Signaux physiques Chapitre 5 : Lentilles minces Sommaire 1 Les lentilles minces 1 1.1 Lentilles sphériques................................................ 1 1.2 Le modèle des lentilles minces......................................... 1 2 Propriétés des lentilles minces 2 2.1 Foyers principaux................................................. 2 2.1.1 Foyer principal image.......................................... 2 2.1.2 Foyer principal objet........................................... 3 2.2 Distance focale et vergence............................................ 3 2.2.1 Grandeurs algébriques.......................................... 3 2.2.2 Distance focale.............................................. 3 2.2.3 Vergence.................................................. 3 2.3 Les foyers secondaires - Plan focal....................................... 4 2.3.1 Foyer secondaire image - Plan focal image.............................. 4 2.3.2 Foyer secondaire objet - Plan focal objet................................ 4 3 Constructions géométriques 4 3.1 Construction de l image d un point hors de l axe............................... 4 3.2 Construction de l image d un point sur l axe................................. 5 4 Relations de conjugaison - Grandissement 5 4.1 Relation de conjugaison avec origine aux foyers (formule de Newton)................... 5 4.2 Relation de conjugaison avec origine au centre (formule de Descartes).................. 5 4.3 Grandissement.................................................. 5 5 Associations de deux lentilles 6 5.1 Définition d un doublet............................................. 6 5.2 Doublet accolé................................................... 6 5.3 Doublet non accolé................................................ 6 5.4 Doublet afocal................................................... 7 6 Aberrations geometriques et chromatiques 7 Page Les lentilles sont très utilisées dans les instruments d optique : lunette astronomique, microscope, appareil photographique, etc. Nous allons définir les caractéristiques et établir les propriétés des lentilles sphériques minces. Sauf mention contraire, nous ne les étudierons que dans les conditions de Gauss. Les lentilles sont alors stigmatiques et aplanétiques, et peuvent donc être utilisées pour former des images de qualité. L idée est ensuite d apprendre à manier les constructions graphiques ainsi que les différentes relations mathématiques. Nous serons alors en mesure de comprendre et d expliquer le fonctionnement des systèmes optiques constitués de lentilles. 2014/2015 1/9
1 Les lentilles minces 1.1 Lentilles sphériques Une lentille sphérique est un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux dioptres sphériques, ou un dioptre sphérique et un dioptre plan. Les lentilles sphériques constituent des systèmes optiques centrés. On peut distinguer six formes courantes de lentille sphérique, regroupées en deux catégories : lentilles à bords minces (lentilles convergentes) : biconvexe (deux dioptres sphériques, centres des sphères situés de part et d autre de la lentille) ménisque convergent (deux dioptres sphériques, centres situés du même côté) plan - convexe (un dioptre sphérique, un dioptre plan) lentilles à bord épais (lentilles divergentes) : biconcave (deux dioptres sphériques, centres situés de part et d autre de la lentille) ménisque divergent (deux dioptres sphériques, centres situés du même côté) plan-concave (un dioptre sphérique, un dioptre plan) Associons à chaque dessin la catégorie correspondante et précisons le caractère convergent ou divergent : 1.2 Le modèle des lentilles minces La géométrie d une lentille sphérique peut être caractérisée par ses deux sommets S 1 et S 2 et les deux centres C 1 et C 2 des dioptres sphériques qui la constituent. Une lentille sphérique est dqu mince lorsque son épaisseur e = S 1 S 2 est très petite par rapport aux rayons de courbure ainsi qu à la distance C 1 C 2 séparant les deux centres : e C 1 S 1 e C 2 S 2 e C 1 C 2 (1) On peut alors considérer que son épaisseur est nulle : les sommets S 1 et S 2 sont confondus en un point O appelé centre optique de la lentille. Les symboles représentant les lentilles convergentes et divergentes sont les suivants : 2014/2015 2/9
