Repérage dans le plan GÉOMÉTRIE 1 ACTIVITÉ 1 Coordonnées dans un repère CHERCHER : Changer de registre On considère le repère (P, I, J) où P désigne Paris. On a de plus PI = PJ et (PI) perpendiculaire à (PJ). 1) Donner les coordonnées d Amiens, de Rennes et de Perpignan dans le repère (P, I, J) ) Identifier la ou les ville(s) de la carte : a) de coordonnées ( 7; 8) b) d ordonnée nulle c) de même abscisse que Limoges d) d ordonnée maximale 3) On note (x; y) les coordonnées d une ville placée sur la carte. Identifier les villes de la carte correspondant à la condition donnée : a) 11 < y < 9 b) x 10 c) x < 0 ET y > 0 d) x = OU y = 90 ACTIVITÉ Vrai ou faux? 1) Si x < 10 alors la ville V de coordonnées (x; y) est située en Bretagne. ) Si la ville V de coordonnées (x; y) est en Bretagne alors x < 10. 3) Si y < 5 alors la ville U de coordonnées (x; y) est située au sud de Paris. 4) La ville W de coordonnées (x; y) est située au sud de Nantes si et seulement si y < 5 1
ACTIVITÉ 3 Moyenne des coordonnées CHERCHER : Changer de registre Le plan est muni d un repère (O, I, J) que vous construirez sur le quadrillage de votre cahier On considère la série d instructions ci-dessous : Placer le point A de cordonnées (x A ; y A ) Placer le point B de cordonnées (x B ; y B ) Calculer la moyenne x des deux nombres x A et x B Calculer la moyenne y des deux nombres y A et y B Placer le point K de coordonnées (x; y) 1) Suivre les instructions ci-dessus dans les cas suivants : a) A(; 4) et B(4; 0) b) A(3, 4) et B( 1; ) c) A et B choisis par vous même ) Que représente le point K pour les points A et B? 3) Vous devez expliquer à un camarade la démarche à mettre en oeuvre lorsque que l on veur calculer les coordonnées du milieu d un segment lorsque l on connait les coordonnées des extrémités de ce segment. Ecrire les instructions que vous lui donneriez ACTIVITÉ 4 Calcul de distance dans un repère CHERCHER : Changer de registre 1) Sur la carte donnée dans l activité 1, calculer à l aide du quadrillage la distance entre Bourges et Limoges. L unité de longueur étant la distance PI = PJ. En déduire la distance en km entre Bourges et Limoges. Utiliser une règle graduée et l échelle pour vérifier expérimentalement le résultat obtenu. ) Déterminer de même la distance entre Perpignan et Amiens 3) Déterminer la distance entre les villes de coordonnées ( 5; 1) et (1; 9) 4) Les coordonnées de Besançon sont (de manière approchée) (7, 6; 4, 4) Les coordonnées de Pontarlier ( qui n est pas sur la carte ) sont (de manière approchée) (8, 9; 5). Calculer la distance ( dite à vol d oiseau) Besançon-Pontarlier 5) Une formule de calcul : Vous devez expliquer à un camarade la démarche à mettre en oeuvre lorsque que l on veut calculer la distance entre deux popints dont on connait les coordonnées. Ecrire les instructions que vous lui donneriez
1. Objectifs Repérage Caractériser un point du plan par ses coordonnées dans un repère orthonormé Distinguer abscisse et ordonnée Notation d usage des coordonnées Calculs en géométrie Calculer les coordonnées du milieu d un segment Calculer la distance entre deux points dans un reprère orthonormé Application à la géométrie : Démontrer qu une figure est un parallélogramme ou un parallélogramme particulier Démontrer qu un triangle est rectangle. Démontrer que trois points sont alignés Déterminer les coordonnées du symétrique d un point par rapport à un autre.. Le vocabulaire de base A. Repère du plan DÉFINITION La donnée de 3 points O, I, J non alignés du plan définit un repère du plan. Il est noté (O, I, J) La droite graduée (O, I) est appelé : axe des abscisses La droite graduée (O, J) est appelé : axe des ordonnées.j..i..i.1 Remarque : Lorsque OI J forme un triangle rectangle le repère (O, I, J) est dit orthogonal Lorsque OI J forme un triangle isocéle rectangle le repère (O, I, J) est dit orthonormé ou orthonormal Dans les autres cas le repère est dit quelconque Chapitre G1. Repérage dans le plan 3
B. Coordonnées d un point dans un repère DÉFINITION On considère un point M du plan. L abscisse de M est la valeur lue au niveau de l intersection de l axe des abscisses avec la droite parallèle à l axe des ordonnées passant par M L ordonnée de M est la valeur lue au niveau de l intersection de l axe des ordonnées avec la droite parallèle à l axe des abscisses passant par M Si x est l abscisse de M et y l ordonnées de M, on dit que M a pour coordonnées (x; y) dans le repère (O, I, J) Dans les exemples ci-contre M a pour coordonnées (; 3) dans le repère (O, I, J).3.M.J..I..3.M.J..I. 4 Chapitre G1. Repérage dans le plan
3. Application à la géométrie A. Coordonnées du milieu d un segment PROPRIÉTÉ On considère un repère (O,I,J) Soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) dans ce repère. ( xa + x Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées B ; y A + y B ) B. Distance (repère orthonormé) PROPRIÉTÉ On considère un repère orthonormé (O,I,J) Soit A ( x A ; y A ) et B ( x B ; y B ) dans ce repère. La distance AB est donnée par : AB = (x B x A ) + (y B y A ) Chapitre G1. Repérage dans le plan 5