Suites : Rappels, récurrence et limites

Suites : Rappels, récurrence et limites Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/01 Table des matières 1 Généralités sur les suites 1.1 Modes de génération d une suite.................................... 1. Suites arithmétiques........................................... 1.3 Suites géométriques........................................... 3 1.4 Sens de variation d une suite...................................... 4 La démonstration par récurrence 5.1 Principe.................................................. 5. Exemples d utilisation.......................................... 5..1 Égalités Inégalités....................................... 5.. Propriétés d une suite...................................... 3 Limite d une suite 7 3.1 Limite finie................................................ 7 3. Limite infinie............................................... 7 4 Opérations sur les limites 8 4.1 Limite d une somme........................................... 8 4. Limite d un produit........................................... 9 4.3 Limite d un quotient........................................... 9 5 Cas des suites géométriques 10 Ce crs est placé ss licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/.0/fr/ 1

1 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES 1 Généralités sur les suites 1.1 Modes de génération d une suite Cas 1 : A l aide d une formule explicite Soit (u n ) la suite définie par : u n n + n. On a : u 0 0 +0 ; u 1 1 +1 ; u + 4 ; u 5 5 +5 ; etc. Soit (v n ) la suite définie par v n ( 1) n. On a : v 0 ( 1) 0 1 ; v 1 ( 1) 1 1 ; v ( 1) 1 et, plus généralement : ts les termes d indice pair sont égaux à 1 (ce qui peut se traduire par v n 1) ; ts les termes d indice impair sont égaux à -1 (ce qui peut se traduire par v n+1 1 Remarque : La suite (u n ) est de la forme u n f (n), où f est la fonction définie par f (x) x + x. Cas : Suites définies par récurrence Soit (u n ) la suite définie par : { u 0 5 u n+1 vn+3 pr tt n 0 On a : v 1 v0+3 5+3 4 ; v v1+3 4+3 7 ; v 3 v+3 7 +3 13 4 ; etc. Soit (v n ) la suite définie par : { v 0 v n+1 v n + n pr tt n 0 On a : v 1 v 0 + 0 + 0 ; v v 1 + 1 + 1 0 ; v 3 v + 0+ 4 ; etc. Remarque : On a donc u n+1 g (u n ) où g est la fonction définie par g (x) x+3. 1. Suites arithmétiques Définition : On dit qu une suite (u n ) est arithmétique si on passe d un terme au suivant en ajtant tjrs le même nombre réel r. On a donc : u n+1 u n + r Le réel r est alors appelé raison de la suite. Remarque : Pr montrer qu une suite est géométrique, on montrera que la différence u n+1 u n constante pr tt entier n. Dans ce cas, la constante trvée est la raison de la suite. Exemple : Soit u la suite définie par u n 3 5 n. u n+1 u n 3 5 (n + 1) ( 3 5 n ) est 3 5 n 5 3 + 5 n 5 La suite est donc arithmétique de raison 5 et de premier terme u 0 3. Propriété 1 : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Alors : u n u 0 + nr Remarque : Plus généralement, si (u n ) est une suite arithmétique de raison r et si n et p sont deux entiers naturels, on a : u n u p + (n p) r.

1 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES 1.3 Suites géométriques Exemple : Soit (u n ) la suite arithmétique telle que u 3 5 et u 5 3. On a : u 5 u 3 + (5 3) r d où r + 5 3. On obtient r 1. De plus : u 0 u 3 3r 5 3 ( 1) 8. Propriété : Soit S n la somme des entiers de 1 à n. S n 1 + + + n Alors, on a : S n n (n + 1) Propriété 3 : Somme de termes d une suite arithmétique. Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0. On note S n la somme des (n + 1) premiers termes de (u n ). On a donc : S n u 0 + u 1 + + u n Alors, on a : S n (n + 1) (u 0 + u n ) Remarque : Plus généralement, si S est une somme de termes consécutifs d une suite arithmétique, on a : S (nbre de termes) (premier terme + dernier terme) 1.3 Suites géométriques Définition : On dit qu une suite (u n ) est géométrique si on passe d un terme au suivant en multipliant tjrs par le même nombre réel q. On a donc : Le réel q est alors appelé raison de la suite. u n+1 q u n Remarque : Pr montrer qu une suite est géométrique, montre que le quotient un+1 u n constante trvée est alors la raison q. est constant. La 1. Soit u la suite définie par u n 5 3 n+. u n+1 u n 5 3n+3 5 3 n+ 3n+ 3 3 n+ 3 La suite est donc géométrique de raison 3 et de premier terme u 0 5 3 45.. Soit v la suite définie par v n 3n 4 n+1 v n+1 v n 3 n+1 4 n+ 3 3n+1 4n+1 n 4n+ 4 n+1 3 n 3n 3 4 n+1 4 n+1 4 3 n 3 4 La suite est donc géométrique de raison 3 4 et de premier terme v 0 30 4 1 1 4. Propriété 1 : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. Alors : u n u 0 q n Remarque : Plus généralement, si (u n ) est une suite géométrique de raison q et si n et p sont deux entiers naturels, on a : u n u p q n p. 3