O O lentille convergente lentille divergente Règle n o 1 (admise) : Tout rayon lumineux passant par le centre optique d une lentille n est pas dévié. Dans toute la suqu du cours d optique, les lentilles sont supposées sphériques et minces, sauf mention contraire. 2 Propriétés des lentilles minces 2.1 Foyers principaux 2.1.1 Foyer principal image Dans les conditions de Gauss, une lentille est un système stigmatique, et tout point objet situé sur l axe donne une image ponctuelle située sur l axe. On s intéresse ici à l image d un point objet situé à l infini sur l axe. L expérience montre que cette image se trouve à une distance finie de la lentille. Par définition, ce point image s appelle le foyer principal image de la lentille : Le foyer principal image de la lentille est le point F de l axe optique où se forme l image du point objet situé à l infini sur l axe. Règle n o 2 : Tout rayon incident parallèle à l axe optique ressort en passant par F. 2.1.2 Foyer principal objet Le foyer principal objet de la lentille est le point F de l axe optique dont l image se situe à l infini sur l axe. 2014/2015 3/9
Règle n o 3 : Tout rayon incident passant par F ressort parallèle à l axe. 2.2 Distance focale et vergence 2.2.1 Grandeurs algébriques Afin de préciser les positions des différents éléments d un schéma optique, on oriente l axe optique et on utilise des grandeurs algébriques : A B Sur le schéma précédent, les points A et B sont tels que : AB > 0 et BA < 0 2.2.2 Distance focale La distance focale f d une lentille correspond par définition à la distance algébrique séparant le centre optique du foyer principal image : f = OF (2) 2.2.3 Vergence On utilise parfois la vergence C de la lentille : On appelle vergence C d une lentille la grandeur exprimée en dioptries (symbole : δ) et définie par la relation : C = 1 f (3) Dans la relation précédente, la distance focale doit s exprimer en mètre, si bien que : 1 δ = 1 m 1 2.3 Les foyers secondaires - Plan focal 2.3.1 Foyer secondaire image - Plan focal image On considère un plan objet orthogonal à l axe et situé à l infini. D après la propriété d aplanétisme, l image de ce plan est un plan orthogonal à l axe et incluant le foyer principal image de la lentille : c est le plan focal image. En définitive, chaque point du plan objet situé à l infini a pour image un point du plan focal : chacune de ces images est un foyer image secondaire. Le plan focal est donc constitué de l ensemble des foyers images secondaires. Le plan focal image est l image du plan objet orthogonal à l axe et situé à l infini. Le plan focal image est donc le plan passant par F et orthogonal à l axe. 2014/2015 4/9
Tout point du plan focal image est un foyer image secondaire 2.3.2 Foyer secondaire objet - Plan focal objet En inversant les rôles d objet et d image, on peut aussi définir un plan focal objet, constitué par l ensemble des foyers objets secondaires. Le plan focal objet est le plan dont l image est un plan orthogonal à l axe et situé à l infini. Le plan focal objet est donc le plan passant par F et orthogonal à l axe. Tout point du plan focal objet est un foyer objet secondaire 3 Constructions géométriques 3.1 Construction de l image d un point hors de l axe On considere un point objet B situe hors de l axe optique. On souhaite construire graphiquement son image B à travers une lentille. La méthode consiste à tirer parti des propriétes des points particuliers : O, F et F. Nous allons le voir : le tracé de deux rayons lumineux est suffisant, l image se trouvant à l intersection de ces rayons. En general, on en tracera plutot trois, de manière à s assurer de la qualité de la construction graphique. Construisons l image à travers une lentille convergente d un objet B situé à distance finie et hors de l axe et tel que AO > FO, A étant le projeté orthogonal de B sur l axe optique : 3.2 Construction de l image d un point sur l axe On considère un point objet A situé sur l axe optique. On souhaite construire graphiquement son image A à travers une lentille. La méthode consiste à se ramener à la construction précédente en définissant au préalable un point objet B situé dans le plan orthogonal à l axe passant par A. Apres avoir construit l image B, on en deduit la position de A, qui se situe sur l axe et dans le plan orthogonal à l axe passant par B. 2014/2015 5/9
