Coordonnées Équation de droites

Coordonnées Équation de droites Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Coordonnées dans le plan 2 1.1 Repères coordonnées d un point.................................... 2 1.2 Coordonnées du milieu d un segment.................................. 3 1.3 Distances dans un repère orthonormé.................................. 4 2 Équations de droites 4 2.1 Rappels sur les fonctions affines..................................... 4 2.2 Équations de droites........................................... 5 2.3 Coefficient directeur d une droite.................................... 7 2.4 Positions relatives de deux droites................................... 9 Table des figures 1 Un repère quelconque.......................................... 2 2 Des repères particuliers......................................... 2 3 Coordonnées d un point......................................... 3 4 Coordonnées exemples......................................... 3 5 Distance dans un repère orthonormé.................................. 4 6 Droite non parallèle à l axe des ordonnées............................... 5 7 Tracé de la droite d équation y = 2x + 3............................... 6 8 Droite parallèle à l axe des ordonnées.................................. 7 9 Coefficient directeur d une droite.................................... 7 10 Premier exemple de détermination graphique................................ 8 11 Deuxième exemple de détermination graphique............................... 9 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1

en préliminaire au cours : Activité : Activité 1 page 185 1 [TransMath] 1 Coordonnées dans le plan 1.1 Repères coordonnées d un point Définition : Définir un repère du plan, c est choisir 3 points non alignés dons un ordre précis : O, I, J. On note ce repère (O, I, J) (voir figure 1) et : le point O est l origine du repère ; la droite (OI) est l axe des abscisses et le point I donne l unité sur cet axe ; la droite (OJ) est l axe des ordonnées et le point J donne l unité sur cet axe. Figure 1: Un repère quelconque Remarques : 1. L axe des abscisses est souvent horizontal, mais ce n est pas une obligation. 2. Si (OI) (OJ) (c est-à-dire si le triangle OIJ est rectangle en O), on dit que le repère (O, I, J) est orthogonal (voir figure 2a). 3. Si (OI) (OJ) et OI = OJ (c est-à-dire si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O), on dit que le repère (O, I, J) est orthonormé (voir figure 2b). (a) Repère orthogonal (b) repère orthonormé Figure 2: Des repères particuliers 1. Utiliser les coordonnées en géométrie. 2

Définition : Soit (O, I, J) un repère quelconque du plan et M un point du plan. Soit P le point d intersection entre la parallèle à (OJ) passant par M et l axe des abscisses (OI). Soit Q le point d intersection entre la parallèle à (OI) passant par M et l axe des ordonnées (OJ). (voir figure ) L abscisse x M du point M est l abscisse du point P sur la droite (OI). L ordonnée y M du point M est l abscisse du point Q sur la droite (OJ). Le couple (x M ; y M ) s appelle coordonnées du point M dans le repère (O, I, J). Figure 3: Coordonnées d un point Exemples : Dans le repère (O, I, J) de la figure 4, on a : O (0 ; 0) ; I (1 ; 0) ; J (0 ; 1) ; A (3 ; 2) ; B ( 2 ; 3) et C ( 1 ; 2). Figure 4: Coordonnées exemples Exercices : 37, 38, 39 page 199 2 [TransMath] 1.2 Coordonnées du milieu d un segment Théorème : (admis) Soit (O, I, J) un repère du plan et A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ) deux points du plan. Les coordonnées du milieu I de [AB] sont : x I = x A + x B 2 Exercices : 1, 2, 3, 4, 5 page 189 3 [TransMath] 2. Coordonnées de points. 3. Coordonnées du milieu. et y I = y A + y B 2 3

1.3 Distances dans un repère orthonormé Activité : Activité 2 page 185 4 [TransMath] Théorème : Dans un repère orthonormé, on considère deux points A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ). La distance entre les points A et B est : AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 Figure 5: Distance dans un repère orthonormé On suppose que x B > x A et que y B > y A (voir figure 5) On note C le point tel que x C = x B et y C = y A. Comme (BC) (OJ) et (AB) (OI), le triangle ABC est rectangle en C. D après le théorème de Pythagore, on a : Or, AC = x B x A et BC = y B y A donc : et, comme AB est positif : AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 Remarque : Attention! Ce théorème est uniquement valable dans un repère orthonormé! Exercices : 6, 7, 8 page 190 et 46 page 199 5 10 page 190 ; 41, 42, 43, 45 page 199 et 53 page 200 6 48, 49 page 200 7 33 page 197 ; 51, 52, 55, 56 page 200 et 57 page 201 8 32 page 197 ; 72 page 203 et 78 page 204 9 22 page 215 et 37 page 218 10 [TransMath] 2 Équations de droites 2.1 Rappels sur les fonctions affines Définition : Soient m et p deux réels. La fonction f définie sur R par f (x) = mx + p est une fonction affine. Le coefficient m est appelé coefficient directeur. Le coefficient p est appelé ordonnée à l origine. 4. Choisir un repère 5. Calculs de distances. 6. Nature de triangles. 7. Vrai ou Faux 8. Nature d un quadrilatère. 9. Utilisation de l algèbre. 10. Choisir un repère. 4