1.4 Sens de variation d une suite 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Exemple : Soit (u n ) une suite géométrique telle que u 5 100 et u 7 5. On a : u 7 u 5 q d où 100q 5 soit q 5 100 1 4. On a donc q 1 q 1. Comme u 0 u 5 q 5 : Si q 1, u 0 100 ( 1 ) 5 100 5 300. Si q 1, u 0 100 ( 1 ) 5 100 ( ) 5 300. Propriété : La somme des puissances successives d une nombre q, avec q 1, s exprime ss la forme :Alors, on a : 1 + q + q + + q n 1 qn+1 1 q Propriété 3 : Somme de termes d une suite géométrique. Soit (u n ) une suite géométrique de raison q (q 1) et de premier terme u 0. On note S n la somme des (n + 1) premiers termes de (u n ). On a donc : S n u 0 + u 1 + + u n Alors, on a : S n u 0 1 qn+1 1 q Remarque : Plus généralement, si S est une somme de termes consécutifs d une suite géométrique, on a : de termes 1 (raison)nbre S (premier terme) 1 raison Exercices : 1, page 1 1 [TransMath] 1.4 Sens de variation d une suite Définition : Une suite (u n ) est croissante si, pr tt entier naturel n, on a u n+1 u n. Une suite (u n ) est décroissante si, pr tt entier naturel n, on a u n+1 u n. Remarque : On peut aussi définir une suite strictement croissante, strictement décroissante constante. Propriété 1 : Pr étudier les variations de la suite (u n ), il suffit d étudier le signe de u n+1 u n : Si pr tt n, u n+1 u n 0 alors (u n ) est croissante. Si pr tt n, u n+1 u n 0 alors (u n ) est décroissante. Propriété : Soit (u n ) une suite définie par u n f (n). Si la fonction f est croissante sur [0 ; [, alors la suite (u n ) est croissante. Si la fonction f est décroissante sur [0 ; [, alors la suite (u n ) est décroissante. Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse. Il suffit par exemple de considérer la suite u n sin (πn). Propriété 3 : Soit (u n ) une suite à termes strictement positifs. Si pr tt n on a un+1 u n > 1, alors la suite (u n ) est croissante. Si pr tt n on a un+1 u n < 1, alors la suite (u n ) est décroissante. 1. QCM, Vrai-Faux 4

LA DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE 1. Soit (u n ) la suite définie par u n 3 n+. On a : u n+1 u n 3 (n + 1) + 3 n + 3 n + 3 3 n + 3 (n + ) 3 (n + 3) (n + 3) (n + ) 3n + 3n 9 (n + 3) (n + ) 3 (n + 3) (n + ) De plus, comme n est un entier positif, n + > 0 et n + 3 > 0. Par suite, pr tt n, u n+1 u n < 0 donc la suite (u n ) est décroissante.. Soit (v n ) la suite définie par v n 3n 4. n+ La suite (v n ) est à termes strictement positifs. On a : v n+1 v n 3 n+1 4 (n+1)+ 3 n 4 n+ 3n+1 4n+ 4n+3 3 n 3 (n+1) n 4 (n+3) (n+) 3 4 Par suite, pr tt n, vn+1 v n < 1 donc la suite (v n ) est décroissante. 3. Soit (w n ) la suite définie par w n 10 n+1. On a w n f (n) avec f (x) 10 x+1. La fonction f est dérivable sur [0 ; [ et f (x) 10. Son tableau de variations est donc : (x+1) x 0 f (x) f (x) Comme f est décroissante sur [0 ; [. La suite (w n ) est donc décroissante. Exercices : 3, 4 page 1 [TransMath] La démonstration par récurrence.1 Principe du raisonnement par récurrence Pr démontrer qu une proposition dépendant d un entier n est vraie pr tt entier naturel n n 0 (où n 0 est un entier naturel donné), on procède en deux étapes : Initialisation : On vérifie que la proposition est vraie au rang initial, c est-à-dire lorsque n n 0. Hérédité : On montre que la proposition est héréditaire, c est-à-dire que SI elle est vraie à un rang n n 0, ALORS elle est aussi vraie au rang n + 1. On peut alors conclure que la proposition est vraie pr tt n n 0.. Exemples d utilisation..1 Égalités Inégalités Exemple : Montrons par récurrence que, pr tt entier n non nul : 1 + + + n n (n + 1) (n + 1). Vrai-faux, QCM. 5

