid de krigeage Il peut embler naturel de cercer un etimateur de Z( 0 ) de la forme n Ẑ( 0 ) = λ i Z( i ) (12) i=1 Un tel etimateur et tatitiquement atifaiant il et an biai et i la variance de l erreur commie et faible. 15

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE On va donc cercer de poid λ i qui aurent un biai nul et qui minimient la variance. Ceci écrit : 5.2.1 Le krigeage imple E[Ẑ 0 Z 0 ] = 0 (13) { [ ] } V ar[ẑ 0 Z 0 ] = min V ar λ i Z( i ) Z 0, λ R n Si on uppoe que Z et d epérance nulle, le biai écrit : i (14) E[Z k 0 ] = E[ i λ i Z i ] = i λ i E[Z i ] = 0 (15) La condition (13) et donc automatiquement vérifiée. La deuxième impoe que le poid λ i oient olution du ytème matriciel Cλ = C 0 (16) où par abu de notation, C déigne la matrice de covariance entre le point variable aux point de meure. C et à dire C = (C( i j )) i,j. En notant λ k = C 1 C 0, la olution de notre problème écrit : Z KS ( 0 ) = (Z 1,..., Z n ).λ k (17) Cette expreion et aez commode à manipuler et met en évidence le fait qu on ne doit inverer la matrice C qu une eule foi lorque qu on veut kriger Z en différent point. En revance elle n explicite pa du tout le propriété tatitique et géométrique du krigeage. Celle-ci eront évoquée aux ection 5.5 et 5.7. Si E[Z()] = m où m et non nul mai connu, il uffit d appliquer la tecnique précédente à Y () = Z() m 5.2.2 Le krigeage ordinaire Si on uppoe maintenant que Z et d epérance m inconnue la condition de non biai écrit m λ i = 0 (18) i C et donc un problème de minimiation ou contrainte. Un calcul imple montre que le poid de krigeage doivent être olution du ytème ( ) ( ) C 1 λ 1 t = (19) 0 µ où µ et un multiplicateur de Lagrange du problème de minimiation ou contrainte. 16

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE 5.3 Évaluation de l erreur : la variance de krigeage Le krigeage fournit une valeur etimée en n importe quel point de l epace 0. L erreur commie Z() Z( 0 ) et évidemment inconnue mai on peut évaluer la variance de cette erreur appelée variance de krigeage. Dan le ca du krigegae imple elle écrit : σ 2 KS = C(0) i λ i C( i 0 ) (20) Pour le krigeage ordinaire, on obtient : σ 2 KO = C(0) i λ i C( i 0 ) µ KO (21) où µ KO et la valeur du multiplicateur de Lagrange dan la olution du ytème (19). 5.4 Analogie et différence avec le tecnique du modèle linéaire Il et clair que le expreion matématique employée dan le problème d interpolation ont aez imilaire à celle utiliée dan le cadre du modèle linéaire. Cette impreion n et pa fortuite : il agit de modèle à l ordre deux pour lequel on utilie de combinaion linéaire de donnée, et on minimie de forme quadratique aociée à de variance. Par exemple, le krigeage imple peut embler équivalent à une régreion multiple de la v.a Z( 0 ) ur le v.a Z( 1 ),..., Z( n ) (cf équation 16). Certain tatiticien ont même récemment poué le ouci de coérence juqu à reformulé certaine métode géotatitique avec le vocabulaire de la téorie du modèle linéaire (généralié)[3]. En fait cette parenté et urtout formelle et il y a de différence notable, en particulier, ne retenir du krigeage que l équation Cλ = C 0 occulte tou l apect patial du problème. 5.5 Comportement de poid de krigeage Il et difficile de décrire de manière générale comment e comportent le poid de krigeage. On peut oberver parfoi de pénomène complexe : effet d écran, effet de relai, effet de trou. Mai de manière générale, on oberve que le poid ont tendance à être faible dan le région où il y a beaucoup de donnée (caque ite prend en carge une fraction de l information apportée par cette le point de cette région. ont tendance à décroitre lorque le point informé éloignent du point non informé (à l infini, plu aucun point n apporte d information). Ce deux propriété ont illutrée par le figure 7, 8, 9 en dimenion 1. On et donné dix point aligné ur le egment [0, 1]. La fonction de covariance et connue. On calcule le poid de krigeage λ 6 aocié à la ixième obervation z 6 dan une etimation de Z() de la forme Z KS () = i λ iz( i ). Ce poid 6 dépend de la poition du point. pour lequel on veut obtenir une etimation. On peut le noter λ 6 () et tracer la courbe, λ 6 () pour variant entre 0 et 1. On oberve un pénomène de décroiance de λ 6 () lorque éloigne de 6. La décroiance et d autant plu rapide que le paramètre d écelle de la fonction de covariance et petit. 17

