Introduction à la théorie des options financières

Introduction à la théorie des options financières Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) ESC REIMS Le 16 Janvier 2008 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 1 / 98

Références principales John HULL: Options, Futures and Other Derivatives, Sixth edition, Pearson Prentice Hall 2006 Paul WILMOTT: Paul Wilmott on Quantitative Finance, Second edition, John Wiley and Sons 2006 Les slides de ce cours et d autres documents pédagogiques sont disponibles à l adresse www.chorro.ouvaton.org Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 2 / 98

Plan de la Présentation Chapitre 1: Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants Chapitre 2: Les options Vocabulaire des options simples Un mot sur les options exotiques Exemple d utilisation des options par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques Chapitre 3: L absence d opportunité d arbitrage (AOA) Prêt à la banque, vente à découvert L AOA et le théorème fondamental Conséquence pour le prix des options vanilles hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 3 / 98

Plan de la Présentation Chapitre 4: Stratégies complexes faisant intervenir les options Chapitre 5: Modèles d évaluation des options Modèles en temps discret (Binomial) Modèles en temps continu (Black, Scholes et Merton) Chapitre 6: Applications hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 4 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 5 / 98

Les marchés financiers Au commencement de l économie libérale: La loi de l offre et de la demande Comment concilier de manière pacifique les intérets apparamment contradictoires entre offreurs et demandeurs de manière à optimiser la vente et l achat des quantités disponibles fondée sur deux hypothèses Homo oeconomicus (agent rationel parfaitement informé) Concurrence parfaite Théoriciens: Adam Smith (main invisible), Ricardo (modélisation), Walras (concurrence parfaite) hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 6 / 98

Les marchés financiers Un exemple historique: En 1848 à Chicago création d un marché au grain pour confronter offre et demande. De nos jours les marchés classiques d actions (part du capital d une entreprise), de change, de taux d intérêt ou de matières premières reprennent ce fonctionnement originel. Exemples européens Forex (change) : www.forex.com Euronext (actions): www.euronext.com Autres exemples New York Stock Exchange (actions) : www.nyse.com NASDAQ (actions) :www.nasdaq.com hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 7 / 98

Les marchés financiers Depuis 30 ans les volumes échangés sur les marchés financiers ont fortement progressé 400,000 Volume de transaction sur les marchés financiers 350,000 Principal Amount USD Billions 300,000 250,000 200,000 150,000 100,000 50,000 0 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Markets OTC Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 8 / 98

Les marchés financiers Cet envol autour des années 80 peut s expliquer par La fin des accords de Bretton Woods, taux de change flottants en 1973 Le financement du déficit budgetaire américain Le choix de la retraite par capitalisation aux USA Plus recemment leur dévellopement est amplifié par Le financement des déficits budgetaires européens et japonais Le besoin d épargne retraite dû aux Baby Boomer hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 9 / 98

Les marchés financiers Un exemple: Le problème du taux de change flottant Taux de change euro/dollar Question: Comment une entreprise (par exemple EADS) peut se prémunir contre ces fluctuations difficilement prévisibles? Les produits dérivés... hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 10 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 11 / 98

Les produits dérivés Définition Un produit dérivé est un actif financier dépendant d autres variables plus fondamentales (appelées sous jacent) comme une action, un taux de change ou une matière première. Exemple 1: Les contrats forward Exemple 2: Les options hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 12 / 98

Les produits dérivés Définition Un contrat forward est un engagement ferme (une obligation) à acheter ou vendre un actif à une date future donnée et à un prix convenu. Définition Une option donne le droit (et non l obligation) d acheter ou de vendre un actif à une date future donnée et à un prix convenu. Remarque: Contrairement aux contrats forward, une option a un prix. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 13 / 98

Les produits dérivés Les produits dérivés s achétent et se vendent sur deux types de marchés Les marchés organisés: Contrats standardisés, procédures de contrôle stricts, garanties... - Chicago Board of options exchange (1973) qui porte sur 1200 sous jacents - MONEP (1987) qui porte sur 100 sous jacents Les marchés OTC: Produits sur mesure (mais risque de défaut...) hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 14 / 98

Comparaison des marchés Notional amount billions US$ OTC Derivatives - Foreign exchanges contracts - Interest rate contracts - Equity-linked contracts - Commodity contracts -Other Organized Exchanges - IR Futures - IR Options - Currency Futures - Currency Options - Equity Index Futures - Equity Index Options Dec. 2003 197,177 24,484 141,991 3,787 1,040 25,510 36,739 13,123 20,793 80 38 502 2,197 Dec. 2004 248,288 29,575 187,340 4,385 1,439 25,549 46,592 18,165 24,604 104 61 634 3,024 Dec. 2005 284,819 31,609 215,237 5,057 3,608 29,308 57,816 20,709 31,588 108 66 803 4,542 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 15 / 98

