Énoncés xercice 1 La figure ci-contre représente une sphère de centre et de rayon 3 cm. [] et [F] sont deux diamètres perpendiculaires. est un point de la sphère tel que = 4 cm. 1. Sans justifier, indiquer la nature des triangles,, et F.. alculer la mesure de l'angle  arrondie au degré. xercice La figure ci-contre représente une boule de diamètre []. 1. Marquer en rouge les points qui sont sur la sphère de centre et de rayon. Marquer en bleu les points qui sont à l'intérieur de la boule de centre et de rayon.. Placer sur la figure le point H, diamétralement opposé à G. Placer un point L sur la demi-droite [G) qui appartienne à la boule de rayon. 3. Tracer à main levée sur la figure le cercle de centre passant par et J. 4. Nommer tous les diamètres et les rayons de la boule à l'aide des points donnés. xercice 3 Le culbuto ci-contre est un jouet pour enfant qui oscille sur une base sphérique. 1. alculer son volume exact puis donner l'arrondi au cm 3.. La base sphérique est remplie de sable. Quelle proportion du jouet est occupée par le sable? 0 cm 0 cm xercice 4 Une balle lestée, de 5cm de rayon, est plongée dans un cube de côté 10cm rempli d'eau. 1. alculer le volume du cube.. alculer le volume de la balle lestée. 3. n plonge la balle dans l'eau qui déborde. alculer le volume d'eau restant dans le cube arrondi au cm 3. 4. éterminer la hauteur de l'eau dans le cube lorsqu'on retire la balle, arrondie au mm. xercice 5 Un moule à gâteau a la forme d'un pavé droit à base carrée dans lequel on a évidé une demi-boule. 1. alculer le volume de plastique nécessaire pour fabriquer ce moule, en arrondi au mm 3. 8 cm. Mayeul veut napper entièrement son gâteau de chocolat. éterminer la surface de gâteau à recouvrir, arrondie au mm². 4 cm 10 cm éducmat Page 1 sur 9
xercice 6 Les points, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T et U sont les milieux des arêtes du pavé droit FGH. a. Tracer en rouge la section du pavé par le plan contenant le point R et parallèle à la face. b. Tracer en bleu la section du pavé par le plan contenant le point Q et parallèle à l'arête [F] sans être parallèle au plan F. c. Tracer en vert la section du pavé par le plan contenant le point et parallèle à l'arête [] sans être parallèle aux plans F et HGF. R L Q M F J U S H N K P T G xercice 7 n réalise la section '' par un plan parallèle à l'axe d'un cylindre de hauteur ['] mesurant 5 cm et de rayon [] mesurant 3 cm, de sorte que le triangle soit rectangle en. 1. Préciser la nature du triangle.. Sans justifier, quelle est la nature de la section ''? 3. alculer l'aire de '' arrondie au mm². xercice 8 n réalise la section d'un cône de révolution (), de sommet S, de base le disque de centre et de génératrice [S], par un plan parallèle à la base passant par le point ' de la génératrice [S]. n nomme (') le petit cône ainsi formé. n a S = 8 cm ; S = 6 cm et S' = 5 cm. 1. Quel lien précis existe-t-il entre les deux cônes? ' S '. Quel est le rapport des volumes des deux cônes? xercice 9 Un cube a une arête de 5 cm. 1. Quelle est, en cm², l'aire de sa surface totale, c'est-à-dire la surface composée par ses six faces?. alculer le volume, en cm 3, de ce cube. 3. Un autre cube a une surface totale 16 fois plus grande. Quel est le volume, en litres, de ce cube? xercice 10 1. essiner une représentation en perspective cavalière d'une pyramide à base carrée, de hauteur 4 cm et de côté de base,4 cm.. alculer l'aire de la base de cette pyramide. 3. alculer le volume de cette pyramide. 4. ompléter la représentation en traçant la section de la pyramide par le plan parallèle à la base coupant la hauteur aux troisquarts en partant du sommet. 5. éduire de la question. l'aire de la base de la petite pyramide. 6. éduire de la question 3. le volume de la petite pyramide. éducmat Page sur 9