Remarques : 1. Le nombre p est appelé ordonnée à l origine car f (0) = p. 2. Si m = 0 : f (x) = p, on obtient une fonction constante ; Si p = 0 : f (x) = mx, on obtient une fonction linéaire. Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur R par f (x) = mx + p est une droite. Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p). Cas particuliers : Si f (x) = p (fonction constante), on obtient une droite parallèle à l axe des abscisses et passant par l ordonnée p ; Si f (x) = mx (fonction linéaire), on obtient une droite passant par l origine du repère. 2.2 Équations de droites Propriété 1 : Dans un repère (O ; I ; J), toute droite D non parallèle à l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. Elle admet donc une équation de la forme y = mx + p. Le coefficient m est appelé coefficient directeur. Le coefficient p est appelé ordonnée à l origine. La droite D n étant pas parallèle à l axe des ordonnées, elle le coupe en un point A. Elle coupe aussi la parallèle à l axe des ordonnées passant par le point I. On note B le point d intersection (voir figure 6). Figure 6: Droite non parallèle à l axe des ordonnées On a donc A (0 ; p) et B (1 ; q). Soit f la fonction affine définie par f (x) = (q p) x + p. On a : f (0) = p et f (1) = (q p) 1 + p = q p + p = q. La représentation graphique de la fonction affine f est donc une droite qui passe par A et B. Comme la seule droite passant par les points A et B est la droite D, la droite D est la représentation graphique de la fonction f et admet comme équation y = mx + p. Cas particuliers : Une droite parallèle à l axe des abscisses admet une équation de la forme y = p Une droite passant par l origine du repère admet une équation de la forme y = mx. Remarques : 5

1. Vérifier qu un point est sur une droite revient donc à vérifier que ses coordonnées satisfont à l équation de la droite. 2. Pour tracer une droite, il suffit d avoir deux points. Il suffit donc de trouver les coordonnées de deux points de la droite pour la tracer. Très souvent, un de ces points sera le point de coordonnées (0 ; p). Exemple : Soit (d) la droite d équation y = 2x + 3. (d) passe par le point A (0 ; 3) ; si x = 1, y = 2 1 + 3 = 2 + 3 = 1 donc (d) passe par le point B (1 ; 1). Cette droite est tracée sur la figure 7. Figure 7: Tracé de la droite d équation y = 2x + 3 Vérifions maintenant que le point C (2, 5 ; 2) est bien sur la droite (d) : 2 2, 5 + 3 = 5 + 3 = 2 Les coordonnées de C vérifient l équation donc C (d). Propriété 2 : Dans un repère (O ; I ; J), toute droite parallèle à l axe des ordonnées admet donc une équation de la forme x = c. La droite étant parallèle à l axe des ordonnées, elle coupe l axe des abscisses en un point A (voir figure 8).. Un point M (x ; y) est sur si et seulement si il a la même abscisse que A. La droite admet donc comme équation x = c. Remarque : Attention! Les droites parallèles à l axe des ordonnées ont une équation de la forme x = constante et les droites parallèles à l axe des abscisses une équation de la forme y = constante. Exercices : 14, 15 page 192 11 74 page 203 12 87 page 205 13 [TransMath] 11. Tracer une droite d équation donnée. 12. Autres types d équations de droites. 13. Un peu de logique. 6

