Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 1 sur 9 III) Somme de vecteurs : 3) Somme de vecteurs et configurations : a) Parallélogramme Propriété : Parallélogramme Si ABCD est un parallélogramme alors AB + AD = Démonstration : b) Médiane Démonstration : Propriété : Médiane Si [AI] est la médiane issue de A dans le triangle ABC, alors AB + AC = c) Milieu Démonstration : Propriété : Milieu I est le milieu de [AB] si et seulement si IA + IB =
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 2 sur 9 1) Différence de deux vecteurs : Définition : On appelle différence entre u et v, le vecteur noté u Remarque : On retrouve le «soustraire», c est «ajouter l opposé» Construction géométrique de u v v défini par : u v = u + ( v ) Configuration : Dans un parallélogramme, les deux diagonales correspondent à la et la des vecteurs des côtés : Exercice 13 : Simplifier au maximum les expressions suivantes : 1) AB AC CB 2) BC BA + BD BC 3) AB CA + BC BA = = = 4) AC + CB + BA + CB 5) BC BA + BD BC 6) DE DF + EF ED = = =
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 3 sur 9 IV) Vecteurs colinéaires : a) Définition de la colinéarité Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'ils ont la même direction Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres Exemples : b) Produit d un vecteur par un nombre Etant donné un vecteur u et un nombre réel k, la même direction on définit le vecteur produit comme le vecteur ayant : le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0 la longueur k u Ce vecteur produit est noté k u On définit de plus 0u = k0 = 0 Exemples : c) Lien entre produit et colinéarité Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v Exercice 14 : Sur le quadrillage ci dessous, construire les points,, et tels que : =2 = 3 = 4 =2
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 4 sur 9 Exercice 16 : Sur le quadrillage ci dessous, construire les points, E, et tels que : =2 = 2 +3 = 2 +2 =2 4 + Opérations sur les vecteurs : On a défini, sur les vecteurs deux opérations, la somme et le produit par un réel Ces deux opérations se comportent comme la somme et le produit des nombres : On considère trois vecteurs u, v, et w et trois nombres α, β et γ ( u + v ) + w = u + ( v + w) α u + β u = ( α + β ) u α ( β u ) = ( αβ ) u α u = 0 α = 0 ou u = 0 Application en géométrie a) Caractérisation du milieu, du symétrique par la symétrie centrale I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = B est le symétrique de A par rapport à O si et seulement si AB = Exercice 17 : On considère un quadrilatère quelconque 1) Construire les points,, et milieux respectifs de,, et 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de 4) En déduire la nature du quadrilatère
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 5 sur 9 Exercice 18 : b) Droites ( AB) La droite est l'ensemble des points M tels que les vecteurs AB et AM soient colinéaires ( AB) ( AB) Tout vecteur de direction est appelé vecteur directeur de la droite Attention, il y a une infinité de vecteurs directeurs pour une même droite On ne peut pas dire «le vecteur directeur» Deux droites sont parallèles si elles ont des vecteurs directeurs 1) Construire un triangle tel que =6, =5 et =4 2) Construire les points et tels que = et =3 3) Montrer que = +3 4) Exprimer en fonction de et 5) En déduire la position relative des droites () et ()
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 6 sur 9 c) Points alignés Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont Exercice 21 : 1) Construire un parallélogramme et placer les points et tels que : 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de et 4) En déduire l alignement des points, et 1 BE = AB et AF = 3AD 2 Exercice 22 : 1) Construire un triangle et placer les points, et tels que : 2) Montrer que = 3) Exprimer en fonction de et 4) Que peut on en déduire? 3 CD = BC, AE = AC et BF = 2BA 2
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 7 sur 9 V) Dans un repère 1) Coordonnées d un vecteur ( O I J ) Soit,, un repère Pour tout vecteur u, il existe deux uniques réels α et β tels que u = α OI + β OJ Le couple, est appelé : coordonnées du vecteur dans le repère,, ( α β ) u ( O I J ) Exercice 27 : Soient A( 1, 2) B( 5, 2) C ( 2, 3) D( 4, 3) Montrer que ABCD est un parallélogramme Soient u, v deux vecteurs et k un réel On note ( α, β ) les coordonnées du vecteur u On note ( a, b) les coordonnées du vecteur v Le vecteur u + v a pour coordonnées le couple + a, + b Le vecteur k u a pour coordonnées le couple k, k 2) Norme Dans un repère orthonormé, ( ) ( ) 2 2 B A B A la distance AB = x x + y y la norme d'un vecteur u est égale à x + y 2 2 u u ( α β ) ( α β ) Exemples :
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 8 sur 9 3) Colinéarité Exercice 28 : Deux vecteurs u a, b et, sont colinéaires ( ) v ( α β ) si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles Dans ce cas, le tableau a b α β le produit en croix est un tableau de proportion Soient A( 3, 2) B ( 5, 3) C ( 13,8) 1) Montrer que les points A, B, C sont alignés 2) Donner une équation de la droite ( AB ) est nul Exercice 30 : Soient A( 2, 3) B ( 3,1) C ( 4, 3) Déterminer les coordonnées du point D sur l axe des abscisses tel que ( AD) / / ( CD )
Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 9 sur 9 Exercice 31 : Soient A( 1, 4) B( 2,1) C ( 6,5) 1) Faire une figure que l on complètera au fur et à mesure 2) Déterminer une équation de la droite (AI) où I est le milieu de [BC] 3) Déterminer une équation de la droite passant par B et parallèle à la droite (AC) 4) Résoudre la système suivant : x + 3y = 13 x + 5y = 3 Interpréter graphiquement le résultat 10 5) Montrer que les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC sont 3, 3 6) Soit D le point tel que BGCD soit un parallélogramme Calculer les coordonnées de D 7) Montrer que D appartient à la droite (AI)