Les produits dérivés Les marchés dérivés ne sont plus véritablement des lieux physiques (transactions téléphoniques ou informatiques) hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 16 / 98

Les produits dérivés Un exemple historique instructif: Le marché de la tulipe en Hollande au 17ème siècle Premier exemple de Krash spéculatif (Tulipomania) dû à une sous évaluation du prix de certains produits dérivés. Moral de l histoire: Nécessité de proposer un juste prix pour les produits dérivés!!! hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 17 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 18 / 98

Les intervenants Les intervenants directs du marché sont de trois types: Les hedgers: Utilisent les produits pour réduire l exposition à un risque donné (risque de change, risque climatique, etc...). Approche prudente, historique. Les spéculateurs: Font des paris souvent risqués sur l évolution du cours d un sous jacent. Approche risqué et parfois controversée. Rôle indirect: Assurer le liquidité des marchés hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 19 / 98

Les intervenants Les arbitragistes: Détectent et profitent des incohérences du marché (arbitrages) qui sont des mises en défaut de la main invisible. Approche opportuniste. Un exemple pédagogique d arbitrage: un produit est coté à deux prix différents sur deux marchés différents. Rôle fondamental: Leur existence assure que les opportunités d arbitrage (O.A) sont rares et surtout éphémeres car ils rétablissent par leur action la loi de l offre et de la demande. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 20 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 21 / 98

Vocabulaire On parle ici d options simples (ou vanilles) sur actions, qui ne distribuent pas de dividendes et cotés sur des marchés organisés. Définition Une option vanille donne le droit (et non l obligation) d acheter ou de vendre une ou plusieurs actions à une date future donnée et à un prix convenu. Pour une option d achat on parle de call, position longue Pour une option de vente on parle de put, position courte hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 22 / 98

Vocabulaire Caractéristiques d une option d achat Date d échéance du contrat T Actif sous jacent dont le cours est noté (S t) t [0,T ] Prix d exercice (strike) K auquel on peut acheter une unité (en général plusieurs) de sous jacent. Une option est dite européenne lorsque le contrat ne peut être exécuté qu à T. Une option est dite américaine lorsque le contrat peut être exécuté à toute date entre 0 et T. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 23 / 98

Vocabulaire Une option d achat est dite dans la monnaie si S T > K à la monnaie si S T = K en dehors de la monnaie si S T < K Explication Si S T > K, le detenteur de l option a intérêt à l exercer, en effet, il peut acheter une action au prix K et la revendre immédiatement. Le bénéfice est S T K. Si S T = K, on fait ce que l on veut. Le bénéfice est 0. Si S T < K, le détenteur de l option a intérêt à ne pas l exercer. Le bénéfice est 0. Au final, le flux de trésorerie en T (appelé le payoff) est Max(S T K, 0) = Not (S T K ) +. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 24 / 98

Vocabulaire Profit ZONE D'EXERCICE Gains potentiellement illimités K S T - C 0 Perte limitée à la prime PROFIT LIE A l'achat D'UN CALL EU À T hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 25 / 98

Vocabulaire En résumé pour les options européennes vanilles Stratégie Anticipation des cours Gain Potentiel Perte Potentielle Profit ACHAT de CALL HAUSSE Illimité (mais le prix ne monte pas à l infini) Limitée ACHAT de PUT BAISSE Limité Limitée VENTE de CALL STABILITE ou LEGERE BAISSE Limité Illimitée (mais le prix ne monte pas à l infini) VENTE de PUT STABILITE ou LEGERE HAUSSE Limité Limité Source: Rémi Bachelet hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 26 / 98

Vocabulaire Modèle de contrat européen EURONEXT (http://www.euronext.com) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 27 / 98

Vocabulaire Modèle de contrat américain EURONEXT (http://www.euronext.com) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 28 / 98

Vocabulaire Exemple de cotation sur le NYSE (source http://finance.yahoo.com/) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 29 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 30 / 98

Les options exotiques Sur les marchés OTC des options moins classiques peuvent s échanger: Les options asiatiques (dépendant de la moyenne des cours). Ex N K ) +. ( 1 N k=1 S Tk N Les options lookback (dépendant du max des cours). Ex (MaxS k K ) +. k Les options barrière (qui se désactivent si on franchit un seuil). Les options d échange. En finance, il n y a aucune limite de créativité à partir du moment où un vendeur et un acheteur se rencontrent sur un marché OTC. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 31 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 32 / 98

Exemple d utilisation Pour un Hedger: Un investisseur détient 1000 titres Lafarge cotés 73 euros / titre. Il craint qu un ralentissement économique pénalise le cours à T. Sur le marché est disponible un put EU d échéance T et de strike 65 euros au prix de 2, 5 euros. Il achète 1000 put. Si S T > K, pas d exercice. Le profit est 1000S T 2500 62500. Si S T < K, il exerce. Le profit est 65000 2500 = 62500. Dans ce cas le put est une assurance. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 33 / 98

