Chapitre 7 Généralités sur les fonctions numériques Étude d une fonction réelle d une variable réelle On munit le plan d un repère orthonormé O; i, j.. Fonction réelle d une variable réelle Définition Fonction réelle d une variable réelle On appelle fonction réelle d une variable réelle toute application f : A R, où A est une partie non vide de R. Pour simplifier on dira que f est une fonction réelle. ATTENTION : il faut veiller à ne pas confondre les notations f et f (). f désigne l application et f () désigne l image de. L application f peut être aussi notée f ().. Ensemble de définition Définition Ensemble de définition L ensemble définition d une fonction réelle f est le sous-ensemble de R, noté D f, formé des R pour lesquels l epression f () est définie. Eemple : f () = donne D f = R + = [0,+ [. Eemple : f () = ln() donne D f = R + =]0,+ [. Eemple : f () = e donne D f = R. Eemple : f () = donne D f = R\{,} =],[ ],[ ],+ [. 9
. Représentation graphique de f CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques Définition Graphe de f Soit f : D f R. Le graphe de f est le sous-ensemble de R, noté G f, défini par : G f =, f () D f Représenter f c est représenter G f dans le repère O; i, j. On obtient une courbe du plan, appelée représentation graphique de f, notée C f. Eemple : f : ln() donne G f = (,ln)/ > 0. C f 4 5 6 7 8 9 0 4 Définition 4 Périodicité Soient f : D f R et T > 0. La fonction f est dite périodique de période T, ou encore T -périodique, lorsque : (i) D f, + T D f (ii) D f, f ( + T ) = f (). On peut remarquer que si D f = R, la condition (i) est automatiquement vérifiée. On montre facilement que la condition (ii) entraîne que : R, k Z, f ( + kt ) = f () Eemple : La fonction tan est π-périodique. Interprétation graphique Si f est T -périodique alors son graphe est invariant par toute translation de vecteur kt. i, avec k Z. ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 40
Étude d une fonction réelle d une variable réelle Il suffit donc d étudier f sur un intervalle de longueur T, ie du type [a, a + T ] avec a R (on choisit souvent [0,T ] ou T, T ). Le reste du graphe de f se déduit ensuite par translations de vecteurs kt. i, k Z. Eemple : Pour la fonction tan. 4 π. π. i i π. i M M M M π π π π π π π 5π 4 5 Définition 5 Parité Soient f : D f R et A D f.. La fonction f est dite paire sur A lorsque : (i) A, A (ii) A, f ( ) = f ().. La fonction f est dite impaire sur A lorsque : (i) A, A (ii) A, f ( ) = f (). Évidemment si D f = R, la condition (i) est automatiquement vérifiée. Eemple : La fonction est paire sur R, et est impaire sur R. Interprétation graphique. Si f est paire alors son graphe est symétrique par rapport à l ae des ordonnées (0y). On peut donc restreindre l étude à D f R + ou D f R.. Si f est impaire alors son graphe est symétrique par rapport au point O. On peut donc restreindre l étude à D f R + ou D f R. ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 4
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques Eemple : Pour la fonction. 4 C f M M 4 Eemple : Pour la fonction. 4 C f M M 4 ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 4
Étude d une fonction réelle d une variable réelle Définition 6 Ae de symétrie Soient f : D f R et a R. On dit que la courbe représentative de f admet la droite d équation = a comme ae de symétrie lorsque : (i) D f, a D f (ii) D f, f (a ) = f (). Remarquez que si a = 0, on retrouve la définition d une fonction paire. Eemple : La courbe de la fonction ( a) admet la droite = a comme ae de symétrie. Interprétation graphique Si la courbe représentative de f admet la droite = a comme ae de symétrie, on peut restreindre l étude à D f [a,+ [ ou D f ], a]. Eemple : Pour la fonction ( ) +. 6 5 4 M M C f Définition 7 Centre de symétrie Soient f : D f R et Ω un point du plan de coordonnées (a,b). On dit que la courbe représentative de f admet le point Ω comme centre de symétrie lorsque : (i) D f, a D f (ii) D f, f (a ) = b f (). Remarquez que si a = b = 0, on retrouve la définition d une fonction impaire. ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 4
