L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ

L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ Mondher Bellalah (Université du Maine) et Jean-Luc Prigent (Université de Cergy-Pontoise) 1 Résumé. Les auteurs intègrent une prime de liquidité au modèle d évaluation classique des options pour obtenir des valeurs débiaisées qui s alignent sur les cours du marché. Leur modèle à prime s applique aux options tant européennes qu américaines. La prime dérive d une correction au prix de levée de l option. Avec cette correction et une volatilité constante du titre sous-jacent (ou support), ils obtiennent des valeurs d option débiaisées, quels que soient le cours du support et son éloignement du prix de levée. En son absence, la volatilité implicite qui rend la valeur du modèle égale au cours de l option n évolue pas horizontalement comme une constante mais en sourire (dit smile ), comme bien des écrits l ont révélé. Les auteurs offrent donc une explication de cette évolution. Leur modèle utilise uniquement des données observables et offre une bonne estimation des biais d évaluation caractérisant le marché des options. I. INTRODUCTION Les tests empiriques du modèle classique (de Black et Scholes, 1973) révèlent qu il donne des valeurs biaisées pour les options dont le prix de levée s éloigne du cours du support. Ci-dessous, nous relions ces biais à des différences de liquidité. Les options à liquidité supérieure seraient primées par le marché, d où le biais de sous-évaluation du modèle, tandis que les options à liquidité inférieure seraient déprimées, d où le biais de surévaluation. Nous avons donc voulu intégrer une prime de liquidité (souvent dite verticale) au modèle, afin d en obtenir des 1 M. Mondher Bellalah est professeur de finance, Directeur du GREFI (Université du Maine) et chercheur aux THEMA et CEREG. M. Jean-Luc Prigent est professeur de finance au THEMA et consultant au CCF Capital Management, Université de Cergy, THEMA, 33 Boulevard du Port, 95 011 Cergy, France (Fax: 1 34 25 62 33; prigent@u-cergy.fr). Les auteurs remercient ceux qui ont commenté le papier lors de rencontres scientifiques à Paris, Genève et Istanbul. Ils sont redevables aux lecteurs et à la direction de Finéco pour leur apport. FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999 109

MONDHER BELLALAH ET JEAN-LUC PRIGENT valeurs débiaisées. L étiquette verticale sert à la distinguer de la prime de liquidité liée à l incomplétude des marchés. Depuis longtemps, il est reconnu empiriquement que la volatilité du support, implicite au modèle, change à mesure que le cours du support s éloigne du prix de levée de l option. Pour une même option, elle n évoluerait pas comme une constante, selon l horizontale attendue puisqu il s agit du même support, mais plutôt en forme de sourire (ou smile ). Les explications existantes font appel notamment à des volatilités stochastiques (Heston, 1993a; Derman et Kani, 1994), ou encore, à des coûts de transaction (Leland, 1985) ou d information (Bellalah et Jacquillat, 1995). Les explications s appliquent surtout aux options européennes et n éclairent que certaines formes de sourires. Selon nous, et plusieurs auteurs, dont Merton (1987) et Leland (1985), les biais d évaluation des options viennent de leur liquidité changeante à mesure qu évolue le prix du support. La simple intuition veut que cette liquidité croisse ou décroisse selon que le cours du support évolue pour rendre l option plus en jeu ou plus hors jeu, donc dès lors que celle-ci s éloigne de la situation dite au jeu. Rappelons que l option est dite au jeu lorsque le cours (P o ) du support oscille autour du prix de levée (K), alors qu elle devient en jeu (ou hors jeu) si P o s éloigne de K, et, du même coup, plus liquide parce que plus élastique (ou moins liquide parce que moins élastique) par rapport à P o. Un résumé visuel se présente comme suit le long du continuum du cours du support P o : Option d achat: Liq. croissante de vente: Liq. décroissante Hors jeu En jeu Au jeu K En jeu Hors jeu P o Précisons, par ailleurs, divers acquis sur les biais générés par le modèle classique d évaluation des options (Rubinstein, 1994). En général: (1) il donne une bonne évaluation seulement pour les options au jeu; (2) l évaluation des options d achat (options de vente) hors jeu montre la tendance du modèle à les surévaluer (sous-évaluer) par rapport au marché; (3) l évaluation des options d achat (options de vente) en jeu montre la tendance du modèle à les sous-évaluer (surévaluer) par rapport au marché; (4) le biais d évaluation pour les options non au jeu dépend de l écart observé entre le cours du support (P o ) et le prix de levée (K). Cela étant, comment prendre en compte les biais connus dans un modèle performant d évaluation d options? Comme ces biais croîtraient avec l ampleur absolue de l écart P o - K, le négociateur d une option moins liquide fixerait son prix en déprimant sa valeur théorique; pour l option plus liquide, il fixerait son prix en primant sa valeur théorique. La norme définissant la liquidité supérieure ou inférieure coinciderait 110 FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999