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE C() lambda C() lambda C() lambda C() lambda Fig. 7 Comportement de poid de krigeage avec modèle de covariance exponentiel an pépite 18

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE C() lambda C() lambda 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 C() lambda 0.0 0.2 0.4 0.6 C() lambda 0.0 0.2 0.4 0.6 Fig. 8 Comportement de poid de krigeage avec modèle de covariance exponentiel pépitique 19

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE C() lambda C() lambda C() lambda 0.2 0.2 0.6 1.0 C() lambda 0.4 0.0 0.4 0.8 Fig. 9 Comportement de poid de krigeage avec modèle de covariance gauien an pépite. 20

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE 5.6 Comportement de la courbe Z KS () et influence de la fonction de covariance ur le etimation Une foi encore, il et trè difficile de dire comment e comporte la courbe Z KS () de manière générale puique cela dépend de donnée, de la covariance coiie et de la géométrie du emi de point informé. Toutefoi quelque propriété ont un caractère aez général : Lorque la fonction de covariance et continue à l origine, le krigeage interpole exactement la fonction aléatoire aux point informé : Ẑ( i) = Z( i ). On dit que le krigeage réalie une interpolation exacte. Le krigeage e rapproce de la moyenne (m dan le ca connu, on etimation quand elle et inconnue) dan le région où il n y a pa donnée La fonction de covariance utiliée dan le krigeage a une influence ur le comportement de la courbe obtenue. Quelque exemple ont donné en dimenion 1 aux figure 10,11, 12 et 13. 21

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 Fig. 10 Comportement de la fonction Z K () avec une fonction de covariance exponentielle et différent paramètre d écelle. C et continue, la courbe krigée pae par le point de donné. 22

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 Fig. 11 Idem fig 10 avec repréentation de la vraie trajectoire. 23

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 Fig. 12 Comportement de la fonction Z K () avec une fonction de covariance gauienne et différent paramètre d écelle. 24

5 INTERPOLATION LINÉAIRE SANS BIAIS DE VARIANCE MINIMALE : LE KRIGEAGE C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 C() Z 1.5 0.5 0.5 1.5 Fig. 13 Conéquence de l introduction d un effet de pépite ur la courbe krigée. C et dicontinue, l ampleur de l écart à la donnée dépend de la variance de l effet de pépite. 25