. Exemples d utilisation LA DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE Initialisation : Il faut vérifier la proposition au rang 1. 1(1+1)(+1) 1 1, ce qui vérifie la proposition au rang 1. Hérédité : Soit n un entier non nul. On suppose que 1 + + + n n (n + 1) (n + 1) On veut montrer que On a : 1 + + + n + (n + 1) (n + 1) (n + 1 + 1) ( (n + 1) + 1) 1 + + + n + (n + 1) n (n + 1) (n + 1) + (n + 1) [ ] n (n + 1) (n + 1) + (n + 1) (n + 1) n + n + n + (n + 1) n + 7n + De plus, (n + ) (n + 3) n + 4n + 3n + n + 7n +. Par suite : 1 + + + n + (n + 1) (n + 1) (n + ) (n + 3) On a donc montré que, pr tt entier n non nul :pr tt entier n non nul : 1 + + + n n (n + 1) (n + 1) (n + 1) (n + ) (n + 3) Exercices : 1,, 4 page 9 et 5, 54, 58 et page 4 3 [TransMath].. Propriétés d une suite Exemple : Soit (u n ) la suite définie par : { u 0 u n+1 u n + 1 Montrons par récurrence que la suite (u n ) est croissante. On va en fait montrer par récurrence que, pr tt n 0, u n+1 u n. Initialisation : u 0 et u 1 5. On a bien u 1 u 0. Hérédité : On suppose que u n+1 u n. Il faut montrer que u n+ u n+1. Comme u n+1 u n, u n+1 u n puis u n+1 + 1 u n + 1. De plus, comme la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; [ : u n+1 + 1 u n + 1. Or, u n+1 u n + 1 et u n+ u n+1 + 1 d où u n+ u n+1. On a donc montré que pr tt n 0, u n+1 u n. La suite (u n ) est donc croissante. Remarque : Reprendre l exemple précédent avec u 0 3 et montrer alors que la suite obtenue est décroissante. Ceci montre l importance de l étape d initialisation... Exercices : 5,, 7, 9 page 30 et 1, 3 page 4 4 33 page 3 et 59, 0 page 4 5 98 page 47 [TransMath] 3. Montrer une égalité une inégalité par récurrence. 4. Propriétés de suites. 5. Conjecturer puis démontrer.. Type BAC.

3 LIMITE D UNE SUITE 3 Limite d une suite Activités : Activité 1 7 et 8 page [TransMath] 3.1 Limite finie Définition : On dit que la suite (u n ) admet comme limite le réel l si tt intervalle contenant l contient ts les termes de la suite à partir d un certain rang (voir figure ). On dit alors que (u n ) converge vers l et on note : lim u n l n Figure 1 Suite de limite finie l Remarques : 1. Si elle existe, la limite l d une suite est unique.. Si une suite ne converge pas, on dit qu elle est divergente. 3. Les suites de terme général 1 n ; 1 n ; 1 n et 1 n 3 ont pr limite zéro. Un exemple de suite divergente : Soit u n ( 1) n 1 et 1 sont les deux seules valeurs possibles pr la suite. La limite éventuelle de la suite ne prrait donc être que 1 1. Or, aucun des intervalles ]0 ; [ et ] ; 0[ ne contiennent ts les termes de la suite à partir d un certain rang (les termes d indice pair sont dans ]0 ; [ et ceux d indice impair dans ] ; 0[. Cette suite est donc divergente (en fait, elle n a pas de limite). Exercice : 39 page 39 9 101 page 48 10 [TransMath] 3. Limite infinie Définition : On dit que la suite (u n ) admet comme limite si tt intervalle de la forme ]a ; [ contient ts les termes de la suite à partir d un certain rang (voir figure ). On note alors : lim n u n Figure Suite de limite Remarques : 7. Prolifération bactérienne. 8. Exode rural. 9. Au voisinage de la limite. 10. Unicité de la limite d une suite convergente. 7

4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 1. Cette suite est divergente.. Les suites de terme général n ; n ; n et n 3 admettent comme limite. 3. On définit de manière analogue une suite de limite : Définition : On dit que la suite (u n ) admet comme limite si tt intervalle de la forme ] ; a[ contient ts les termes de la suite à partir d un certain rang. On note alors : lim n u n Remarque : Les suites de terme général n ; n ; n et n 3 admettent comme limite. Exercice : 38 page 38 11 [TransMath] 4 Opérations sur les limites Dans tte cette section, l et l désignent deux nombres réels. 4.1 Limite d une somme Les résultats sont résumés dans le tableau 1. lim n u n l l l lim n v n l lim n (u n + v n ) l + l F.I. Table 1 Limite d une somme Remarque : «F.I.» signifie «Forme Indéterminée». Ceci veut dire que l on ne peut pas conclure directement à l aide du tableau. Il faut étudier plus en détail les suites pr «lever l indétermination» et trver la limite. 1. lim n ( 1 n + n + )? lim n 1 n 0 lim n n lim n donc ( 1 lim n n + ) n +. lim n ( n n )? lim n n lim n ( n) Cette F.I. sera levée à la ss-section 4.. On a une forme indéterminée 8