L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ avec le niveau de liquidité de l option au jeu. D où, avec sa liquidité supérieure (inférieure), l option en jeu (hors jeu) commanderait une prime (déprime). Ci-dessous, à la section II, nous présentons les résultats concernant l évaluation des options européennes en présence d une prime de liquidité. À la section III, nous traitons des options américaines. Nous concluons à la section IV. II. L ÉVALUATION DES OPTIONS EUROPÉENNES a) Avec prime de liquidité relative au cours de support: P o Le teneur du marché des options envisagé ici veut s aligner sur les cours observés. Pour ce faire, il majore, ou déprime, la valeur théorique de l option, obtenue à la Black et Scholes, selon le degré de liquidité du titre. L option en jeu, plus liquide, est primée. L option hors jeu, moins liquide, est déprimée. La valeur théorique ne convient qu à l option au jeu pour laquelle le prix de levée (K) s aligne sur le cours du support (P o ). La valeur corrigée peut être déterminée en utilisant l approche d Harrison et Pliska (1981). Pour l essentiel, on obtient l alignement sur le cours de l option d achat en jeu en corrigeant son prix de levée par h [=h(p o,k)], lequel devient H=K+h < K. Quant à l option d achat hors jeu, on corrige K par h (> 0), lequel devient H=K+h > K. Dans les deux cas, h [=h(p o,k)] croît en K et génère la prime de liquidité qui fait s aligner la valeur théorique de l option sur son cours. Pareillement, pour l option de vente en jeu, on obtient l alignement sur les cours en corrigeant K par q [=q(p o,k) > 0], lequel devient Q=K+q > K. Pour celle qui est hors jeu, on corrige par q (< 0), d où Q=K+q < K. Dans les deux cas, on a que q[=q(p o,k)] décroît en K. Notons que pour obtenir l alignement du cours des options sur leur valeur théorique à la Black et Scholes, et cela en l absence de corrections h ou q à leur prix de levée, il faut corriger le risque (ou sigma) du support, et d autant plus que le cours du support s éloigne du prix de levée de l option. D où l évolution en sourire, plus ou moins convexe en pratique, du sigma, dit implicite, par rapport au sigma de référence de l option au jeu. Dans l encadré A, on résume le tout, en plus d illustrer le phénomène pour une famille d options d achat sur l indice parisien CAC40 et une famille d options de vente sur l action Nortel à Montréal, Nortel étant le support faisant l objet du maximum de contrats d options au Canada (92 000 en janvier 2001). La correction h évolue comme attendue (h croît en K) pour l option d achat sur le CAC40 alors que la correction q pour l option de vente sur Nortel dévie des attentes (q ne décroît pas vraiment en K). FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999 111