6 LES LOGICIELS 5.7 Une propriété probabilite du krigeage L erreur de krigeage et non corrélée avec le donnée : Cov[Z() Z K (), Z( i )] = 0 (22) Par conéquent, le krigeage et l erreur de krigeage ont non corrélé : Cov[Z() Z K (), Z K ()] = 0 (23) On peut donc écrire tout camp aléatoire comme la omme de on krigeage et d une erreur non corrélée : Z() = Z K () + σ K U où U et une variable centrée réduite non corrélée à Z(). Cette propriété ouvre la voie à une tecnique de imulation appelée krigeage conditionnant. 5.8 Quelque application utile du krigeage Si l on ouaite évaluer une moyenne patiale ur un domaine du type Z()d, il y D a deux tratégie poible. La première conite à cercer un etimateur de Z()d D ou la forme d une combinaion linéaire de donnée et à minimier la variance d erreur. La deuxième conite à kriger le donnée et calculer (par omme de Riemann) l intégrale de valeur krigée D Z()K ()d. Il e trouve que ce deux tratégie ont équivalente. De manière génrale, i φ(z) et une fonction linéaire de Z il et équivalent de kriger le donnée et d appliquer la tranformation φ au krigeage ou tranformer d abord le donnée et de kriger le donnée tranformée. 5.9 Quelque application à procrire L emploi de la terminologie etimateur optimal pourrait laier croire que le krigeage apporte une olution définitive à toute le quetion. Il n en et rien. Par exemple i l on ouaite évaluer l aire du domaine {, Z() > c}, l etimation baée ur {, Z K () > c} et une etimation biaiée qui ou-etime trè fortement l aire recercée pour le valeur de c élévée. 6 Le logiciel Il exite de trè nombreux logiciel qui propoent du krigeage et d autre tecnique géotatitique. Pour une lite aez détaillée, voir ttp ://www.ai-geotat.org/. A l INA-PG on peut travailler avec : Iati qui a deux avantage : le logiciel et tructuré comme la téorie géotatitique, le menu déroulant propoent de fonctionnalité dan l ordre naturel dan lequel on doit le faire dan une étude réelle ; aini en apprenant à e ervir d Iati, on apprend aui la Géotatitique. 26

6 LES LOGICIELS comme tout et pré-programmé, on ne peut quaiment pa e tromper. Son gro défaut et qu on et prionnier de menu déroulant qui révèlent aez vite leur limite... SAS poède quelque fonction pour faire de la géotatitique linéaire Matlab néceite l intallation de package (à faire oi-même) R offre à la foi la puiance d un interpréteur orienté ver la manipulation de donnée et le traitement tatitique et pluieur package trè bien fait : RandomField ttp ://btgyxd.geo.uni-bayreut.de/ martin field ttp ://www.cgd.ucar.edu/ nycka geor ttp ://www.et.ufpr.br/geor georglm ttp ://www.mat.lanc.ac.uk/ criten/georglm que l on cargent avec la commande library( nom.du.package ) 27

7 CODE R PERMETTANT DE FABRIQUER LES EXEMPLES 7 Code R permettant de fabriquer le exemple #### # Donnée pédologique pedo <- read.table("/ome/guillot/cour/patial/data/pedo.txt", dec=",",ep=";",kip=1) pedo[,1] <- pedo[,1]- min(pedo[,1]) pedo[,2] <- pedo[,2]- min(pedo[,2]) pedo[((pedo[,3] < 0) i.na(pedo[,3])),3] <- NA # legend(locator(1),a.caracter(1:18),pc=0:18) p(were="/ome/guillot/cour/patial/poly/ymb_prof.p",=t) etplot(pedo[,1],pedo[,2]) plot(pedo[,1],pedo[,2], pc=18,xlab="eating (m)",ylab="norting(m)") ymbol(pedo[,1],pedo[,2],circle=pedo[,3],ince=.3,lwd=1.5,add=t,col=2) dev.off() p(were="/ome/guillot/cour/patial/poly/it_prof.p",=t) it(pedo[,3],xlab="dept (cm)",main="",col=3,ncla=15) dev.off() p(were="/ome/guillot/cour/patial/poly/nuee_prof.p",=t) plot(dit(pedo[,1:2]),dit(pedo[,3])^2,xlab="ditance ", ylab="squarred difference of dept (cm^2)",pc=16,cex=.4) dev.off() # Meure de réitivité ro.raw0702 <- read.table("/ome/guillot/projet/agro/data/reit_brute/pc_reit-brute_0702.cv", kip=1,ep=";",dec=",") p(were="/ome/guillot/cour/patial/poly/tractor.p",=t) etplot(ro.raw0702[,1]-min(ro.raw0702[,1]), ro.raw0702[,2]-min(ro.raw0702[,2])) plot(ro.raw0702[,1]-min(ro.raw0702[,1]), ro.raw0702[,2]-min(ro.raw0702[,2]), pc=16, xlab="eating (m)", ylab="norting (m)",cex.lab=1.5,cex=0.5, main="meaurement ite of reitivity (july 2002)") dev.off() # Sélection d un ou-écantillon ub <- ample(1:8235,ize=300) # Nuée variograpique p(were="/ome/guillot/cour/patial/poly/nuee_reit.p",=t) etplot(ro.raw0303[,1]-min(ro.raw0303[,1]), ro.raw0303[,2]-min(ro.raw0303[,2])) 28