4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 4. Limite d un produit lim n u n l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 0 0 lim n v n l lim n (u n v n ) l l F.I. F.I. Il s agit de la règle des signes Table Limite d un produit 4. Limite d un produit Les résultats sont résumés dans le tableau. 1. lim n ( 3n )? lim n 3 3 lim n n donc ( lim 3n ) n. lim n ( n n )? On a déjà vu à la ss-section 4.1 que cette limite présente une forme indéterminée. Or, si n 0, n n n ( 1 n n ) n ( 1 1 n) et : On a levé l indétermination. lim n n lim n 1 1 n 1 donc ( lim n n ) n Remarque : Pr lever une indétermination de la forme, il suffit svent de mettre en facteur le terme de plus haut degré. Exercices : 45, 4, 49, 50 page 4 1 17 page 3 13 [TransMath] 4.3 Limite d un quotient Les résultats sont résumés dans le tableau 3. 1. lim n 5 n 1? limn 5 5 lim n n 1 donc lim n 5 n 1 0. lim n n 3n 1? limn n lim n 3n 1 On a une forme indéterminée On va mettre en facteur les termes de plus haut degré : n 3n 1 n ( ) 1 n n ( ) 3 1 1 n 3 1 n n 11. Dépasser un seuil. 1. Limites «simples». 13. Lever une indétermination. 9

5 CAS DES SUITES GÉOMÉTRIQUES lim x u n l l lim x v n l 0 lim x u n vn l l 0 l 0 règles des signes F.I. l 0 0 0 0 il faut prendre en compte le signe de v n 0 F.I. Table 3 Limite d un quotient lim n 1 n 1 lim n 3 1 n 3 donc lim n n 3n 1 1 3 3. lim n ( n + 1 n )? lim n n + 1 lim n n On a une forme indéterminée De plus : ( n + 1 n ) ( n + 1 + n ) ( n + 1 ) n n + 1 n n + 1 + n n + 1 + n n + 1 n n + 1 + n 1 n + 1 + n Comme lim n ( n + 1 + n ), on a donc lim n ( n + 1 n ) 0 Remarques : 1. Pr lever une indétermination de la forme, il suffit svent de mettre en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis réduire la fraction obtenue.. Pr les suites s exprimant à l aide de racines carrées, on lève svent les indéterminations en utilisant la quantité conjuguée. Exercices : 47, 48, 51 page 4 14 19, 0 page 3 15, 3, 4 page 33 1 5,, 7, 9, 70, 7, 73, 74 page 43 17 35 page 3 18 [TransMath] 5 Cas des suites géométriques Propriété : Soit q un réel différent de zéro et de 1. Si q 1, la suite de terme général (q n ) n a pas de limite (elle est donc divergente). Si 1 < q < 1, la suite de terme général (q n ) a pr limite zéro. Si q > 1, la suite de terme général (q n ) admet comme limite (elle est donc divergente). Remarque : Si q 1, la suite de terme général (q n ) est constante, égale à 1. Elle converge donc naturellement vers 1... 1. Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 3 et de raison q 1. On a u n 3 ( ) 1 n. Comme 1 < 1 < 1, lim ( 1 n n ) 0 donc limn u n 0. 14. Limites «simples». 15. Formes indéterminées. 1. Suite s exprimant avec des racines carrées. 17. Calculs de limites. 18. Un encadrement utile. 10

RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES. Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 1 et de raison q 3. On a u n 3 n. Comme 3 > 1, lim n 3 n donc lim n u n. 3. Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 1 et de raison q. On a u n ( ) n. Comme 1, la suite (u n ) n a pas de limite. Exercices : 44 page 4 et 18 page 3 19 5,, 8 page 34 0 34 page 3 et 87, 88 page 45 1 89 page 45 93 page 47 3 95 page 47 4 100 page 48 5 [TransMath] Références [TransMath] transmath Term S, programme 01 (Nathan) 4, 5,, 7, 8, 9, 10, 11 19. Calculs de limites. 0. Somme de termes. 1. Suites arithmético-géométriques.. Algorithmique. Tableur. 3. Restitution organisée des connaissances. 4. Type BAC. 5. Pr aller plus loin. 11