Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre désigne ou, n et p deux entiers naturels non nuls. 1. L'ensemble M n,p() 1.1 Définition et vocabulaire Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans, toute famille de indexée par = 1;n 1;p. On note A = (a i,j) (i,j) et on représente A sous forme de tableau. a a colonne j 1,1 1,p a i,j a a n,1 n,p ligne i Proposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients. Notation: L'ensemble des matrices nxp à coefficients dans est noté M n,p() Vocabulaire: La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on la note 0 n,p. Si n = 1 A est une matrice ligne. Si p = 1, A est une matrice colonne Si n = p A est une matrice carrée d'ordre n. On note L i(a) = (a i,1,...,a i,p) la ième ligne de A et C j(a) = 1.2 Combinaisons linéaires de matrices a a 1,j n,j la jème colonne de A. Def: Soit A = (a i,j) (i,j) et B = (b i,j) (i,j), deux matrices de M n,p() et. On définit une loi interne d'addition en posant A+B = (a i,j+b i,j) (i,j) On définit une loi de produit externe en posant A = (a i,j) (i,j) Proposition 12.2: Soit A, BM n,p() et,, on a les règles de calcul suivantes : Propriétés de l addition (A+B)+C = A+(B+C) A+0 n,p = 0 n,p+a A+(-A) = (-A)+A = 0 n,p où A = (-a i,j) (i,j) A+B = B+A Propriétés de la multiplication par un scalaire (A+B) = A + B et (+)A = A + B (A) = ()A 1 lk.a = A Remarque : On verra ultérieurement que l ensemble M n,p() muni des deux opérations précédentes est un lk-espace vectoriel. Notation: Soit i et j deux entiers naturels. Le symbole de Kronecker ij est un entier qui vaut 1 si i = j et 0 sinon
Def: On note E i,j la matrice ( k,i. l,j) (k,l). C est à dire la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à la ligne i et à la colonne j Proposition 12.3 : Soit AM n,p(), A s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des matrices (E i,j) (i,j) : n p A a E a E i,j i,j i,j i,j i1 j1 j1 i1 p n Remarques : On verra ultérieurement que ces matrices forment une base de M n,p() appelée base canonique. 1.3 Produit de deux matrices Def : Soit n, p, m * et A = (a ij)m n,p() et B = (bij)m p,m(). On définit la matrice ABM n,m(lk) par AB = (c i,j) avec Pour tout (i,j) 1;n 1;m, c, i,j = p k1 a b a b a b... a b ik kj 1 i 1 j i 2 2 j ip pj b b b b b b b b b a a a c c c 1,1 1,k 1,p a a a c c c i,1 i,k i,p a a a c c c 1,1 1,j 1,m k,1 k,j k,m p,1 p,j p,m 1,1 1,j 1,m i,1 ij i,m n,1 n,k n,p n,1 n,j n,m Attention : Le produit matriciel a des propriétés différentes du produit de deux réels : Le produit AB n est pas toujours défini : il existe à condition que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Ce n'est pas une loi interne excepté dans le cas particulier des matrices carrées. Le produit n'est pas commutatif, même dans le cas de deux matrices carrées. Il existe A et B non nulles telles que AB = 0 donc la règle du produit nul est fausse. Si AB = AC on ne peut pas en déduire que B = C. Proposition 12.4 : Soit A M n,p(), B M p,m(), X M p,1() et Y M 1,n() a a a 1,1, 1,2 1,p x a x a x 1 1,1 1 1,p p a a a x 1,2, 2,2 2,p 2 a x a x 2,1 1 2,p p AX = = a a a x n,1 n,2 n,p p a x a x n,1 1 n,p p YA = y 1L 1(A) + y 2L 2(A) +... + y nl n(a) = x 1C 1(A) + x 2C 2(A) +...+x pc p(a)
j 1,m, C j(ab) = A.C j(b) i 1,n, L i(ab) = L i(a).b i 1,n, j 1,m, c ij = L i(a).c j(b) avec C = AB Application: Ecriture matricielle d un système linéaire: Soit (S) un système de taille np et de matrice augmentée (A B). x 1 x2 Si on note X =, on a (S) AX = B et le système homogène associé est (H) AX = 0 x p Proposition 12.5: Propriétés du produit matriciel. AM n,p(), BM p,q(), CM q,m(), A(BC) = (AB)C AM n,p(), B,CM p,m(), A,BM n,p(), CM p,m(), lk, AM n,p(), BM p,m(), A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC (AB) = (A)B = A(B) AM n,p(), I n.a = A.I p = A où I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = ( i,j) 1 i,j n Cas particulier important: Multiplication à droite et à gauche par E i,j. AM n,p(), E i,jm p,m(), A.E i,j est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf la jème colonne qui contient la ième colonne de A. AM p,m(), E i,jm n,p, E i,j.a est la matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf la ième ligne qui contient la jème ligne de A. Lorsque le produit est bien défini, E i,j.e k,l = j,ke i,l 1.4 Transposition Def: Soit AM n,p() avec A = (a i,j). La transposée de A est la matrice de M p,n() définie par t A = (a j,i) Dans la pratique: les lignes de A sont les colonnes de t A et inversement. Proposition 12.6: Propriétés de la transposition La transposition est linéaire c'est à dire, A,BM n,p(),,, t (A+B) = t A + t B AM n,p(), t ( t A) = A AM np(), BM p,m(), t (AB) = t B t A 2. Les matrices carrées 2.1 Calculs dans M n() Def: Une matrice nxn est appelée matrice carrée d'ordre n. L'ensemble de ces matrices est noté M n().