7 CODE R PERMETTANT DE FABRIQUER LES EXEMPLES plot(dit(ro.raw0702[ub,1:2]), dit(ro.raw0702[ub,3])^2, xlab="ditance (m)", ylab="quared difference of reitivitie (Om.m)^2", pc=16,cex=0.2,cex.lab=1.5) dev.off() # Hitogramme p(were="/ome/guillot/cour/patial/poly/ito_reit.p",=t) it(ro.raw0702[ub,3],main="",col=3,ncla=70,xlab="reitivity (Om.m)") dev.off() # Symbol plot p(were="/ome/guillot/cour/patial/poly/ymbol_reit.p",=t) etplot(ro.raw0303[,1]-min(ro.raw0303[,1]), ro.raw0303[,2]-min(ro.raw0303[,2])) plot(ro.raw0702[ub,1]-min(ro.raw0702[ub,1]), ro.raw0702[ub,2]-min(ro.raw0702[ub,2]), pc=16,xlab="eating (m)", ylab="norting (m)",cex.lab=1.5,type="n") ymbol(ro.raw0702[ub,1]-min(ro.raw0702[ub,1]), ro.raw0702[ub,2]-min(ro.raw0702[ub,2]), circle= (ro.raw0702[ub,3])^10, ince=.3, lwd=1.5,add=t,col=2) dev.off() ################################################# # # Troi fonction pour réalier le imulation # ################################################# # Une fonction pour fabriquer une matrice de covariance # entre deux écantillon de point mat.cov<-function(x1,x2=x1,model,range) { x1<-matrix(x1,ncol=2) x2<-matrix(x2,ncol=2) n1<-dim(x1)[1] n2<-dim(x2)[1] complex.x1<-complex(real=x1[,1],imaginary=x1[,2]) complex.x2<-complex(real=x2[,1],imaginary=x2[,2]) X1<-matrix(nrow=n1,ncol=n2, data=complex.x1,byrow=f) X2<-t(matrix(nrow=n2,ncol=n1, data=complex.x2,byrow=f)) D<-Mod(X1-X2) # modele expo if(model==1) exp(-d/range) # modele gauien ele exp(-(d/range)^2) } 29

7 CODE R PERMETTANT DE FABRIQUER LES EXEMPLES # Une fonction pour imuler un vecteur aléatoire # d epérance et de variance donné rmultnorm<-function(n, mu, vmat, tol = 1e-07) { p <- ncol(vmat) if(lengt(mu)!= p) top("mu vector i te wrong lengt") if(max(ab(vmat - t(vmat))) > tol) top("vmat not ymmetric") v <- vd(vmat) vqrt <- t(v$v %*% (t(v$u) * qrt(v$d))) an <- matrix(rnorm(n * p), nrow = n) %*% vqrt an <- weep(an, 2, mu, "+") dimname(an) <- lit(null, dimname(vmat)[[2]]) return(an) } # Une fonction pour réalier le krigeage d un écantillon # krige <- function(.data,z.data,model,range,pep=0,.grid) { C <- (1-pep)*mat.cov(.data,.data,model,range) diag(c) <- diag(c) + pep*rep(1,dim(c)[1]) C0 <- (1-pep)*mat.cov(.data,.grid,model,range) diag(c0) <- diag(c0) + pep*rep(1,dim(c0)[1]) Lambda <- olve(c) %*% C0 Z.data %*% Lambda } # Un petit raccourci pour imprimer une figure dan un ficier potcript p <- function(oriz=f,were="/ome/guillot/tmp/lat.p") { potcript(file=were, oriz=oriz) } ################################## # # Le imulation # ################################# n.grid <- 1000.grid <- cbind(eq(0,1,lengt=n.grid),rep(0,n.grid)) Z.grid <- rmultnorm(n=1,mu=rep(0,n.grid), vmat=mat.cov(.grid,model=1,range=0.2)) n.data <- 10 ub.data <- ample(1:n.grid,ize=n.data).data <-.grid[ub.data,] Z.data <- Z.grid[,ub.data] 30

