Brevet des Collèges Pondichéry avril 2014 Correction Exercice n 1: Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3003 dragées au chocolat et 3731 dragées aux amandes. 1. Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles. Chaque corbeille doit avoir la même composition. Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées? 3003=20 150 3 3731=20 186 11 Donc chacune des 20 corbeilles contiendra 150 dragées au chocolat et 186 dragées aux amandes. Il restera 3+11=14 dragées non utilisées. 2. Emma et Arthur changent d avis et décident de proposer des petits ballotins * dont la composition est identique. Ils souhaitent qu il ne leur reste pas de dragées. * Un ballotin est un emballage pour confiseries, une boîte par exemple. a. Emma propose d en faire 90. Ceci convient-il? Justifier. 3003=90 33 33 Si Emma réalise 90 ballotins, il restera déjà 33 dragées au chocolat. Donc cela ne convient pas. b. Ils se mettent d accord pour faire un maximum de ballotins. Combien en feront-ils et quelle sera leur composition? Comme la composition des ballotins sera identique et qu'il ne doit pas rester de dragées, le nombre de ballotins doit être un diviseur des nombres 3003 et 3731. Comme ce nombre de ballotin sera maximal, on doit donc chercher le PGCD des nombres 3003 et 3731 Méthode des soustractions successives: 3731-3003=728 3003-728=25 25-728 = 1547 1547-728 = 819 819-728 = 91 728-91 =637 637-91 = 546 546-91=455 455-91=364 364-91=3 3-91=182 182-91=91 91-91=0 Méthode des divisions euclidiennes 3731=3003 1 728 3003=728 4 91 728=91 8 0
donc PGCD(3731;3003)=91 Ils pourront donc réaliser 91 ballotins et dans chaque ballotin, il y aura 3003:91=33 dragées au chocolat et 3731:91=41 dragées aux amandes. Exercice n 2 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Toute réponse exacte vaut 1 point. Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n enlève pas de point. Indiquez sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte (A ou B ou C). 1. 5 2 = 25=5 donc réponse C. 2. réponse C (même aire ne veut pas dire même forme et ne veut pas dire même périmètre) 3. f x =3 x 2x 7 3 x 5 =3 x 2x 7 3x 5=4 x 2 f est une fonction du type f(x)=ax+b, c'est donc une fonction affine (réponse A) 4. L'enquête ne peut pas l'aider car chaque tirage est indépendant (réponse C) 5. x 1 2 16= x 1 2 4 2 C'est une expression du type a 2 b 2 or a 2 b 2 = a b a b donc x 1 2 16= x 1 4 x 1 4 = x 5 x 3 donc réponse A
Exercice n 3 : «Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j enlève 21. J obtiens toujours un multiple de 10.» Est-ce vrai? Justifier. Si travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche.elle sera prise en compte dans l évaluation. Soit x le nombre entier choisi. Le calcul mené est : 7 x 3 3 x 21=7 x 21 3x 21=10 x donc le nombre obtenu est bien un multiple de 10. Exercice n 4 : Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisées ci-dessous : le parcours ACDA le parcours AEFA Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s approche le plus possible de 4 km. Peux-tu les aider à choisir le parcours? Justifie. Attention : la figure proposée au conseil municipal n est pas à l échelle, mais les codages et les dimensions données sont correctes. AC = 1,4 km CD = 1,05 km AE' = 0,5 km AE = 1,3 km AF = 1,6 km E'F' = 0,4 km Calcul de la longueur du parcours ACDA : Dans le triangle ACD rectangle en C, d'après la propriété de Pythagore, on a : AD 2 =AC 2 CD 2 AD 2 =1,4 2 1,05 2 AD 2 =1,96 1,1025 AD 2 =3,0625 AD= 3,0625
AD=1,75 donc le parcours ACDA mesure 1,4+1,05+1,75 = 4,2 km Calcul de la longueur du parcours AEFA Dans le triangle AEF, E' appartient à [AE], F' appartient à [AF] et (E'F')//(EF) D'après la propriété de Thalès, on a : AE ' AE = AF' AF = E'F ' EF 0,5 1,3 =AF ' 1,6 = 0,4 EF donc EF= 0,4 1,3 0,5 =1,04 (il est inutile ici de calculer AF' car seul EF nous intéresse pour le parcours) Donc le parcours AEFA mesure 1,3+1,04+1,6 = 3,94 km Le conseil municipal choisira donc le parcours AEFA car sa longueur est celle qui est le plus proche de 4 km. Exercice n 5 : Pense-bête : toutes les formules données ci-dessous correspondent bien à des formules d aires ou de volumes. On ne sait pas à quoi elles correspondent, mais elles peuvent quand même être utiles pour résoudre l exercice ci-dessous. Voici une bouteille constituée d un cylindre et d un tronc de cône surmonté par un goulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsqu elle est remplie jusqu au goulot. Les dimensions sont notées sur le schéma. 1. Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille puis en donner un arrondi au cm 3. Le diamètre du cercle de base est de 10 cm donc le rayon vaut 10 : 2 = 5 cm V cylindre =π r 2 h=π 5 2 15=π 25 15=π 375=375 π soit environ 1178 cm 3.