Exemple d utilisation Pour un spéculateur: Un titre FT vaut actuellement 20 euros. Un spéculateur pense que le cours de cette action va augmenter dans les deux prochains mois. Sur le marché est disponible un call EU d échéance 2 mois, de strike 25 euros au prix de 1 euros. Il dispose de 4000 euros. Deux stratégies sont possibles: Acheter 200 actions (S 1 ) Acheter 4000 options (S 2 ) Si le cours passe à 15 euros, S 1 rapporte 1000 euros et S 2 rapporte 4000 euros. Si le cours passe à 35 euros, S 1 rapporte 3000 euros et S 2 rapporte 36000 euros. Ce phénomène est appelé effet levier. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 34 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 35 / 98

Les mathématiques Appréhender le hasard Théorie des probabilités (processus stochastiques, statistique) Travaux pionniers (et ignorés!) de Louis Bachelier (Théorie de la spéculation 1900). La modélisation mathématique s articule toujours de la manière suivante: Etape 1: Modélisation du sous-jacent en respectant les deux préceptes antagonistes: Raffinement du modèle pour coller au mieux à la réalité (complexe!) Simplicité pour pouvoir exploiter le modèle Etape 2: Proposer un prix pour les actifs et utiliser le marché pour générer de la valeur. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 36 / 98

Les mathématiques Actuellement deux modèles (et leurs nombreuses extensions) tiennent le haut du pavé: Modèle de Black-Merton et Scholes datant de 1973 (Prix Nobel d économie en 1997). Modèle en temps continu qui a immédiatement révolutionné la pratique financière: Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ils l utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement proches de ceux donnés par la formule, même lorsqu il devrait exister un écart important... (F. Black) Modèle de Cox Ross Rubinstein datant de 1979. Modèle en temps discret qui est une approximation simple du précédent. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 37 / 98

Les mathématiques Malgré leur technicité, les modèles mathématiques d évalution ne sont qu une aide à la prise de décision (Les probabilités ne sont pas une nouvelle main invisible!). Une anecdote à mediter: Le hedge fund Long Term Capital Management fondé en 1994 (notamment par Scholes et Merton) fit quasi-faillite en 1998 (4,2 milliards de dollars de perte) entraînant des perturbations très importantes sur les marchés financiers... Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 38 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 39 / 98

Prêt et vente à découvert Comment intervenir sur les marchés sans apports de fonds? Emprunt à la banque à un taux annuel r supposé constant sur [0, T ] (T en années). Il faut préciser la convention utilisée pour le taux d intéret. Si la composition est annuelle: 100 euros à t = 0 deviennent 100(1 + r) T à T. Si la composition est semestrielle: 100 euros à t = 0 deviennent 100(1 + r 2 )2T à T. Si la composition est journalière: 100 euros à t = 0 deviennent 100(1 + r 365 )365T à T. Si la composition est en temps continu: 100 euros à t = 0 deviennent 100e rt à T. On se placera désormais sous cette dernière convention. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 40 / 98

Prêt et vente à découvert Vente à découvert d actifs risqués: Il s agit d un mécanisme entre 3 parties permettant de vendre des actifs que l on ne possède pas: Un investisseur C 1 passe auprès de son broker (opérateur de marché) un ordre de vente à découvert de n titres. Le Broker trouve un autre client C 2 qui accepte de lui préter les titres. Le Broker les vend et remet l argent à C 1. A un moment donné C 1 va clore sa position en achetant n titres qui seront remis à C 2 via le Broker. Intéret: C 1 peut profiter d une baisse des cours. Règles: C 2 et le Broker sont rémunérés, C 2 empoche les dividendes éventuels, C 2 peut clore le deal à tout instant. Même si cette procédure est très controlée (parfois interdite), nous supposerons qu elle est toujours possible. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 41 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 42 / 98

A.O.A HYP: On suppose dorénavant (sauf mention contraire) qu il n y a pas de coûts de transactions. Définition On dit qu il existe une opportunité d arbitrage (O.A) lorsqu il est possible de réaliser un profit sans risque et sans apports de fonds par une combinaison de plusieurs transactions Ex: 1 produit coté à 2 prix différents sur deux marchés. HYP: L existence des arbitragistes fait que nous supposerons toujours A.O.A. Conséquence: On peut mettre en place des raisonnement par A.O.A: pour montrer qu un actif a un certain prix, on suppose le contraire et on montre qu alors un arbitrage est possible. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 43 / 98

