Estimation du coût de l incessibilité des BSA Jean-Michel Moinade Oddo Corporate Finance 22 Juin 2012
Incessibilité des BSA Pas de méthode académique reconnue Plusieurs méthodes «pratiques», dont une usuelle avec application d une prime de risque pendant la période d incessibilité Proposition d une méthode alternative dite des frais de frottement, revenant à appliquer une décote de volatilité
Méthode «de la prime de risque»
Méthode de la prime de risque Probabilité réelle vs probabilité risque neutre Probabilité réelle Approche Corporate Finance Flux réels «optimistes» Discount à un taux intégrant une prime de risque Probabilité risque neutre Approche Marchés Flux résultant d arbitrages Discount à un taux sans risque Deux approches différentes pour un même résultat quelle que soit la classe d actifs
Méthode de la prime de risque Cadre général du pricing des options Travail en probabilité risque neutre Principe : évacuation du risque à travers une gestion dynamique en delta neutre Tendance du prix résultant d un arbitrage Tendance = taux sans risque dividendes marge de repo Diffusion autour de la tendance en fonction de la volatilité Calcul de la valeur d exercice de l option Retour en valeur actuelle au taux sans risque Si l option est une option vanille, cette méthode aboutit à la formule de Black Scholes Hypothèse forte Pas de coût de frottements sur la gestion dynamique
Méthode de la prime de risque Impact de l incessibilité Impossibilité de transférer l option à un acteur de marché qui ne serait pas sujet aux frottements Choix de conserver le risque pendant la période d incessibilité Application d un taux d escompte Risqué jusqu à l échéance de la période d incessibilité Sans risque au-delà Quelle prime de risque appliquer?
Méthode de la prime de risque Quelle prime de risque appliquer? BSA= Forme d hyper equity Challenge: Beta BSA= Valeur Action / Valeur BSA * Delta BSA Dans Black scholes Delta = N(d1) * DF d1= ln(f/x)/ σ Ѵ(T)+ σ Ѵ(T)/2 N() loi normale Taux d escompte = taux sans risque + beta * BSA *prime Uniquement pendant la période d incessibilité Puis escompte au taux sans risque Le delta n est pas constant. Ne commet on pas une erreur d approximation? DF = Discount Factor
Méthode de la prime de risque Approche alternative de la prime de risque Calcul du taux d escompte via un pricing en probabilité réelle BSA = bsa (terme sans risque, X, volatilité échéance) * DF sans risque BSA = bsa (terme risqué, X, volatilité échéance) * DF risqué Avec terme risqué = terme sans risque *(1+prime)^ terme Prime de risque BSA= (DF sans risque / DF risqué) ^ (1/terme)-1
Volatilité Méthode de la prime de risque Comparaison des deux méthodes (prime beta / prime tri) Spot 100 Taux sans risque 2% Repo + dividende 3% Prime de risque 7% Échéance 7 Prix d'exercice 16% / 16% 100 105 110 115 120 125 130 135 20% 21% / 20% 22% / 20% 23% / 21% 23% / 22% 24% / 23% 25% / 23% 25% / 24% 26% / 25% 22% 20% / 18% 20% / 19% 21% / 20% 21% / 20% 22% / 21% 22% / 21% 23% / 22% 23% / 22% 24% 18% / 17% 19% / 18% 19% / 18% 20% / 19% 20% / 19% 21% / 20% 21% / 20% 21% / 21% 26% 17% / 16% 18% / 17% 18% / 17% 18% / 18% 19% / 18% 19% / 18% 19% / 19% 20% / 19% 28% 16% / 16% 16% / 16% 17% / 16% 17% / 17% 17% / 17% 18% / 17% 18% / 18% 18% / 18% 30% 15% / 15% 16% / 15% 16% / 15% 16% / 16% 16% / 16% 17% / 16% 17% / 17% 17% / 17% 32% 15% / 14% 15% / 14% 15% / 15% 15% / 15% 16% / 15% 16% / 15% 16% / 16% 16% / 16% 34% 14% / 14% 14% / 14% 14% / 14% 15% / 14% 15% / 15% 15% / 15% 15% / 15% 15% / 15% 36% 13% / 13% 14% / 13% 14% / 14% 14% / 14% 14% / 14% 14% / 14% 15% / 14% 15% / 15% 38% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 14% / 13% 14% / 14% 14% / 14% 14% / 14% 40% 12% / 12% 13% / 12% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 42% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 13% / 13% 44% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 13% / 12% 46% 11% / 11% 11% / 11% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% 12% / 12% Les deux caculs de la prime de risque sont du même ordre de grandeur, voire semblables à volatilité élevée