Figure 8: Droite parallèle à l axe des ordonnées 2.3 Coefficient directeur d une droite Propriété : Dans un repère, on considère les points A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ) avec x A x B (voir figure 9). Le coefficient directeur de la droite (AB) est : m = y B y A différence des ordonnées = = y x B x A différence des abcisses x Figure 9: Coefficient directeur d une droite Comme x A x B, la droite (AB) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Elle admet donc une équation de la forme y = mx + p. Comme les points A et B sont sur cette droite, on a : y A = mx A + p et y B = mx B + p. y B y A = (mx B + p) (mx A + p) = mx B + p mx A p = mx B mx A = m (x B x A ) On obtient donc : m (x B x A ) = y B y A. Comme x A x B, on peut diviser cette expression par x B x A et on obtient : m = y B y A x B x A Exemple : Détermination l équation de la droite (d) passant par A ( 2 ; 1) et B (6 ; 5). L équation est de la forme y = mx + p. m = y B y A x B x A = 5 1 6 ( 2) = 4 6 + 2 = 4 8 = 1 2 Par suite, l équation est de la forme y = 1 2 x + p. Pour déterminer l ordonnée à l origine p, il suffit de remarquer que la droite passe par A ( 2 ; 1). On a 7

donc : 1 2 ( 2) + p = 1 1 + p = 1 p = 2 L équation de la droite (d) est donc y = 1 2 x + 2. Exercices : 11, 12 page 191 14 Remarque : On peut aussi déterminer graphiquement l équation d une d une en utilisant les remarques suivantes : la droite passe par le point de coordonnées (0 ; p) ; différence des ordonnées le coefficient directeur est donné par la formule : m = différence des abscisses = y x. Exemples : 1. Voir figure 10. Figure 10: Premier exemple de détermination graphique. L équation de la droite est de la forme y = mx + p. La droite coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1) donc p = 1. Partant de ce point, il faut avancer de 1 unité ( x = 1) et monter de 2 unités ( y = 2) pour se trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m = y x = 2 1 = 2. La droite admet donc comme équation : y = 2x 1. 2. Voir figure 11. On pose y = mx + p. La droite coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 2) donc p = 2. Partant de ce point, il faut avancer de 2 unités ( x = 2) et descendre de 1 unité ( y = 1) pour se trouver sur un autre point de la droite. On a donc : m = y x = 1 2 = 1 2. La droite admet donc comme équation : f (x) = 1 2 x + 2. Exercices : 13 page 191 15 60 page 201 et 16 page 192 16 61, 62 page 201 17 69, 70 page 202 18 75 page 203 19 [TransMath] 14. Déterminer l équation d une droite. 15. Déterminer graphiquement l équation d une droite. 16. Tracer une droite connaissant son coefficient directeur. 17. Utilisation du coefficient directeur. 18. Intersection avec les axes. 19. Étude d une configuration. 8

Figure 11: Deuxième exemple de détermination graphique. 2.4 Positions relatives de deux droites Théorème 1 (admis) : Dans un repère, on considère la droite D d équation y = mx + p et la droite D d équation y = m x + p. Dire que D et D sont parallèles équivaut à m = m. Théorème 2 : Dans un repère, on considère la droite D d équation y = mx + p et la droite D d équation y = m x + p. Dire que D et D sont sécantes équivaut à m m. Remarque : Ce théorème est la contraposée du théorème précédent. Sa démonstration est donc immédiate. Exercices : 17 page 193 ; 35 page 197 et 63, 67, 68 page 202 20 18, 19 page 193 21 24, 25, 27 page 195 22 66 page 202 et 82, 83, 86, 88 page 205 23 [TransMath] Théorème 3 : Dans un repère, on considère trois points A, B et C tels que l abscisse de A soit différente de celle de B et de celle de C. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les coefficients directeurs de (AB) et (AC) sont égaux. Comme l abscisse de A est différente de celle de B et de C, les droites (AB) et (AC) ne sont pas parallèles à l axe des ordonnées. Donc, d après le Théorème 1, dire que (AB) (AC) équivaut à dire que les coefficients directeurs de (AB) et (AC) sont égaux. De plus, comme les droites (AB) et (AC) ont un point commun (le point A), dire qu elles sont parallèles revient à dire qu elles sont confondues et donc que les points A, B et C sont alignés. Exercices : 20, 21, 22 page 194 ; 34 page 197 et 79, 80 page 204 24 71 page 202 25 64, 65 page 202 26 38, 39 page 218 et 41, 42 page 219 27 [TransMath] Références [TransMath] Transmath Seconde, Nathan (édition 2010). 2, 3, 4, 6, 8, 9 20. Parallélisme de deux droites données. 21. Équation d une parallèle à une droite donnée. 22. Coordonnées du point d intersection. 23. Étude d une configuration. 24. Points alignés. 25. Algorithmique. 26. Droites concourantes. 27. Utilisation d un repère pour démontrer. 9