2. Pour obtenir le tronc de cône, on a coupé un cône par un plan parallèle à la base passant par O. La hauteur SO du grand cône est de 6 cm et la hauteur SO du petit est égale à 2 cm. Le rayon de la base du grand cône est de 5 cm. a. Calculer le volume V 1 du grand cône de hauteur SO (donner la valeur exacte). V cône = π r2 h = π 52 6 3 3 V cône = π 25 6 3 V 1 =50 π = π 150 =π 50 3 b. Montrer que le volume V 2 du tronc de cône est égale à 1300π arrondie au cm 3. cm 3. En donner une valeur Le volume du tronc de cône s'obtient en calculant la différence entre le volume du grand cône et le volume du petit cône. Le petit cône est une réduction du grand cône. Son volume V p =k 3 V 1 où k est le coefficient de réduction. Ici k= SO ' SO =2 6 = 1 = 3 et donc k 3 1 3 = 1 3 Donc V p = 1 50 π 50 π= Et le volume V 2 du cône est égale à V 1 V p =50 π 50 π V 2 = 50 50 π = 1350 50 π soit environ 151 cm 3. = 1300π
3. Parmi les quatre graphiques ci-dessous, l un d entre eux représente le volume V (h) de la bouteille en fonction de la hauteur h de remplissage du bidon. Quel est ce graphique? Pourquoi les autres ne sont-ils pas convenables? Ce ne peut être le graphique 2 car le volume d'eau dans la bouteille ne peut diminuer pendant le remplissage. Le volume maximal d'eau quand le niveau atteint le haut du tronc de cône dans la bouteille est d'environ 1178 + 151= 1329 cm 3. Donc ce ne peut être le graphique 3 (dont la deuxième partie de la courbe dépasse les 2400 cm 3.) Au départ la bouteille est vide donc à h=0 le volume d'eau est nul (ce qui n'est pas le cas sur le graphique 4) Le graphique correspondant est donc le graphique 1.
Exercice n 6 : Voici le classement des médailles d or reçues par les pays participant aux jeux olympiques pour le cyclisme masculin (Source : Wikipédia). Bilan des médailles d or de 1896 à 2008 1.Voici un extrait du tableur: Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule O2 pour obtenir le nombre total de pays ayant eu une médaille d or? On a saisi la formule «=somme(b2;n2)» ou «=B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2+I2+J2+K2+L2+M2+N2» 2.a. Calculer la moyenne de cette série (arrondir à l unité). Moyenne= 8 1 2 2 2 3 2 4 1 5 3 6 1 11 2 13 1 14 1 15 1 18 1 32 1 40 26 Moyenne = 8 (arrondie à l'unité) b. Déterminer la médiane de cette série. Cette série a un effectif de 26. La médiane sera donc comprise entre le nombre de médailles gagner par le 13ème pays et le nombre de celles gagner par le 14e pays lorsque ces nombres de médailles sont rangés dans l'ordre croissant. Ici le 13ème a gagné 4 médailles et le 14ème à gagné aussi 4 médailles. La médiane est donc égale à 4.
c. En observant les valeurs prises par la série, donner un argument qui explique pourquoi les valeurs de la moyenne et de la médiane sont différentes. La médiane et la moyenne sont différentes car l'étendue est très importante (ici elle est égale à 40 1= 39 médailles) 3. Pour le cyclisme masculin, 70% des pays médaillés ont obtenu au moins une médaille d or. Quel est le nombre de pays qui n ont obtenu que des médailles d argent ou de bronze (arrondir le résultat à l unité)? Si la travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. 26 pays ont obtenus au moins une médaille d'or en cyclisme. Ces 26 pays correspondent à 70 % des pays médaillés. Si on appelle x le nombre de pays médaillés, on aura alors 70 100 x=26 donc 0,7x=26 donc x= 26 0,7 soit environ 37 pays ont été médaillés. Il y a donc environ 37 26 = 11 pays qui n'ont obtenu que des médailles d'argent ou de bronze.