Méthode «des frais de frottements»
Méthode des frais de frottement Bien que le bon soit incessible, le porteur continue à opter pour une stratégie sans risque Ce qui l oblique à acquitter des frais de frottement sur ses transactions d ajustements L espérance de ces frais peut se calculer pour une option vanille Elle peut ensuite se traduire en décote de volatilité
Méthode des frais de frottement Premier ajustement de Delta Initialement S=S0; d1=d1,0 delta 0 = N(d1,0) Le BSA est couvert par une vente à découvert de delta0 actions Au bout d une semaine (t=t0+dt) le spot vaut S1= S0 + DS Le delta vaut delta0+gamma0* DS (le gamma est la dérivée du delta) Si DS >0, le porteur de bon doit vendre gamma0*abs(ds) actions Si DS <0, le porteur de bon doit acheter gamma0*abs(ds) actions Premier Frottement En valeur, la transaction porte donc sur une somme égale à gamma0* abs(ds) *S le coût de frottement égale gamma0* abs(ds) *S *f si f est le taux de frottement Espérance du coût du premier frottement Selon la modélisation log normale, Esp(abs(DS)) = 2/sqrt(2*P) * S * s * Ѵ(Dt) *f Esp(Frottement) 0.8 * gamma0* S 2 * s * Ѵ(Dt) *f
Méthode des frais de frottement Ajustements successifs Pour une option vanille, l espérance de gamma* S 2 est invariante dans le temps L espérance du coût de chaque ajustement est la même Si la durée d incessibilité est Ti, il y a Ti /Dt ajustements L espérance du cumul des frais de frottement égale 0.8 * gamma0* S 2 * s * Ѵ(Dt) * f * Ti /Dt 0.8 * gamma0* S 2 * s * Ti / Ѵ(Dt) *f
Méthode des frais de frottement Interprétation Expression des frais de frottements en fonction du vega Le vega est la dérivée de la prime de l option par rapport à la volatilité Dans le «monde» de Black-Scholes Vega * s= Gamma * s 2 * S 2 * T Gamma = Vega / s / S 2 / T En replaçant gamma par cette formule dans l expression de l espérance des coûts de frottements (frottements = 0.8 * gamma* S 2 * s * Ti / Ѵ(Dt) * f), on obtient frottements = 0.8 * Vega Ti / Ѵ(Dt) /T *f Soit frottements = 0.8 * Vega / Ѵ(Dt) * Ti /T *f
Méthode des frais de frottement Utilisation La valeur des frais de frottements égale 0.8 * Vega / Ѵ(Dt) * Ti /T *f L impact des frais de frottements est équivalent à une baisse de volatilité de 0.8 / Ѵ(Dt) * Ti /T * f Cette approche a fait l objet d une vérification numérique avec une méthode de Monte-carlo Reste à fixer les paramètres Si Dt = 1 semaine, 1/ Ѵ(Dt) = Ѵ (52)= 7.2 f, taux de frottement, est de l ordre de 1.5% Donc la décote de volatilité est égale à 8.5% * TI /T Pour un bon à 7 ans (T=7), avec un incessibilité de 3 ans (TI=3), la décote d incessibilité est de 8.5% * 3 /7= 3.5% Frais sur la vente initiale du delta Il suffit de calculer un bon avec une décote de f, si f désigne les frais de frottement
Comparaison des méthodes
Comparaison des méthodes en fonction de la volatilité Paramètres fixés Prime d exercice = 25% Durée= 7 ans Incessibilité 2 ans Ajustements /an= 52 Paramètres simulés Prime de risque = 6.0% Frais de frottements= 1.5% 40% 35% 30% 25% 20% Décote d'incessibilité en fonction de la volatilité 15% 10% 15% 16% 17% 18% 19% 20% Méthode de la prime 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30% 31% 32% Méthode des Frottements 33% 34% 35%
15% 16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30% 31% 32% 33% 34% 35% Comparaison des méthodes en fonction de la volatilité Paramètres fixés Prime d exercice = 25% Durée= 7 ans Incessibilité 2 ans Ajustements /an= 52 Paramètres simulés Prime de risque = 6.0% Frais de frottements= 2.0% 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% Décote d'incessibilité en fonction de la volatilité Méthode de la prime Méthode des Frottements
Comparaison des méthodes en fonction de la durée d incessibilité Paramètres fixés Prime d exercice = 25% Durée= 7 ans Volatilité = 25% Ajustements /an= 52 Paramètres simulés Prime de risque = 6.0% Frais de frottements= 2.0% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Décote d'incessibilité en fonction de la durée d'incessibilité 0 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y Méthode de la prime Méthode des Frottements