A.O.A Théorème Soient A et B deux portefeuilles financiers tels que V A (T ) = ( ) V B (T ). Alors 0 t T, V A (t) = ( ) V B (t). Preuve: Supposons V B (t) > V A (t) (autre cas en exercice): A la date t (et pour un coût nul) on vend à découvert B on achète A on place à la banque V B (t) V A (t) A la date T (pour un bénéfice de (V B (t) V A (t))e r(t t) > 0) on rembourse B on vend A on encaisse les intérets place à la banque (V B (t) V A (t))e r(t t) > 0 Contradiction avec A.O.A hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 44 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 45 / 98

Relation de Parité Call-Put Notations Pour 0 t T, on note S t la valeur à t d un certain actif risqué ne versant pas de dividendes. C t la valeur à t d un call européen sur l actif risqué, de strike K et d échéance T P t la valeur à t d un put européen sur l actif risqué, de strike K et d échéance T Théorème t [0, T ], C t + Ke r(t t) = P t + S t. Preuve: Considérer le portefeuille A : 1 Call+ Ke rt euros et le portefeuille B: 1 Put+ 1 sous jacent, puis appliquer le théorème précédent. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 46 / 98

Relation de Parité Call-Put Remarques: Cette relation est fondamentale, elle permet de déduire la valeur du put de celle du call. Cela permet aussi de construire des options synthétiques. Lorsque le sous jacent reverse des dividendes la relation de parité call put devient C t + De rt + Ke r(t t) = P t + S t où D est la valeur actualisée à t = 0 des dividendes reversés. Cette relation n est pas vérifiée en général pour les options américaines. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 47 / 98

Propriétés des prix d options Exercice: En utilisant l A.O.A, démontrer les propositions suivantes, t [0, T ]: C t S t et P t Ke r(t t). C t Max(S t Ke r(t t), 0) et P t Max(Ke r(t t) S t, 0). Le prix à t du call est une fonction décroissante du strike. Le prix à t du put est une fonction croissante du strike. Les prix à t du call et du put sont des fonctions convexes du strike (cf Butterfly spread). Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 48 / 98

Concernant les américaines On suppose que le sous jacent ne verse pas de dividende et que r > 0. Théorème t [0, T ], C am t = C t. Lemme Le prix d un call europpéen est une fonction croissante de l échéance. Lemme t [0, T ], S t K C am t P am t S t Ke r(t t). hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 49 / 98

Stratégies complexes Nous étudions dans cette partie certaines stratégies faisant intervenir plusieurs options de même type (Bull spread, Butterfly spread) ou de type différent (straddle, strangle). Pour plus d exemples ou de détails on pourra consulter le site de la bourse de Toronto www.m-x.ca ou l adresse http://www.euronext.com/fic/000/010/729/107297.pdf. On supposera ici que r = 0 pour ne pas se préoccuper des problèmes d actualisation (représentation sur le même graphique de grandeurs correspondant à des instants différents). Pour étudier une stratégie on en représentera le profit associé à l échéance en examinant certains critères parmi le coût les gains et les pertes (limités, illimités) le régime d utilisation (marché haussier, baissier, stable) Le risque associé hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 50 / 98

Bull Spread Profit Position longue sur le call de strike K 1 Bénéficier d'une hausse dans une certaine mesure Pertes limitées C 0 K2 Si les strikes sont grands la stratégie est agressive C 0 K2 - C 0 K1 K 1 K K 2 2 S T Réduire le coût d'achat du premier call -C 0 K1 Utile si l'on pense que le cours va monter mais pas trop Position courte sur le call de strike K 2 Profit d'un Bull spread Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 51 / 98

Butterfly Spread Profit Profit d'un Butterfly spread (2K 2 =K 1 +K 3 ) Pertes limitées 2C 0 K2 Achat Call strike K 1 Intérêt si l'on pense que le cours reste proche de K 2 Achat Call strike K 3 Si K 1 et K 3 sont proches le coût est peu élevé (mais agressif) 2C 0 K2-C 0 K1- C 0 K3 0 K 1 K 2 K 3 S T Permet de reconstruire tous les payoffs par combinaison linéaire -C 0 K3 -C 0 K1 Vente 2 Calls strike K 2 Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 52 / 98

Straddle Profit Achat d'un Put Profit d'un straddle Achat d'un call On anticipe une grosse variation des cours sans en connaître le sens On peut rentre un straddle asymétrique en y ajoutant un call (strap) ou un put (strip) Pertes limitées K S T -C 0 -P 0 -(C 0 + P 0 ) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 53 / 98

Strangle Profit Achat Put strike K 1 Profit d'un Strangle Paris sur une variation des cours plus forte que pour le straddle Moins cher qu'un straddle La vente d'un tel produit est très risqué K 1 K 2 Achat Call strike K 2 S T Souvent les strikes sont out of the money pour minimiser les coûts -C K2 0 -P K1 0 -(C 0 K2+ P 0 K1 ) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 54 / 98