MONDHER BELLALAH ET JEAN-LUC PRIGENT ENCADRÉ A Options, sourires et primes de liquidité Soit, au temps τ=0, des options européennes (sur support ayant risque σ et valant P o ) qui sont levables au prix K à leur échéance, à τ=t. Un marché neutre au risque les prise en régime continu au taux sûr r. Leur valeur théorique est établie selon le modèle de Black et Scholes (1973). Option d achat Option de vente Cours = a Cours = v Valeur c = e -rt E[Max(0,P t -K)] p = e -rt E[Max(0,K-P t )] théo- e -rt E[(P t -K) + ] e -rt E[(K-P t ) + ] rique P 0 N(d 1 ) - Ke -rt N(d 2 ) Ke -rt N(-d 2 )-P 0 N(-d 1 ) = c-(p 0 -Ke -rt ) K vs P 0 K > P 0 K = P o K < P 0 K > P 0 K = P 0 K < P 0 État Hors jeu Au jeu En jeu En jeu Au jeu Hors jeu Liquidité Inférieure Normale Supérieure Supérieure Normale Inférieure Biais c > a c = a c < a p < v p = v p > v Suréval. Sous-éval. Sous-éval. Suréval. K corrigé h < 0 h = 0 h > 0 q < 0 q = 0 q < 0 par H=K+h H=K+h Q=K+q Q=K+q h ou q H > 0 H=K H > K Q > K Q=K Q < K Propriété h=h (P o,k) croît en K q=q (P o,k) décroît en K Illustration pour une famille d options d achat sur l indice parisien CAC40 en date du 19/03/99* alors que P o = 4219,65; σ = 25,630%; r = 2,75%; t = 71/365; σ i = Sigma implicite Remarques K 4100 4150 4200 4450 4500 4550 En substituant C 266,17 237,53 211,03 108,66 93,84 80,65 H à K dans c+prime=a=cours 285,60 249,00 211,04 107,35 86,00 73,00 le modèle, K+h = H 4068,00 4129,52 4199,97 4454,21 4528,98 4582,12 on obtient h (croît en K) -32,00-20,48-0,03 +4,21 +28,98 +32,12 que c = a Évolution en 28,410% En substituant sourire du sigma 27,223% 25,632% σ i à σ partout, implicite autour 25,630% 25,630% on obtient de σ = 25,630% 25,440% 25,446% que c = a 24,410% Illustration pour une famille d options de vente sur le titre Nortel** à Montréal au début de 2001 avec: P o = 47,50; σ = 73%; r = 5%; t = 0,1945 Remarques K 45 50 55 65 70 75 80 85 (1) Dans 7 cas sur 8, l option de vente p 4,54 7,27 10,59 18,52 22,92 27,51 32,21 37,00 est en jeu (P o < K) p+prime=v 4,70 7,15 10,55 18,65 23,05 27,60 32,50 37,50 (2) q ne décroît pas vraiment en K K+q = Q 45,33 49,80 54,94 65,15 70,14 75,10 80,30 85,52 comme attendu q 0,33-0,20-0,06 +0,15 +0,14 +0,10 +0,30 +0,52 (3) σ i évolue en sourire tordu σ i % 75,0 71,4 72,5 75,0 75,5 75,4 82,4 89,4 autour de σ * Nous sommes redevables au professeur Poncet (ESSEC), à M. Mai (MONEP) et à CCF Capital Management pour avoir rendu cette illustration possible. ** Les données pour Nortel sont disponibles quotidiennement dans La Presse de Montréal, le Globe and Mail de Toronto, etc. Les options sur Nortel sont les plus transigées au Canada, à la Bourse de Montréal. L action Nortel présente un faible rendement en dividende (0,236% = i%). L option n est pas européenne pure. Sa valeur théorique p en tient compte. 112 FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999

L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ b) Avec prime relative au cours du support attendu à l échéance: E(P t ) Une deuxième approche consiste à établir la prime de liquidité en fonction des attentes quant au prix du support à l échéance P t. Selon cette approche, on a les cours primés suivants: a = e -rt E[[P t - H(P t, K)] + ] pour l option d achat et v = e -rt E[[Q(P t, K) - P t ] + ] pour l option de vente où H(P t,k) = K + h(p t,k) et Q(P t,k) = K + q(p t,k). Comme dans la première approche, h et q sont les corrections apportées au prix de levée. Mais elle sont basées sur des anticipations plutôt que sur des observations. III. L ÉVALUATION DES OPTIONS AMÉRICAINES En l absence de distribution de dividendes, il n est jamais optimal d exercer une option américaine d achat avant l échéance. Ce résultat s applique aussi aux prix des options d achat en présence d une prime de liquidité verticale. Également, même en présence de dividendes, il n est pas optimal, en général, d exercer l option d achat américaine pour sa valeur intrinsèque avant la date d échéance. Ainsi, la formule d une option européenne s applique à elle. Cependant, c est l option de vente américaine qui pose problème puiqu il existe une probabilité non nulle d un exercice anticipé. Dans ce cas, une solution quasi-analytique peut être proposée et le biais d évaluation corrigé. a) La prime de l option de vente est fonction de P o En généralisant les résultats de Carr, Jarrow et Myneni (1992), le prix de l option américaine de vente en présence d une prime de liquidité verticale est donnée par: V(K) = v(k) + e(k) où v(k) est le prix de l option européenne et e(k) représente la prime d un exercice anticipé. Cette prime s exprime par: e(k) = r q(p o,k) T e rt 0 * N( [ ln( P t P0 ) ( r 05σ, 2 )t]) ( σ t ]) dt où N est la fonction de répartition de la loi normale et P t désigne le niveau du prix de l actif support pour lequel il est optimal d exercer l option. On obtient les relations suivantes: Si P o > K, alors V(K) et e(k) dépassent les valeurs correspondantes selon Black et Scholes. Si P o < K, alors l inverse tient. FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999 113