xercice 11 xercices de 3 ème hapitre 8 ompléments géométriques Sur les figures de cet exercice, est le centre du cercle. 1. Parmi ces figures, lesquelles montrent un angle inscrit dans le cercle? a b c d e f. Parmi ces figures, lesquelles montrent un angle au centre du cercle? a b c d e f 3. Pour quelles figures l'angle marqué intercepte-t-il l'arc en gras? a b c d e f xercice 1 Les points,, et sont sur le cercle (). éterminer la mesure de l'angle. xercice 13 R, S et U sont sur le cercle () de centre. éterminer la mesure de l'angle RU. 39 ( ) R 5 ( ) S U xercice 14, et sont sur le cercle () de centre. émontrer que est un triangle rectangle et isocèle en. ( ) 45 xercice 15 est le centre du cercle passant par les points, et. Â=50 et =150. éterminer les mesures des angles du triangle. éducmat Page 3 sur 9
xercice 16 Le cercle ci-dessous a pour centre et [] est un diamètre. n a = 4 cm, = 3 cm et Â=70. 1. alculer, en justifiant, la mesure de l'angle Â.. Quelle est la nature du triangle? Justifier. 3. alculer la longueur, donner le résultat arrondi au dixième. 4. alculer une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle Ĉ. 5. n déduire une valeur approchée au degré près de la mesure de l'angle Ĉ. 70 xercice 17 Placer deux points distincts et M puis construire le pentagone régulier KLMN de centre en justifiant brièvement. xercice 18 Tracer un segment [F] puis construire l'hexagone régulier FGHJ en justifiant brièvement. xercice 19 KP est un pentagone régulier de centre Z. K 1. alculer la mesure de l'angle ÔK.. n considère le pentagone croisé PK. alculer la mesure de l'angle P formé par deux côtés de cette étoile. P Z xercice 0 FGHJ est un décagone régulier de centre. 1. alculer la mesure de l'angle ÊFG.. 3. alculer la mesure de l'angle ĜJ. alculer la mesure de l'angle ÊJ. F G J H éducmat Page 4 sur 9
orrigés xercice 1 1. est rectangle en ; est rectangle en ; est isocèle en ; F est isocèle rectangle en.. omme le triangle est rectangle en alors sin( Â)= donc sin( Â)= 4 6 d'où Â 4 xercice 1.. 3. Voir ci-contre. 4. iamètres : [], [F] et [GH] Rayons : [], [], [], [F], [G], [H] et [J]. xercice 3 1. e solide est composé de : un cône de hauteur 0cm dont la base est un disque de rayon 0 =10 cm et d'aire π 10² = 100π cm². Son volume est 0 100 π 3 = 000 πcm 3. 3 une demi-boule de rayon 10cm et de volume 1 4 3 π 103 = 000 π cm 3. 3 Le volume total est donc 000 π+ 000 π= 4000 πcm 3 soit environ 4189 cm 3. 3 3 3. omme les volumes du cône et de la demi-sphère sont égaux alors le sable occupera la moitié du culbuto. xercice 4 1. Le volume du cube d'arête 10 cm vaut 10 10 10 = 1000 cm 3.. Le volume de la balle sphérique de 5cm de rayon vaut 4 3 π 53 = 500 3 πcm3. 3. Le volume d'eau restant dans le cube vaut 1000 500 3 π 476 cm3. 4. L'eau restante a la forme d'un prisme de base 10 10 = 100 cm² et de hauteur h telle que 100 h=1000 500 3 π. La hauteur de l'eau vaut donc 10 5 3 π 4,8 cm. éducmat Page 5 sur 9
xercice 5 xercices de 3 ème hapitre 8 ompléments géométriques 1. L'objet est composé de : un pavé droit de dimensions 4, 10 et 10 cm. Son volume vaut 4 10 10 = 400cm 3. moins une demi-boule de rayon 8 =4 cm et de volume 1 4 3 π 43 = 18 3 π cm3 Le volume de l'objet vaut donc 400 18 3 π 65,959cm3.. La surface du gâteau est composée de : un disque de rayon 4 cm et d'aire π 4² = 16π cm². une demi-boule de rayon 4cm et d'aire 1 4 π 4 =3 π cm². La surface à napper de chocolat a une aire valant 16π + 3π = 48π cm² soit environ 150,80 cm². xercice 6 L K U J R T Q S H P G M F N xercice 7 1. omme et appartiennent au cercle de centre alors, en plus d'être rectangle, est isocèle en.. '' est un rectangle. 3. omme est rectangle en alors ² = ² + ² ² = 3² + 3² ² = 18 d'où =3 cm omme '' est un rectangle de dimensions 5 et 3 cm alors son aire vaut 5 3 =15 cm² soit environ 1,1cm². xercice 8 1. Le cône (') est une réduction de () avec le rapport S' S = 5 8.. Le rapport des volumes des deux cônes vaut ( 5 3 = 8) 15 51. éducmat Page 6 sur 9