Exercice Exercice: Etudier les stratégies suivantes (portant sur des options sur le même sous jacent et de même échéance T ): Condor: On suppose K 1 > K 2 > K 3 > K 4 On achète deux put (call) de strike K 1 et K 4 On vend deux put (call) de strike K 2 et K 3 Iron Condor: On suppose K 1 > K 2 > K 3 > K 4 On achète un put de strike K 3 et un call de strike K 2 On vend un put de strike K 4 et un call de strike K 1 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 55 / 98

Modèles d évaluation Pour toute précision technique sur ce sujet on pourra par exemple consulter http://chorro.ouvaton.org/docs/bschoo.pdf http://chorro.ouvaton.org/docs/cs.pdf hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 56 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 57 / 98

Modèle binomial 1 Le Modèle Binomial 1 période. On considère un marché à deux dates (t = 0 et t = 1) et deux états du monde w u et w d. A ces deux états du monde est associée une probabilité, P(w u ) = p et P(W d ) = 1 p avec 0 < p < 1. Sur ce marché sont présents deux actifs: Un actif sans risque dont la valeur est donnée par S 0 0 = 1, S 0 1 = e r. Un actif risqué dont la valeur (S 1 t ) t {0,1} est donnée par l arbre suivant: hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 58 / 98

Modèle binomial 1 s t = 0 t = 1 S 1(w 1 u) = su S1(w 1 d ) = sd Dynamique de l actif risqué avec s > 0 et u > d. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 59 / 98

Modèle binomial 1 Nous allons supposer que le marché est sans frictions Il n y a pas de coût de transactions ni de taxes (extension possible) Il y a possibilité de vendre à découvert l actif risqué Les biens sont parfaitement divisibles L actif risqué ne verse pas de dividendes (extension possible) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 60 / 98

Modèle binomial 1 Définition Un portefeuille financier est un vecteur (Φ 0, Φ 1 ) de R 2 où Φ 0 (resp. Φ 1 ) représente la quantité d actif sans risque (resp. risqué) que l on possède. En notant x R le capital de départ on supposera qu il n y a pas d entrée ou de sortie d argent (autofinancement) i.e: x = Φ 0 + Φ 1 s. Dans ce cas la valeur à t = 1 du portefeuille est donnée par V 1 = Φ 0 e r + Φ 1 S 1 1 = xe r + Φ 1 1(S 1 1 se r ). hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 61 / 98

Modèle binomial 1 Définition Dans ce cadre, un arbitrage est un portefeuille financier (Φ 0, Φ 1 ) telle que x = 0, V 1 0 et V 1 0. Proposition Dans le modèle binomial, A.O.A d < e r < u. Nous nous placerons désormais sous la condition d A.O.A. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 62 / 98

Modèle binomial 1 Remarques: En présence de coûts de transaction la condition d A.O.A est assouplie: En présence de coûts fixes, A.O.A d e r u. En présence de coûts proportionnels λ [0, 1[, A.O.A d 1 λ 1 + λ < er < u 1 + λ 1 λ. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 63 / 98

Modèle binomial 1 Dans le modèle binomial un produit dérivé B est un produit financier dont la valeur à t = 1 dépend de S 1 1, t = 0 t = 1 B(w u) = B u? B(w d ) = B d Exemple: B = (S 1 1 K ) +. Dynamique d un produit dérivé Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 64 / 98

Modèle binomial 1 Définition a) Un produit dérivé est fabricable s il est égal à la valeur en t = 1 d un portefeuille autofinancé. b) La valeur à t = 0 du portefeuille précédent est apellée prix de fabrication. Proposition Dans le modèle binomial, tout produit dérivé est fabricable. De plus, le prix de fabrication est unique (noté Π(B)) et vaut Π(B) = 1 e r [qb u + (1 q)b d ] avec q = er d u d. La composition du portefeuille de fabrication est donnée par Φ 1 = B u B d su sd et Φ0 = Π(B) Φ 1 s. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 65 / 98

Modèle binomial 1 Proposition Le prix du produit dérivé (noté P(B)) est égal à son prix de fabrication. Preuve: Nous allons faire un raisonnement par A.O.A. Si Π(B) > P(B) (autre cas en exercice), A t = 0 (pour un coût nul) On vend à découvert Φ 1 = Bu B d actifs risqués et on emprunte Π(B) su sd Φ1 s à la banque. On achète le produit dérivé au prix p(b). On place Π(B) P(B) à la banque. A t = 1 on solde les positions (pour un gain>0). Contradiction avec A.O.A!!!!! hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 66 / 98

Modèle binomial 1 Quelques remarques Si on définit une nouvelle probabilité Q sur les deux états du monde en posant Q(w u ) = er d u d et Q(w d) = u er u d, A.O.A Q(w u) et Q(w d ) > 0 P(B) = E Q [ B e r ] (le prix ne dépend pas du choix de P) Q est appelée la probabilité risque neutre car se r = E Q [S 1 1]. La quantité d actif risqué dans le portefeuille de couverture Bu B d su sd dérivée discrète. est une hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 67 / 98