7 CODE R PERMETTANT DE FABRIQUER LES EXEMPLES perm <- order(.data[,1]).data <-.data[perm,] Z.data <- Z.data[perm] ##### p(=f,were="~/cour/patial/1.p") par(mfrow=c(4,2)) model=1 pep = 0. for(range in c(0.01,0.05,0.1,0.2)) { plot(.grid[,1],(1-pep)*exp(-(.grid[,1]/range)^model), "l",xlab="",ylab="c()") abline(0,0);abline(0,9999);abline(1,0,col=2,lty=2) plot(.grid[,1],z.grid,"n", xlab="",ylab="z") line(.grid[,1],krige(.data,z.data,model,range,pep,.grid), col=3,lwd=2) point(.data[,1],z.data,col=2,lwd=3) # line(.grid[,1],z.grid) } dev.off() #### p(=f,were="~/cour/patial/1bi.p") par(mfrow=c(4,2)) model=1 pep = 0. for(range in c(0.01,0.05,0.1,0.2)) { plot(.grid[,1],(1-pep)*exp(-(.grid[,1]/range)^model), "l",xlab="",ylab="c()") abline(0,0);abline(0,9999);abline(1,0,col=2,lty=2) plot(.grid[,1],z.grid,"n", xlab="",ylab="z") line(.grid[,1],krige(.data,z.data,model,range,pep,.grid), col=3,lwd=2) point(.data[,1],z.data,col=2,lwd=3) line(.grid[,1],z.grid) } dev.off() ###### ###### p(=f,were="~/cour/patial/2.p") par(mfrow=c(4,2)) model=1 range = 0.2 for(pep in c(0.01,0.1,.3,0.7)) 31

7 CODE R PERMETTANT DE FABRIQUER LES EXEMPLES { plot(.grid[,1],(1-pep)*exp(-(.grid[,1]/range)^model), "l",xlab="",ylab="c()",ylim=c(0,1)) abline(0,0);abline(0,9999);abline(1,0,col=2,lty=2) plot(.grid[,1],z.grid,"n", xlab="",ylab="z") line(.grid[,1],krige(.data,z.data,model,range,pep,.grid), col=3,lwd=2) point(.data[,1],z.data,col=2,lwd=3) #line(.grid[,1],z.grid) } dev.off() ##### p(=f,were="~/cour/patial/3.p") par(mfrow=c(4,2)) model=2 pep = 0. for(range in c(0.01,0.05,0.1,0.15)) { plot(.grid[,1],(1-pep)*exp(-(.grid[,1]/range)^model), "l",xlab="",ylab="c()") abline(0,0);abline(0,9999);abline(1,0,col=2,lty=2) plot(.grid[,1],z.grid,"n", xlab="",ylab="z") line(.grid[,1],krige(.data,z.data,model,range,pep,.grid), col=3,lwd=2) point(.data[,1],z.data,col=2,lwd=3) #line(.grid[,1],z.grid) } dev.off() ###### ### # Poid de krigeage p(=f,were="~/cour/patial/4.p") par(mfrow=c(4,2)) model=1 pep = 0. for(range in c(0.01,0.05,0.1,0.2)) { C <- (1-pep)*mat.cov(.data,.data,model,range) diag(c) <- diag(c) + pep*rep(1,dim(c)[1]) C0 <- (1-pep)*mat.cov(.data,.grid,model,range) diag(c0) <- diag(c0) + pep*rep(1,dim(c0)[1]) Lambda <- olve(c) %*% C0 plot(.grid[,1],(1-pep)*exp(-(.grid[,1]/range)^model), "l",xlab="",ylab="c()") abline(0,0);abline(0,9999);abline(1,0,col=2,lty=2) plot(.grid[,1],lambda[6,],"l",xlab="",ylab="lambda") point(.data[,1],rep(0,n.data),col=4,lwd=3) 32