MONDHER BELLALAH ET JEAN-LUC PRIGENT b) La prime est fonction du prix du support à chaque instant Dans ce contexte, à tout instant la prime de liquidité est non seulement fonction du cours du support mais également de l écart par rapport au prix d exercice. Pour l option de vente américaine, il existe à chaque instant une probabilité d un exercice anticipé et un instant particulier pour lequel le prix de l option s abaisse au-dessous de la valeur d exercice égale à Q(P t, K) - P t. Dans ce cas, une solution quasi-analytique est disponible et le biais d évaluation peut être corrigé car la valeur selon Black et Scholes dépasse V(K). D autre part, sous certaines conditions de régularité de la prime, on peut évaluer l option de vente américaine avec prime de liquidité, en généralisant les résultats de Carr, Jarrow et Myneni (1992). En effet, son prix s écrit: Vxt (, ) = sup τ Ft, T E x [ e r( τ t) ( QP ( τ, K, τ) P τ ) + ] où E x est l espérance conditionnelle en P t = x et τ désigne un temps d exercice prenant en compte l information F t;t, disponible à l instant t. Le prix de l option de vente américaine est calculé en introduisant deux régions, ou champs, qui divisent le domaine de la fonction de prix de l option, soit le champ C = ( xt, ) R + 0, T V( xt, ) > ( Q( x, K, t) x) + et son complémentaire S = ( xt, ) R + 0 T V( x, t) > ( Q( x, K, t) x) + [, [ ]. En utilisant les hypothèses sur Q(x,K,t), le résultat du prix de l option de vente est continu, convexe et décroissant. En suivant l approche de Jaillet et al. (1990), on montre que le prix V de l option américaine de vente avec prime est une fonction continue de ses deux arguments. D autre part, la fonction V(.,t) est convexe et décroissante et la fonction V(x,.) est décroissante. * Or, l on sait que le graphe de P t = Sup{ x (( x, t) S T )} est contenu dans S et donne le niveau pour lequel l exercice est optimal pour chaque instant t. Le terme C correspond à la région de continuité, S à la région d arrêt et P* à la borne d arrêt optimal. Ce qui montre que, sur la région de continuité, le prix de l option V peut être divisé en deux éléments: le prix de l option européenne V et la prime d exercice e, soit: V(K) = v(k) + e(k) où: 114 FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999

L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ T ek ( ) = e rt E[ I * ]ζqp [ ( Pt P t, Kt, )] dt t 0 où ζ est l opérateur parabolique de Black et Scholes: σ 2 P 2 ----------- -------- 2. 2 P 2 + rp ------ r ---- P t Il est d autre part possible d obtenir des propriétés de régularité par rapport à P et t analogues à celles de Jacka (1991). Les algorithmes numériques standards sont immédiatement applicables. On peut se référer à Amin et Khanna (1994) pour des simulations de type Monte-Carlo et à Lamberton (1993) pour l approximation du prix critique du support. Les preuves des propositions énoncées ci-dessus quant à V(K) sont disponibles sur demande auprès des auteurs. c) L estimation de la prime Pour calculer la prime de liquidité, on procède en général par étapes. D abord, on caractérise la dynamique réelle du prix du support. Par exemple, si le support a une volatilité stochastique, on peut en estimer les paramètres. Puis, à partir des prix des options au jeu, on peut déduire la probabilité neutre au risque qui sert à valoriser les actifs dérivés négociés sans contrainte. Le marché étant en général incomplet, il est nécessaire de sélectionner une de ces probabilités. Ceci constitue le schéma habituel de la valorisation avec absence d opportunité d arbitrage et de contrainte sur les quantités d actifs échangées. Le modèle est alors bien spécifié. Ensuite, pour les options assez nettement hors jeu ou en jeu, on calcule le prix prévu par l approche classique qui utilise les caractéristiques établies à l étape précédente. On calcule alors l écart entre ce prix et le prix du support observé sur le marché. Pour une option d achat par exemple, on en déduit la prime de liquidité verticale par rapport au prix observé en égalant cette valeur avec l expression: e -rt { E[(P t -K) + ] - E[P t -H(P o,k)] + }. FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999 115