Modèle binomial 2 Le Modèle Binomial 2 périodes (Exercice) On considère un marché à 3 dates (t = 0, t = 1 2 et t = 1) avec un actif sans rique (r = 0) et un actif risqué dont la valeur est donnée par l arbre suivant t = 0 t = 1/2t = 1 120 110 100 100 90 80 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 68 / 98

Modèle binomial 2 1) Donner le prix et la composition du portefeuille de couverture d un call européen sur l actif risqué d échéance 1 et de strike K = 100. Quel est le prix du put de même strike? 2) (Option Moyenne) On considère une option européenne de sous jacent l actif risqué. Cette option donne le droit de recevoir à t = 1 le montant S1 1 +S 1 1 2 2 contre K = 100. a) Expliquer pourquoi le prix de ce produit dérivé ne peut être représenté par un arbre recombinant. b) Calculer le prix de cette option. c) Donner la composition du portefeuille de couverture associé. 3) (Option sur Max) Reprendre la question précédente en considérant une option européenne donnant le droit de recevoir à t = 1 le montant Max S k k {0, 1 2,1} contre K = 90. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 69 / 98

Modèle binomial: Cas général Dans ce modèle N périodes, la dynamique de l actif sans risque est S0 0 = 1, k {1,...N}, S0 k N = e kr N et celle de l actif risqué est donnée par t = 0 t = 1 N t = 2 N...... u... 2 s s us uds...... ds... d 2 s... t = N 1 N t = 1.. u N s u N 1 ds u. N 2 d 2 s.. u 2 d N 2 s ud N 1 s Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 70 / 98 d N s

Modèle binomial: Cas général En décomposant le problème en N(N+1) 2 modèles binomiaux 1 période on obtient pour le modèle général Proposition a) A.O.A d e r u. b) Tout produit dérivé est fabricable et le prix à t = k N forme B = f (S1 1 ) est donné par d un produit dérivé de la où q = er d u d. P k (B) = N 1 N k er( N ) N k f j=0 ( S 1 k u j d N k j) C j N k qj (1 q) N k j N Remarque: La composition du portefeuille de couverture à chaque instant est connue explicitement. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 71 / 98

Modèle binomial: Cas général Avantages: Les questions du pricing et du hedging sont résolues de manière explicite à l aide de formules simples et ce pour tous les actifs contingents. Inconvénient: La dynamique de l actif risqué est simpliste (donc peu réaliste). CAC de 03/90 à 06/07 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 1000 2000 3000 4000 Une idée: Passage à la limite (C.R.R) hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 72 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 73 / 98

Black Scholes Le modèle de Black Scholes (1973) est un modèle à 2 actifs où La valeur de l actif sans risque à l instant 0 t T = 1 est donnée par S 0 t = e rt. La valeur de l actif risqué est obtenue en passant à la limite dans un modèle binomial N périodes avec pour paramètre u = e b N + σ N et d = e b N σ N. En particulier, on peut montrer (T.C.L) que S 1 t = se σ2 (b 2 )t+σn (0,t) b est appelé le drift (c est la tendance) σ est appelée la volatilité (elle mesure l agitation du cours) Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 74 / 98

Black Scholes On peut montrer en utilisant des outils issus du calcul stochastique (http://chorro.ouvaton.org/docs/cs.pdf ) que ce modèle vérifie l A.O.A et que tout produit dérivé est fabricable. De plus le prix et la composition du portefeuille de fabrication sont obtenues en passant à la limite dans les formules associés au modèle binomial, notamment, P k (B) = N 1 N k er( N ) N k f j=0 ( S 1 k u j d N k j) C j N k qj (1 q) N k j N? N + Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 75 / 98

Dans le cas d un call européen de strike K et de maturité T, on obtient la célèbre Formule de Black Scholes Proposition Le prix à t d un call européen (de strike K et de maturité T ) est donné par où C t = S 1 t N(d 1 (t, S 1 t )) Ke r(t t) N(d 2 (t, S 1 t )) d 1 (t, x) = log( x K ) + (r + σ 2 2 )(T t) σ T t et d 2 (t, x) = log( x K ) + (r σ 2 2 )(T t) σ T t et où N est la fonction de répartion d une N (0, 1). La composition du portefeuille de couverture associé est donnée par Φ 1 t = C t S 1 t = N(d 1 (t, S 1 t )) > 0 et Φ 0 t = Ke rt N(d 2 (t, S 1 t )) < 0. Le prix ne dépend que d un paramètre non directement observable: la volatilité Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 76 / 98