D après le paragraphe précédent : Toute matrice carrée s écrit comme combinaison linéaire des matrices (E i,j) 1 i,j n Soit A et B deux matrices carrées d ordre n, le produits matriciels AB existe et donne une matrice carrée d ordre n. Le produit est donc une opération interne dans M n(lk) En général on a AB BA. Lorsque AB = BA, on dit que A et B commutent Pour toute matrice carrée A, AI n = I na = A Def : On peut définir des puissances entières dans M n() de la façon suivante : AM n(), A 0 = I n et k, A k+1 = A k.a = A.A k Proposition 12.7 : Si A et B commutent dans M n() alors on peut appliquer les formules du binôme et de Bernoulli. m, (A+B) m = m m k mk m k mk m A B B A k k et A m B m = (A-B) k0 k0 2.2 Matrices carrées particulières a) Matrices diagonales Def: Soit AM n(). m1 k0 k A B m 1 k A = (a i,j) est diagonale ssi (ij a i,j = 0) Si A est diagonale et si i 1;n, a ii =, A = I n est dite scalaire. Exemple: D = diag(d 1,...d n) Notation: D n() est l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n. Proposition 12.8 : Toute combinaison de matrice diagonales est une matrice diagonales diag(d 1,...d n) diag(d' 1,...,d' n) = diag(d 1d' 1,...,d nd' n) p, (diag(d 1,...,d n)) p = diag(d 1 p,...,d n p ) b) Matrices triangulaires Def: Soit AM n(). A = (a i,j) est triangulaire supérieure lorsque tous ses coefficients situés sous sa diagonale sont nuls c est à dire que (i > j a i,j = 0). A = (a i,j) est triangulaire inférieure lorsque tous ses coefficients situés au-dessus de sa diagonale sont nuls c est à dire que (i < j a i,j = 0). Exemple: T triangulaire supérieure. Notations: On note T n + () (resp T n - ()) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de M n().
Proposition 12.9 : Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure. Dans les deux cas la diagonale du produit est (t 11t' 11,...,t nnt' nn). c) Matrices symétriques et antisymétriques Def: Soit AM n() A est symétrique lorsque t A = A c est à dire que i,j 1;n, a j,i = a i,j A est antisymétrique lorsque t A = -A c est à dire que i,j 1;n, a j,i = - a i,j Remarque: Une matrice antisymétrique est nécessairement de diagonale nulle. Notation: On note S n() l'ensembles des matrices symétriques et A n() celui des matrices antisymétriques. 3. Matrices carrées inversibles 3.1 Le groupe linéaire GL n() Def: Soit AM n(). A est inversible lorsque il existe BM n() tel que AB = BA = I n. Dans ce cas, B est unique, est appelé inverse de A et noté A -1. Attention : 0 n n est pas inversible mais il existe des matrices non nulles non inversibles. Exemples à connaître: Une matrice diagonale est inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Si D = diag(d 1,...d n) avec i 1;n d i0 alors D -1 = diag(d 1-1,...,d n -1 ). I n est inversible et I n -1 = I n. Notation/vocabulaire: L'ensemble des matrices inversibles est noté GL n() et appelé groupe linéaire d ordre n. Remarque : Si une matrice A est inversible alors AB = AC A -1 (AB) = A -1 (AC) (A -1 A)B = (A -1 A)C B=C On peut donc "simplifier par A" l'égalité AB = AC. Proposition 12.10: Compatibilité avec les opérations matricielles: Soit A, BGL n() et *. A est inversible et (A) -1 1 = A 1 AB est inversible et (AB) -1 = B -1 A -1 t A est inversible et ( t A) -1 = t (A -1 ) 3.2 OEL, matrices élémentaires : Rappels du chapitre 11 : Il y a trois type d OEL pour les matrices : Les permutations ( L i L j ), les dilatations ( L i L i ) et les transvections (L i L i + L j ) Deux matrices A et A sont équivalentes en ligne lorsqu on peut passer de l une à l autre par une succession d OEL. On note A A' L Def : Soit un scalaire non nul, on appelle matrices élémentaires les matrices carrées suivantes : Les matrices de permutation : P i,j obtenue en appliquant L i L j à I n. P i,j = I n - E i,i - E j,j + E i,j + E j,i les matrices de dilatations : D i obtenue en appliquant L i L i à I n. D i = I n + (-1)E i,i