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques Eemple : La courbe de la fonction ( a) +b admet le point Ω(a,b) comme centre de symétrie. Interprétation graphique Si la courbe représentative de f admet le point Ω(a, b) comme centre de symétrie, on peut restreindre l étude à D f [a,+ [ ou D f ], a]. Eemple : Pour la fonction ( ) +. 6 5 4 M C f M Ω.4 Monotonie Définition 8 Fonction monotone Soit f fonction définie sur un intervalle I de R.. f est croissante sur I lorsque : (, y) I, y = f () f (y) Dans ce cas : et < y = f () f (y) f () < f (y) = < y = y Par contre si on a seulement l inégalité large f () f (y), alors on ne peut pas comparer et y. ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 44
Étude d une fonction réelle d une variable réelle. f est strictement croissante sur I lorsque : (, y) I, < y = f () < f (y) Dans ce cas : et < y f () < f (y) y f () f (y). f est décroissante sur I lorsque : (, y) I, y = f () f (y) Dans ce cas : et < y = f () f (y) f () < f (y) = > y = y Par contre si on a seulement l inégalité large f () f (y), alors on ne peut pas comparer et y. 4. f est strictement décroissante sur I lorsque : (, y) I, < y = f () > f (y) Dans ce cas : et < y f () > f (y) y f () f (y) 5. f est dite monotone sur I lorsqu elle est croissante ou décroissante sur I. 6. f est dite strictement monotone sur I lorsqu elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I. Eemple : e est strictement croissante sur R. Eemple : est strictement décroissante sur R =],0]. Eemple : est croissante sur R. On rappelle deu théorèmes bien connus qui seront démontrés dans le chapitre sur les fonctions numériques dérivables. ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 45
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques Théorème 9 Monotonie et signe de la dérivée On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I.. f est croissante sur I I, f () 0. f est décroissante sur I I, f () 0. f est constante sur I I, f () = 0 Théorème 0 Stricte monotonie et signe de la dérivée On suppose que f est une fonction dérivable sur un intervalle I.. f () > 0 pour tout I sauf éventuellement en des points «isolés» = f strictement croissante sur I. f () < 0 pour tout I sauf éventuellement en des points «isolés» = f strictement décroissante sur I ATTENTION : si f est strictement croissante sur un intervalle I, on ne peut pas dire que f () > 0 pour tout I, comme le montre l eemple de la fonction. Eemple : f : + cos() est strictement croissante sur R..5 Etremums d une fonction Définition Fonction majorée/minorée/bornée Soit f une fonction définie sur un intervalle I.. On dit que f est majorée sur I lorsque : M R/ I, f () M M est alors appelé majorant de f.. On dit que f est minorée sur I lorsque : m R/ I, f () m m est alors appelé minorant de f.. On dit que f est bornée sur I lorsqu elle est à la fois majorée et minorée sur I, ie lorsque : (m, M) R / I, m f () M Proposition Caractérisation des fonctions bornées Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Alors : f est bornée sur I f est majorée sur I ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 46
Étude d une fonction réelle d une variable réelle Définition Etremum global Soit f une fonction définie sur un intervalle I.. On dit que f admet un maimum global en 0 I, lorsque f est majorée par f ( 0 ) : I, f () f ( 0 ). On dit que f admet un minimum global en 0 I, lorsque f est minorée par f ( 0 ) : I, f () f ( 0 ). On dit que f admet un etremum global en 0 I, lorsque f admet en 0 un maimum global ou un minimum global. Définition 4 Etremum global Soit f une fonction définie sur un intervalle I.. On dit que f admet un maimum local en 0 I, lorsqu il eiste δ > 0 tel que f est majorée par f ( 0 ) sur ] 0 δ, 0 + δ[ I : ] 0 δ, 0 + δ[ I, f () f ( 0 ). On dit que f admet un minimum local en 0 I, lorsqu il eiste δ > 0 tel que f est minorée par f ( 0 ) sur ] 0 δ, 0 + δ[ I : ] 0 δ, 0 + δ[ I, f () f ( 0 ). On dit que f admet un etremum local en 0 I, lorsque f admet en 0 un maimum local ou un minimum local. Proposition 5 Un etremum global est local Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Alors : f admet un etremum global en 0 = f admet un etremum local en 0 Théorème 6 Condition nécessaire d etremum local Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et telle que : (i) f admet un etremum local en 0 I (ii) 0 I, ie 0 n est pas une borne de I. Alors f ( 0 ) = 0. La tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 0 est donc horizontale. ATTENTION : la réciproque est fausse comme le montre l eemple de la fonction en 0. ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 47