Black Scholes Calcul de sensibilité: les grecques t = Ct S 1 t Call N(d 1 ) > 0 Γ t = 2 C t (S 1 t )2 1 xσ T t N (d 1 ) > 0 Θ t = Ct t xσ 2 T t N (d 1 ) Kre r(t t) N(d 2 ) < 0 ρ t = Ct r (T t)ke r(t t) N(d 2 ) > 0 vega t = Ct σ x T tn (d 1 ) > 0 La connnaissance de ces quantités est aussi fondamentale que la connaissance du prix!!! hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 77 / 98

Black Scholes AVANTAGES Formule explicite dans le cas d un Call (ou d un Put). Ne dépend qu un d un seul paramètre: la volatilité qui peut être estimée de manière statistique. Procédures numériques (Monte-Carlo, EDP) pour les autres produits dérivés. Prophétie auto-réalisée? Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ils l utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement proches de ceux donnés par la formule, même lorsqu il devrait exister un écart important... F. Black hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 78 / 98

Black Scholes INCONVENIENTS Hypothèse de log normalité CAC du 03/90 au 06/07 Retours norm CAC 2000 5000 0 1000 3000 0 1000 3000 Historique B&S 1500 3000 6 2 2 Retours norm B&S 4 0 4 0 1000 3000 0 1000 3000 Figure: SLLN is not fulfilled when X 1 C(1) (here n = 10000) hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 79 / 98

Black Scholes INCONVENIENTS Volatilité constante: Le problème du smile 0.8 0.7 vol implicite du call (sur une action du S&P 500) en fonction du strike 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 400 600 800 1000 1200 1400 1600 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 80 / 98

Plan 1 Généralités Les marchés financiers Les produits dérivés Les intervenants 2 Les options Vocabulaire Les options exotiques Exemple d utilisation par les intervenants Le rôle fondamental des mathématiques 3 L AOA Prêt à la banque et vente à découvert AOA Conséquences 4 Stratégies complexes faisant intervenir les options 5 Modèles d évaluation Modèle binomial Black et Scholes 6 Applications Applications Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 81 / 98

Applications Nous nous intéressons à l évaluation d un projet d investissement à l aide de la théorie des options. L exemple pédagogique suivant est issu du livre de Amram et Kulatilaka, Chap 10: Valuing a Start-up. On considère une start up qui souhaite lancer un produit de haute technologie, son business plan est le suivant: 4 millions pour le développement (0.5/trimestre pendant 2 ans) 12 millions pour sa commercialisation dans 2 ans Vente espérée 6 millions par an correspondant à une valeur espérée de l entreprise de 22 millions (basée sur le ratio valeur de marché/ventes de 3.66) Question: Doit on investir dans ce projet? hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 82 / 98

Applications +22 0 1 2-0,5-12 Cash flow associés au projet Rappel: En notant F p les fonds propres, D la dette, k p le taux exigé par les actionnaires, k D le taux exigé par les créanciers et i le taux d imposition, le coût moyen pondéré du capital est F p F e R = ( )k p + ( )k D (1 i). F p + F e F p + F e hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 83 / 98

Applications La valeur actualisée de la valeur espérée de l entreprise (R = 23, 4%) est 14, 46. La valeur actualisée des investissements (au taux annuel sans risque r = 5% ) est 14, 69. La VAN est donc de 0, 23. Question: Doit on abandonner ou reporter ce projet? En effet, Il pourra être plus dur de pénétrer le marché plus tard une fois la concurrence établie. Participer à ce projet peut permettre à terme de s engager sur des projets plus lucratifs. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 84 / 98

Applications Le raisonnement précédent omet un point important: Une fois le produit développé, rien ne nous oblige à le lancer si le marché a évolué. Financer le développement nous donne le droit (et non l obligation) de lancer le produit dans deux ans. Le calcul de la VAN omet cette flexibilité. Question: Comment chiffrer cette flexibilité? Une idée: Utiliser la théorie des options financières. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 85 / 98

Applications Le droit de lancer le produit peut être vu comme un Call européen. Call européen Option de lancement Prix du sous jacent Valeur actualisée de l'entreprise Strike Coût de lancement Date d'exercice Taux sans risque Volatilité du sous jacent Date de lancement Taux sans risque Volatilité de la valeur actualisée de l'entreprise Cette approche s appelle la théorie des options réelles. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 86 / 98

Applications Pour l évaluation on utilise la formule de Black-Scholes. où S 0 N(d 1 (0, S 0 )) Ke rt N(d 2 (0, S 0 )) d 1 (t, x) = log( x K ) + (r + σ 2 2 )(T t) σ T t et où N est la fonction de répartition d une N (0, 1). et d 2 (t, x) = log( x K ) + (r σ 2 2 )(T t) σ T t En prenant pour paramètres: S 0 = 14.46, K = 12, T = 2, r = 5% et σ = 40% on obtient que l option réelle vaut 4.6 millions d euros. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 87 / 98