7 CODE R PERMETTANT DE FABRIQUER LES EXEMPLES } dev.off() ### p(=f,were="~/cour/patial/4bi.p") par(mfrow=c(4,2)) model=1 range=0.2 for(pep in c(0.01,0.1,0.3,0.7)) { C <- (1-pep)*mat.cov(.data,.data,model,range) diag(c) <- diag(c) + pep*rep(1,dim(c)[1]) C0 <- (1-pep)*mat.cov(.data,.grid,model,range) diag(c0) <- diag(c0) + pep*rep(1,dim(c0)[1]) Lambda <- olve(c) %*% C0 plot(.grid[,1],(1-pep)*exp(-(.grid[,1]/range)^model), "l",xlab="",ylab="c()",ylim=c(0,1)) abline(0,0);abline(0,9999);abline(1,0,col=2,lty=2) plot(.grid[,1],lambda[6,],"l",xlab="",ylab="lambda") point(.data[,1],rep(0,n.data),col=4,lwd=3) } dev.off() ### p(=f,were="~/cour/patial/5.p") par(mfrow=c(4,2)) model=2 pep = 0. for(range in c(0.01,0.05,0.1,0.15)) { C <- (1-pep)*mat.cov(.data,.data,model,range) diag(c) <- diag(c) + pep*rep(1,dim(c)[1]) C0 <- (1-pep)*mat.cov(.data,.grid,model,range) diag(c0) <- diag(c0) + pep*rep(1,dim(c0)[1]) Lambda <- olve(c) %*% C0 plot(.grid[,1],(1-pep)*exp(-(.grid[,1]/range)^model), "l",xlab="",ylab="c()") abline(0,0);abline(0,9999);abline(1,0,col=2,lty=2) plot(.grid[,1],lambda[6,],"l",xlab="",ylab="lambda") point(.data[,1],rep(0,n.data),col=4,lwd=3) } dev.off() 33

Index écelle, 5 aniotrope, 9 cangement de upport, 5 dérive, 10 effet de pépite, 11 fonction de covariance, 8 fonction de tructure, 9 fonction de type poitif, 8 interpolateur exact, 21 iotrope, 9 moyenne, 8 nuée variograpique, 6 palier, 11 paramètre d écelle, 11 tationnaire d ordre 1, 8 upport, 5 ytème de krigeage, 16 variogramme, 9 34

RÉFÉRENCES Référence [1] J.P. Cilè and P. Delfiner. Geotatitic. Wiley, 1999. [2] N.A.C Creie. Statitic for patial data. Serie in Probability and Matematical tatitic. Wiley, 1994. [3] P.J. Diggle, R.A. Moyeed, and J.A. Tawn. Model baed geotatitic. Journal of te Royal Statitical Society, erie A, Applied Statitic, 1998. [4] C. Lantuéjoul. Geotatitical imulation. Springer, 2002. [5] M. Sclater. Introduction to poitive definite function and to unconditional imulation of random filed. Tecnical Report ST-99-10, Department of Matematic and Statitic, Faculty of Applied Science, Lancater, UK, 1999. [6] H. Wackernagel. Multivariate geotatitic : an introduction wit application. Springer Verlag, Berlin, 2003. [7] R. Webter and M. Oliver. Geotatitic for environmental cientit. Statitic in Practice. Jon Wiley and Son, 2001. 35