1- Ligne polygonale. I- Polygones. Le mot polygone est la combinaison de deux mots Grecs et signifie plusieurs angles. On considère les points puis on trace les segments On obtient une ligne polygonale ou une ligne brisée. éfinition (ligne polygonale): On appelle ligne polygonale l ensemble de segments, chacun d eux ayant une extrémité commune avec le suivant, deux segments consécutifs n étant pas en ligne droite. 2- Polygone. Si les extrémités d une ligne polygonale sont confondues, on dit qu elle est fermée. éfinition (Polygone) : On appelle polygone une ligne polygonale fermée. Vocabulaire : Les points Les segments, sont les sommets du polygone., en sont les côtés. Les mathématiques au collège. Page 1
éfinitions : On appelle diagonale d un polygone tout segment de droite joignant deux sommets non consécutifs. On appelle périmètre d un polygone la somme des longueurs de ses côtés. xemples de diagonales 3- lassification. Un polygone a autant de sommets que de côtés. Nombre de côtés Nom du polygone 3 Triangle 4 Quadrilatère 5 Pentagone 6 Hexagone 7 Heptagone 8 Octogone 9 ennéagone 10 écagone 11 Hendécagone 12 odécagone La liste est longue voir Wikipédia. 4- Polygones convexes. éfinition : Une ligne polygonale ou un polygone sont dits convexes s ils sont situés tout entiers d un même côté de la droite illimitée qui porte un côté quelconque. Les mathématiques au collège. Page 2
Polygone convexe Polygone concave ou non convexe Ligne polygonale convexe Ligne polygone non convexe 5- Polygone croisé : éfinition : On appelle polygone croisé, un polygone qui n est pas convexe et qui a deux côtés qui se coupent en un point qui n est pas un sommet. Les mathématiques au collège. Page 3
II- Polygones réguliers. 1- Généralités. éfinition : On appelle polygone régulier «convexe». Tout polygone convexe qui a tous ses angles égaux et tous ses côtés égaux. xemple de polygone régulier (Pentagone régulier) On trace cinq angles égaux à Ils interceptent cinq arcs égaux Les cinq angles du pentagone sont égaux. ar chacun d eux intercepte les: du cercle. Les côtés sont égaux car se sont des cordes qui sous tendent des arcs égaux. Les tangentes au cercle en forment un polygone régulier. On dit que le polygone est circonscrit au cercle ou encore que le cercle est inscrit au polygone. Les mathématiques au collège. Page 4
Théorème : Si on divise une circonférence en un nombre quelconque de parties égales : i- Les points de division consécutifs constituent les sommets d un polygone régulier convexe inscrit à ce cercle. ii- Les tangentes en ces points constituent un polygone régulier convexe circonscrit à ce cercle. éfinition : Le centre commun aux deux cercles circonscrit et inscrit est le centre du polygone régulier. Le symétrique du point par rapport à la droite est le point Le symétrique du segment par rapport à la droite et le segment. es égalités : On a donc et le cercle passe par le point. Les mathématiques au collège. Page 5
ans un polygone régulier un cercle qui passe par trois points consécutifs pass par le point suivant. On en déduit qu un polygone régulier est inscriptible dans un cercle. Les côtés de ce polygone sont des cordes égales de ce cercle, donc ils sont situés à la même distance du centre O, ce qui prouve l existence d un cercle de centre O et qui est tangent aux côtés du polygone régulier. Propriété : Tout polygone régulier est inscriptible à un cercle et circonscriptible à un autre de même centre. ans le triangle OH rectangle en H. On a : après le théorème de Pythagore : Les mathématiques au collège. Page 6
autre part on a : Sachant que la somme des angles d un triangle est un angle plat. onc Soit : ans le triangle OH rectangle en H, on a : t Ou bien : Les mathématiques au collège. Page 7