Applications Au final, en utilisant l évaluation par option réelle, La valeur actualisée du coût de développement (au taux annuel sans risque r = 5% ) est 3, 86. La valeur de l option est 4, 6. Le projet peut être accepté. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 88 / 98

Applications Les avantages de la méthode Prise en compte de la flexibilité. Généralisation possible via les options américaines. Les inconvénients de la méthode L actif n étant pas coté sur un marché, difficulté pour caler les paramètres. La valeur espérée de la firme peut évoluer de manière discontinue (changement technologique brutal). Incertitude sur la durée d exclusivité du projet. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 89 / 98

Applications How freqently does your firm use the follow ing techniques w hen deciding w hich project or acquisition to pursue? Source: Graham Harvey JFE 2001 n =392 IR R NPV N Hurdle rate Payback Evaluation technique Sensitivity a nalysis P/E multiple Discounted payback Real R options o Book rate of return Simulation analysis Profita bility index APV 0.00% 10.0 0% 20.00% 30.0 0% 40.00% 50.0 0% 60.0 0% 70.0 0% 80.0 0% % always or almost always Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 90 / 98

Application 2 Proposer une lecture de l entreprise à la lecture de la théorie des options. Analyser les décisions financières (accroître l endettement, investir, renégocier la dette) de l entreprise à travers le rapport entre actionnaires et créanciers. On se place dans le cadre de la société anonyme où la responsabilité des actionnaires est limitée à leur apport initial. hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 91 / 98

Application 2 On considère une société par actions dont la valeur économique V se répartit classiquement entre la dette D (supposée remboursable à l échéance en une seule fois) et les fonds propres F p : V = F p + D. Suivant la valeur de V à l echéance deux cas peuvent se présenter V > D : la dette est remboursée et les actionnaires empochent le résidu V < D : Les actionnaires invoquent la clause de risque limité, perdent leurs apports et abandonnent l actif économique aux créanciers. Analogie avec les options d achat hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 92 / 98

Application 2 En effet, endetter une entreprise revient pour les actionnaires à céder l actif aux créanciers mais en gardant une option d achat de caractéristiques: Sous jacent: actif économique Strike: montant de la dette à rembourser Echéance: échéance de la dette La valeur de cette option est bien entendu égale à F p. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 93 / 98

Application 2 A leurs corps défendants les créanciers se retrouvent vendeur d une option de vente de caractéristiques: Sous jacent: actif économique Strike: montant de la dette à rembourser Echéance: échéance de la dette La vente de cette option de vente est la prime de risque qui existe entre le prêt risqué et le prêt au taux sans risque. Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 94 / 98

Application 2 Au final Valeur de l actif économique = Fonds propres + Dette Fonds propres = Valeur de l option d achat Dette = Valeur de la dette au taux sans risque - Valeur de l option de vente On retrouve la parité Call-Put... Christophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 95 / 98

Application 2 On peut par exemple utiliser cette analogie pour analyser une décision d accroître la dette On considère une entreprise HOLDING SA détenant 100 actions de la socièté FILE SA (cotées 2230 euros par titre) et dont le passif est constitué de 100 actions ordinaires 300 obligations (supposées remboursables à l échéance en une seule fois) dont la valeur individuelle de remboursement est de 1000 euros dans 3 ans. On suppose que les call sur FILE SA s échangent sur un marché organisé aux prix suivant: Strike (en euros) Valeur de l option d échéance 3 ans (en euros) 2600 130 2800 80 3000 45 3200 32 hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 96 / 98

Application 2 La valeur de l actif économique est V= nbre d actions FILE SA * cours= 223000 euros. Pour les Fonds propres on utilise l analogie Fonds propres = Valeur de l option d achat Chaque action HOLDING SA est assimilable à un call de sous jacent FILE SA de strike K=Dette à rembourser/ nbre d action=3000 euros. Ainsi, On en déduit le montant de la dette F p = 45 * 100=4500 euros. D=V- F p = 218500. Cela correspond à un taux actuariel de 11,1 % par obligations hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 97 / 98

Application 2 Supposons que les actionnaires décident d emmettre 20 obligations supplémentaires pour financer un dividende exceptionnel. On en déduit que les fonds propres deviennent à cause du nouvel endettement correspondant à une dette F p = 3200 euros. D=223000-3200=219800 euros. Les nouveaux créanciers vont donc s acquiter de 20 219800 320 = 13737 euros. les actionnaires disposent de 3200 euros en actions et 13737 de dividendes soit 16937 euros (à comparer avec les 4500 euros précédents...). Ceci se fait au détriment des anciens actionnaires (victimes de la redistribution) dont le taux actuariel passe à 13, 3% au lieu de 11, 1%! hristophe Chorro (christophe.chorro@gmail.com) (ESC REIMS) Théorie des options Le 16 Janvier 2008 98 / 98