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques ATTENTION : l hypothèse 0 I est essentielle, comme le montre l eemple de la fonction sur [0,]. Ce résultat donne donc des points 0 candidats à être des etremums locau (on les appelle points critiques de f : 0 I et f ( 0 ) = 0). Mais il faut ensuite vérifier point par point si on trouve bien un etremum local en ces points, puis faire une étude séparée des bornes de l intervalle. Pour l étude des points critiques, on peut utiliser le théorème suivant. Théorème 7 Condition suffisante d etremum local en un point critique Soit f fonction dérivable sur un intervalle I et 0 un point critique de f. Si f change de signe en 0 alors f admet un etremum local en 0. En pratique il suffit de dresser le tableau de variations de f. Eemple : Déterminer les etremums de la fonction 8 + 4 + 8. Fonctions usuelles. Fonction racine n-ième Pour n, la fonction n est définie sur R + et à valeurs dans R +. On a les valeurs particulières : n 0 = 0 et n =. Cette fonction est continue sur R + et dérivable seulement sur R + : elle est continue mais non dérivable en 0. Sa dérivée est donnée par : > 0, n = n = n n = n n et en particulier pour n = : Représentation graphique : > 0, = n = n = n = 5 4 5 6 7 8 9 ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 48
Fonctions usuelles. Fonctions trigonométriques Les fonctions cos et sin sont dérivables (donc continues) sur R et : R, sin () = cos() et cos () = sin() Représentation graphique : C cos C sin π π π π π π π π 5π Il faut connaître par coeur les limites suivantes : lim 0 sin() = sin(0) = 0, lim cos() = cos(0) =, lim 0 0 sin() = et lim 0 cos() =. La fonction tan est dérivable (donc continue) sur D tan = R\ π + kπ k Z et : Représentation graphique : D tan, tan () = cos () = + tan () 4 C tan π π π π π π π 5π 4 5 Il faut connaître par coeur les limites suivantes : tan() lim tan() = tan(0) = 0 et lim =. 0 0 ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 49
. Fonctions logarithmes et eponentielles CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques La fonction eponentielle est définie comme étant l unique fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée, et prenant la valeur en 0. On la note ep ou e. On a les propriétés suivantes. Proposition 8 Propriétés de la fonction eponentielle. R,e > 0 et donc e = 0. e 0 =. (a,b) R, e a+b = e a e b, e a = e a et ea b = ea e b n n 4. Plus généralement : (a,...,a n ) R n, ep a i = i= i= 5. a R, n Z, e a n = e na 6. R, e = e e a i Ainsi on a e = e, e = e... Représentation graphique : C ep 7 6 5 4 5 4 ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 50
Fonctions usuelles Il faut connaître par coeur les limites suivantes : lim 0 e = e 0 e = et lim = 0 e lim + e = + et lim + = 0 lim e = 0 et lim e = 0. La fonction ep est continue (car dérivable) et strictement croissante sur R : + ep 0 + D après le théorème de la bijection monotone, elle induit une bijection de R sur R + =]0,+ [. On note ln : R + R sa bijection réciproque. Cette fonction est appelée logarithme népérien. On démontrera dans le chapitre sur les fonctions numériques dérivables qu elle est dérivable (donc continue) sur R +. Par définition de la bijection réciproque, on a R, ln e = et > 0, e ln() =. De plus : R, y > 0, e = y = ln y Proposition 9 Propriétés de la fonction logarithme népérien. ln() = 0 = et ln() = = e. (a,b) R, ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln a = ln(a) et ln. Plus généralement : (a,...,a n ) R n n, + ln a i = i= 4. a > 0, n Z, ln(a n ) = n ln(a) 5. > 0, ln() = a b = ln(a) ln(b) n ln(a i ) i= On démontrera dans le chapitre sur les fonctions numériques dérivables que les courbes représentatives de ep et ln sont symétriques par rapport à y = : ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 5
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques 7 6 C ep y = 5 4 C ln 5 4 4 5 6 7 4 5 Il faut connaître par coeur les limites suivantes : ln() lim ln() = ln() = 0 et lim = lim ln( + h) = h 0 h ln() lim ln() = + et lim = 0 + + ln() = et lim ln() = 0. + + lim 0 0.4 Fonctions puissances réelles Soit α R. La fonction puissance α est définie sur R + =]0,+ [ par : > 0 α = e αln() On peut vérifier que pour > 0 : - si n, = e n ln() ; n termes - si n = 0, e n ln() = ; - si n Z\N, = e n ln() ; n termes - si n, n = e n ln(). ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 5