4 Relations de conjugaison - Grandissement Les lentilles sont approximativement stigmatiques dans les conditions de Gauss. Ainsi, tout objet ponctuel situé sur l axe est associé à une image ponctuelle située sur l axe : ces deux points sont dits conjugués. On va établir les formules qui relient les positions de deux points conjugués situés sur l axe : ces sont les relations de conjugaison. 4.1 Relation de conjugaison avec origine aux foyers (formule de Newton) La relation de conjugaison «avec origine aux foyers», dqu formule de Newton, est la suivante : FA F A = f (4) Démonstration : 4.2 Relation de conjugaison avec origine au centre (formule de Descartes) La relation de conjugaison «avec origine au centre», dqu formule de Descartes, est la suivante : 1 f = 1 p 1 p (5) où p = OA et p = OA. Démonstration : 4.3 Grandissement Le grandissement γ est une grandeur algébrique définie comme le rapport entre la dimension de l image et celle de l objet : γ = A B AB (6) Montrons que le grandissement peut se mettre sous la forme : γ = OA OA (7) 2014/2015 6/9
5 Associations de deux lentilles 5.1 Définition d un doublet Un doublet est un systeme optique constitué de deux lentilles. Si l on peut confondre les centres optiques des deux lentilles, le doublet est dit accolé. Dans le cas contraire, le doublet est dit non accolé. 5.2 Doublet accolé Pour former un doublet accolé en travaux pratiques, il suffit de coller les deux lentilles l une contre l autre. On peut alors estimer que les deux centres optiques sont approximativement confondus. On retiendra que le doublet est alors équivalent à une lentille mince dont la vergence équivalente est égale à la somme des vergences des deux lentilles. 5.3 Doublet non accolé Méthode : L étude d un doublet non accolé L 1, L 2 se fait par la méthode des images intermédiaires. On resumera toujours la situation à l aide de la notation suivante : A (L 1 ) A' (L 2 ) A" Considère par exemple un doublet constitué de deux lentilles convergentes. Les centres optiques sont séparés d une distance d, supérieure à la somme des distances focales f 1 et f des deux lentilles.déterminons graphiquement 2 les positions des foyers objet et image du doublet : Il est possible de retrouver ces positions par le calcul : 5.4 Doublet afocal Un doublet afocal est un doublet dont les foyers objet et image sont rejetés à l infini. En considérant deux lentilles convergentes, donnons la condition permettant de réaliser un doublet afocal, graphiquement puis par le calcul : 2014/2015 7/9
6 Aberrations geometriques et chromatiques Les figures ci-dessous ont ete obtenues à l aide du logiciel de simulation OptGeo. Ces figures permettent d illustrer les effets des aberrations géométriques et des aberrations chromatiques, ces aberrations se produisant lorsque la lentille est utilisée hors des conditions de Gauss. Afin de se placer dans les conditions de Gauss, il faut diaphragmer le faisceau de lumière : 2014/2015 8/9
La netteté de l image est alors améliorée : 2014/2015 9/9
Compétences exigibles : Le modèle des lentilles minces. Reconnaître les lentilles divergentes et convergentes d après leur forme. Représenter une lentille mince convergente et une lentille mince divergente. Savoir que, dans le cas d une lentille mince, le rayon passant par le centre de la lentille n est pas dévié. Propriétés des lentilles minces. Définir et localiser les foyers objet et image d une lentille (convergente et divergente) Connaître la relation entre la distance focale image et la vergence d une lentille.(utiliser les unités qui conviennent) Déterminer la nature d une lentille mince d après le signe de la vergence. Définir et localiser le plan focal objet et le plan focal image. Construction d image. Savoir construire l image d un objet orthogonal à l axe optique quelle que soit la position de l objet et quelle que soit la nature de la lentille. Relations de conjugaison et de grandissement. Connaitre et utiliser les relations suivantes : Relation de Descartes - avec origine au centre. Relation de Newton - avec origine au foyer Définition du grandissement Expression du grandissement faisant apparaître le centre Expression du grandissement faisant apparaître le foyer objet Expression du grandissement faisant apparaître le foyer image Système constitué de plusieurs lentilles. Montrer qu un système constitué de deux lentilles accolées est équivalent à une unique lentille dont la vergence est égale à la somme des vergences des différentes lentilles. Savoir étudier par construction graphique et par calcul un doublet non accolé. Connaître la définition d un doublet afocal et la condition permettant sa réalisation. Aberrations Savoir qu il n a pas stigmatisme pour les lentilles mince en général. Savoir que l absence de stigmatisme est à l origine d aberrations. Savoir qu il y a stigmatisme approché dans les conditions de Gauss. Justifier pourquoi on peut diaphragmer un faisceau de lumière pour améliorer la netteté de l image. 2014/2015 10/9