Les matrices de transvections T ij obtenue en appliquant L i L i + L j à I n. T ij = I n + E ij Proposition 12.11 : Soit A une matrice de M n,p() L'opération L i L j correspond à multiplier à gauche par P i,j L'opération L i L i correspond à multiplier à gauche par D,i L'opération L i Li + Lj correspond à multiplier à gauche par T i,j, Conséquences: Soit A et A deux matrices de M n,p() Les matrices élémentaires sont inversibles et (P ij) = P ji, (D i) -1 = D, T 1 ij = T ij(-) A et A sont équivalentes en ligne ssi il existe une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = EA 3.3 Algorithme de Gauss-Jordan Def : Une matrice est échelonnée réduite lorsqu elle est échelonnée, que tous ses pivots sont égaux à 1 et sont les seuls éléments non nuls de leur colonne Exemple : i Proposition 12.12 : Toute matrice est équivalente en ligne à une unique matrice échelonnée réduite. Démo : L algorithme du pivot de Gauss permet d échelonner en ligne la matrice. Si la matrice est de rang r on note p 1, p 2,, p r ses pivots et on applique l algorithme suivant : Pour i allant de n à 1, faire : 1 L i L p i i Pour j allant de i+1 à 1, faire : L jl j - p jl i FindePour. Cet algorithme, donne une matrice échelonnée en ligne et réduite dont on admet l unicité. Corollaire : Pour toute matrice A, il existe une unique matrice échelonnée réduite R et une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = ER 3.3 Caractérisations des matrices inversibles et calcul pratique de l inverse : Théorème 12.1: Caractérisations des matrices inversibles. Soit AM n(), les propositions suivantes sont équivalentes : A est inversible Le système AX = 0 a une unique solution A L I n Pour tout BM n,1(), le système AX = B a une unique solution. Pour tout BM n,1(), le système AX = B a au moins une solution.
Plan de la démonstration : puis Conséquence pratique : Soit A,BM n() vérifiant BA = I n, on a AX = 0 B(AX) = 0 X = 0 donc le système AX = 0 admet une unique solution et par suite A est inversible. On a de plus AB = I n A -1 (AB) = A -1 B = A -1. Ainsi l égalité BA = I n suffit pour affirmer que A et B sont inversibles et inverses l une de l autre. Dans la pratique : Méthodes de calcul de l inverse Méthode 1 : Résolution d un système linéaire On considère le système (S) AX = B où B est quelconque dans M n,1(). On résout ce système. Si il a une unique solution alors A est inversible et on a : (S) X = A -1 Y, ce qui permet de récupérer A -1 Méthode 2 : Utilisation de l algorithme de Gauss-Jordan Par une succession d'oel on transforme M en l unique matrice échelonnée réduite R qui lui est équivalente en ligne. Parallèlement, on applique les mêmes OEL sur I n : on obtient une matrice B. Or A est inversible ssi R = I n et on a donc A = EI n et I n = EB soit AB = I n et par suite B = A -1. 4. Complément : O.E.C Def et Proposition 12.13: Opérations élémentaires sur les colonnes (O.E.C) d une matrice. Soit AM n,p(), les opérations élémentaires sur les colonnes de A sont : L échange de deux colonnes (permutation) l'opération C i C j correspond à multiplier à droite par P i,jgl p() La multiplication d'une colonne par un scalaire (dilatation) l'opération C i C i correspond à multiplier à droite par D,i GL p() L ajout à une colonne d'un multiple d'une autre colonne (transvection) l'opération C i C i + C j correspond à multiplier à droite par T i,j, GL p() Vocabulaire : Deux matrices A et A sont dites équivalentes en colonne lorsqu on peut passer de l une à l autre par une succession d OEC ou encore lorsqu il existe une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = A E. On note A A' Def : A est échelonnée (réduite) en colonne lorsque sa transposée est échelonnée (réduite) en ligne. C