xercice 9 1. hacune des six faces du cube a pour aire 5 5 = 5 cm². L'aire de sa surface totale vaut donc 6 5 = 150 cm².. Le volume du cube vaut 5 5 5 = 15 cm 3. 3. omme le rapport de surface entre les deux cubes vaut 16 = 4² alors le grand cube est un agrandissement du petit de rapport 4. Par conséquent, le volume du grand cube vaut 4 3 = 64 fois celui du petit, soit 64 15 = 8000 cm 3 ou encore 8L. xercice 10 1. et 4. Voir ci-contre.. La base de la pyramide est un carré de,4cm de côté dont l'aire vaut,4,4 = 5,76 cm. 3. La pyramide de hauteur 4 cm et de base d'aire 5,76 cm² a pour volume 1 3 4 5,76= 7,68 cm3. 5. La petite pyramide est une réduction de la grande de rapport 3 4. n en déduit que l'aire de sa base vaut ( 3 = 4) 9 16 fois l'aire de la base de la grande, soit 9 16 5,76= 3,4 cm. 6. Le volume de la petite pyramide vaut ( 3 3 = 4) 7 64 fois le volume de la grande, soit 7 64 7,68= 3,4cm3. xercice 11 1. Les figures sont a, c et d.. Les figures sont a, e et f. 3. Les figures sont a, c et d. xercice 1 omme et sont deux angles inscrits dans le même cercle, qui interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. 'où =39. xercice 13 omme RU est un angle au centre de () qui intercepte le même arc que l'angle inscrit RSU alors RU = RSU d'où RU =104. xercice 14 omme est un angle au centre de () interceptant le même arc que l'angle inscrit alors = 45 d'où =90. omme et appartiennent au cercle de centre alors =. omme =90 et = alors est un triangle rectangle et isocèle en. éducmat Page 7 sur 9
xercice 15 omme est un angle au centre interceptant le même arc que l'angle inscrit alors = omme est un angle au centre interceptant le même arc que l'angle inscrit alors = d'où =5. d'où =75. omme la somme des mesures des angles du triangle vaut 180 alors Â=180 75 5 soit  =80. xercice 16 1. omme  est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte le même arc que l'angle au centre  alors on a Â=  donc  mesure 70 =35.. omme appartient au cercle de diamètre [] alors est un triangle rectangle en. 3. ans le triangle rectangle en on a sin( Â)= donc sin(35 )= 4 d'où = 8 sin(35 ) soit 4,6 cm. 4. omme appartient au cercle de diamètre [] alors est un triangle rectangle en. n a alors cos(ĉ)= donc cos(ĉ)= 3 d'où Ĉ 68. 8 5. omme Ĉ est un angle au centre interceptant le même arc que l'angle inscrit Ĉ alors Ĉ= Ĉ d'où Ĉ 136. (Remarque : on n'obtient pas cette valeur en multipliant 68 par car il ne faut jamais faire de calcul avec des valeurs approchées. n doit multiplier par le résultat que donna la calculatrice à la fin de la question 4.) xercice 17 n commence par tracer le cercle de centre et de rayon M. haque angle au centre d'un pentagone régulier mesure 360 5 =7. ela permet de construire le point L. M L K omme les côtés du pentagone régulier sont de longueur égale alors on reporte au compas la longueur ML à partir de L pour trouver K, puis, et enfin N. N xercice 18 haque angle de l'hexagone mesure 180 360 6 =10. H omme les côtés de l'hexagone sont de même longueur, on peut dès lors construire G et J. n répète ce procédé pour construire le reste de l'hexagone. J G F éducmat Page 8 sur 9
xercice 19 1. omme ÔK est un angle d'un pentagone régulier alors il mesure 180 360 5 =108.. omme chaque angle au centre d'un pentagone régulier mesure 360 5 =7 alors on a PZ=7. omme P est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte le même arc que l'angle au centre PZ alors P= PZ donc P mesure 7 =36. xercice 0 1. omme ÊFG est un angle d'un décagone régulier alors il mesure 180 360 10 =144.. omme ĜJ est composé de trois angles au centre du décagone alors il mesure 3 360 10 =108. omme ĜJ est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte le même arc que l'angle au centre ĜJ alors on a ĜJ =ĜJ ĜJ mesure 108 =54. donc 3. omme Ê est composé de deux angles au centre du décagone alors il mesure 360 10 =7. omme ÊJ est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte le même arc que l'angle au centre Ê alors on a ÊJ mesure 7 =36. ÊJ= Ê donc éducmat Page 9 sur 9