Fonctions usuelles Donc on généralise sur R + les fonctions puissances entières, et racines n-ièmes définies au lycée. ATTENTION : la fonction α est définie au moins sur ]0,+ [. Par eemple la fonction est définie sur R tout entier!! De plus la formule α = e αln() n est intéressante que si α Z : par eemple écrire = e ln() n est pas plus simple que =. On a les propriétés suivantes. Proposition 0 Propriétés des fonctions puissances On se donne > 0, y > 0 et (α,β) R.. α β = α+β, α = α et α = α β ; β. α β = αβ = β ) α ;. ( y) α = α y α = y α α = (y) α. On démontrera que la fonction α est dérivable (donc continue sur R + ), de dérivée : > 0, α = α α On en déduit qu elle est strictement croissante si α > 0, strictement décroissante si α < 0 (et constante égale à si α = 0). Il faut connaître par coeur les limites suivantes : 0 si α > 0 + si α > 0 lim 0 α = si α = 0 et lim + + α = si α = 0 + si α < 0 0 si α < 0 On a les tableau de variations : Cas α > 0 Cas α < 0 0 + 0 + α 0 + α + 0 et les représentations graphiques (les cas α < et α > seront étudiés dans le chapitre sur la dérivabilité) : ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 5
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques 4 α > α = 0 < α < α = 0 α < 0 4.5 Fonctions logarithmes et eponentielles en base a Soit a > 0 tel que a =, ie a ]0,[ ],+ [. On définit les fonctions logarithmes et eponentielles en base a par : > 0, log a () = ln() ln(a) et R, a = e ln(a) Pour a = e, on retrouve les fonctions logarithme népérien et eponentielle. On peut montrer qu elles sont bijections réciproques l une de l autre : Eemple : log (56) = log ( 8 ) = 8 > 0, a log a () = et R, log a a ) = On utilisera principalement que : n N, log 0 (0 n ) = n. La fonction log a est dérivable (donc continue) sur R +, de dérivée : > 0, log a () = ln(a) La fonction a est dérivable (donc continue) sur R, de dérivée : R, a = ln(a)a ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 54
Fonctions usuelles.6 Croissances comparées Théorème Croissances comparées On se donne trois réels α, β et γ. (ln) β. Pour α > 0 : lim + α = 0 + et lim α ln β = 0 +. 0 +. Pour γ > 0 : lim + α e γ = lim +. Pour γ > 0 : lim + (ln)β e γ = 0. α e γ = 0+ et lim α e γ = 0 +. De manière mnémotechnique, on peut retenir que : ln puissance ep ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 55
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques Eercices Eercice Soit f : R R une application croissante telle que : R, f f () =. Montrer que R, f () =. Eercice Soit I un intervalle de R. Montrer que :. Si f et g sont croissantes sur I alors f + g est croissante sur I.. Si f est croissante sur I et g croissante sur J, tel que f (I ) J, alors g f croissante sur I.. Si f et g sont croissantes positives sur I alors f g est croissante sur I. Eercice Soit f : R R une fonction périodique de période T > 0. On suppose que f est monotone, montrer que f est constante. Eercice 4 Soit f : [0,] [0,] une fonction croissante. Montrer que f a au moins un point fie. Est-ce vrai si f est décroissante? Indications : on pourra poser α = sup [0,]/ f () >. Eercice 5 [Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques] Pour R, on pose cosh = e +e et sinh = e e.. Montrer les formules suivantes, valables pour tous, y R : cosh + sinh = e ; cosh sinh = e ; cosh sinh =. Calculer, pour tout, y R, cosh( + y), cosh( y), sinh( + y) et sinh( y) en fonction de cosh, sinh(), cosh y et sinh y. En déduire des formules de transformation de sommes en produits de fonctions hyperboliques. Eercice 6. Montrer que : >, ln( + ).. En déduire que pour tout n : + n Eercice 7 Soit 0 < a b. On pose f : R + déduire que ln + a ln + b b a Eercice 8 Pour > 0 simplifier ep ln. n e n n. ln(+a) ln(+b). Etudier la monotonie de f et en (ln). Eercice 9 Parmi les relations suivantes lesquelles sont eactes : ) a b c = a bc ) a b a c = a bc ) a b = a b 4) (ab) c = a c b c 5) a b c = a (b c ) 6) a b c = (a c ) b? Eercice 0 Résoudre les équations suivantes : ) e + e = e + ) = ) / = +/. Eercice Résoudre les systèmes suivants : 8 = 0y e e y = a) b) = 5y y = ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 56
Eercices Eercice On veut déterminer toutes les fonctions f : R R vérifiant : (i) (ii) (, y) R, f ( + y) = f () + f (y) (, y) R, f ( y) = f ()f (y). Soit f une fonction solution qui n est pas la fonction nulle. (a) Calculer f (0), f () et f (). (b) Déterminer f () pour Z, puis pour Q. (c) Montrer que 0, f () 0. En déduire que f est croissante. (d) En déduire que f = id R.. Conclure. ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 57
CHAPITRE 7 : Généralités sur les fonctions numériques ECS., Lycée Fermat Toulouse. http://arnaud.begyn.free.fr/ 58