MONDHER BELLALAH ET JEAN-LUC PRIGENT Pareillement, on en déduit une prime de liquidité verticale ex-ante. Ceci permet d estimer la correction du marché pour les options moins liquides que les options au jeu. In fine, on peut améliorer la prévision de leurs cotations. On peut également rechercher une prime qui soit fonction de toute la trajectoire du support du type q(p u, u < T; K) et pas uniquement du prix courant ou du prix à l échéance. Mais, en général, il est nécessaire de paramétrer q de manière plus précise afin d obtenir une estimation satisfaisante. Par exemple, on peut considérer une moyenne temporelle du type q 1. Ces différentes formes de prime T -- T P u duk ; 0 sont à tester suivant les marchés et les actifs considérés. IV. CONCLUSION Nous avons proposé le concept d une prime de liquidité verticale pour corriger les valeurs théoriques des options. Il peut donc servir à réduire les biais d évaluation bien connus des modèles d options et, en particulier, l effet sourire. Sa justification réside essentiellement dans les déficiences de liquidité des options sous certaines conditions. Le modèle proposé utilise uniquement des données observables comme dans le modèle de Black et Scholes. La méthode introduite pour évaluer les options européennes est étendue au cas des options américaines. Notre modèle réduit potentiellement les deux biais de surévaluation et de sous-évaluation des options par rapport aux modèles classiques. 116 FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999

L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ BIBLIOGRAPHIE Amin, K. et A. Khanna, 1994, Convergence of American Option Values from Discrete to Continuous Time Financial Models, Mathematical Finance (2), 167-179. Bellalah, M. et B. Jacquillat, 1995, Option Valuation with Information Costs: Theory and Tests, The Financial Review (Août), 617-635. Black, F. et M. Scholes, 1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81, 637-659. Carr, P., Jarrow, R. et R. Myneni, 1992, Alternative Characterization of American Put Options, Mathematical Finance (2), 87-105. Derman, E. et I. Kani, 1994, Riding on the Smile, Risk 7, 32-39. Harrison, J.M. et S.R. Pliska, 1981, Martingales, Stochastic Integrals and Continuous Trading, Stochastic Processes and their Applications 11, 215-260. Heston, S., 1993a, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options, The Review of Financial Studies 6, 327-343. Heston, S., 1993b, Invisible Parameters in Option Prices, The Journal of Finance 48, 933-948. Jacka, S.D., 1991, Optimal Stopping and the American Put, Mathematical Finance (2), 1-14. Jaillet, P., Lamberton, D. et B. Lapeyre, 1990, Variational Inequalities and The Pricing of American Options, Acta. Appl. Math. 21, 263-289. Lamberton, D., 1993, Convergence of the Critical Price in The Approximation of American Options, Mathematical Finance (3), 179-180. Leland, H., 1985, Option Pricing and Replication with Transactions Costs, The Journal of Finance 40, 1283-1301. Merton, R., 1987, An Equilibrium Market Model with Incomplete Information, The Journal of Finance 42, 483-510. Rubinstein, M., 1994, Implied Binomial Trees, The Journal of Finance 49, 771-818. FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999 117

MONDHER BELLALAH ET JEAN-LUC PRIGENT SHORT SUMMARY Derivative Options Pricing with Vertical Liquidity Premium Mondher Bellalah (Université du Maine) et Jean-Luc Prigent (Université de Cergy-Pontoise) By introducing the vertical liquidity premium concept, we present a model that corrects for some of the option pricing biases observed in financial markets and can explain the well known volatility smiles characterizing options. According to Rubinstein (1994), the following biases are inherent to the Black and Scholes model: - When pricing out of the money calls, (puts), the model tends to overvalue (undervalue) these options with respect to market values. - When pricing in the money call, (puts), the model tends to undervalue (overvalue) these options with respect to market values. - The degree of mispricing is a function of the option s moneyness. Since there are many strike prices above and below parity, it is as if market participants require a kind of a liquidity premium for each strike price. This premium seems to be a function of the spread between the observed price of the underlying asset and the strike price. We refer to it as a vertical liquidity premium. In this paper, we offer some foundations for the concept of a liquidity premium applied to options as well as some simple approaches to the modelling of this premium. We apply the concept to both European and American options. We measure the premiums for a set of options on the CAC40 Index of the Paris Bourse and show how to correct for the volatility smile involved. Our approach is appealing since it does not use more information than that required by the Black and Scholes model. 118 FINÉCO, vol. 9, N o 2, 2 e semestre 1999