1 L SPHÈRE ET L ULE 1.1 éfinitions ÉFINITIN 1 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 1 sur 14 h.g : Géométrie dans l espace La sphère de centre et de rayon r (r > 0) est l'ensemble des points M tels que M = r. La boule de centre et de rayon r (r > 0) est l'ensemble des points M tels que M r. Remarques : n peut dire que la sphère est l'enveloppe de la boule (comme la peau d'une orange) tandis que la boule est l'intérieur. [] est un diamètre de la sphère (segment qui joint deux points de la sphère passant par le centre de la sphère). Le cercle vert est un grand cercle de la sphère (cercle de centre et de rayon r). M r Exercice n 1 page 8 éfinitions Le dessin ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, représente une sphère de centre et de rayon 5 cm. Les cercles rouge et vert sont des grands cercles. a) Sur la figure, quels sont les points qui appartiennent à cette sphère? Justifie. b) En réalité, quelle est la longueur du segment []? Pourquoi? c) En réalité, quelle est la nature du triangle K? Pourquoi? d) alcule la longueur réelle du segment [K]. J K J K = 10 cm [] K K K [] (K) K K K K K = + K K = 5 + 5 K = 50 K = 50 cm 7,1 cm Exercice n page 8 Perspective a) Représente en perspective une sphère de 4 cm de diamètre. n appelle le centre de cette sphère. b) Place sur cette sphère un point M puis un point N diamétralement opposé à M. c) Place un point P à cm du point. d) Indique la nature du triangle MPN. Justifie.
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page sur 14 P cm M N P cm [MP] MPN P Exercice n page 8 Un cornet de glace est assimilé à un cône de révolution de diamètre de base 6 cm et de hauteur 10 cm, surmonté d'une demi-boule de même diamètre. a) onne la hauteur totale du cornet de glace. b) Représente ce cornet en perspective. 10 + = 1 cm Exercice n 4 page 8 Planète Terre n assimile la Terre à une sphère de rayon 6 78 km. L'équateur et les méridiens sont des grands cercles de cette sphère. a) alcule la longueur de l'équateur. b) Quelle est la distance entre le pôle Nord et le pôle Sud? c) L'aventurier Kévin Fog a réédité l'exploit de son arrière-grand-père : le tour du monde en quatre-vingts jours en survolant l'équateur à une hauteur de 1 000 m. Quelle a été sa vitesse moyenne en km.h 1? 6 78 km Source Wikipédia Longueur = π 6 78 km Longueur = 1 756 km Longueur 40 074 km π Rayon km 6 78 = 1 756 km 678 + 1 = 679 π 6 79 40 080 km
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page sur 14 1 90 80 vitesse = 40 080 1 90 0,9 km.h 1 1. Section d'une sphère par un plan ex. 1 et PRPRIÉTÉS 1 La section d'une sphère de centre par un plan est un cercle de centre '. Lorsque le plan ne passe pas par le centre de la sphère, la droite (' ) est perpendiculaire au plan de section. ' M Rayon de la section Rayon de la sphère ' ' ' ' Quand la distance ' correspond au rayon de la sphère, la section est alors réduite au point '. n dit que le plan est tangent à la sphère en '. Exemple 1 : Une sphère de rayon 4 cm est coupée par un plan à cm de son centre. onne la nature et les dimensions de la section. Solution : La section d'une sphère par un plan est un cercle. M est un point de la section. La droite (' ) est perpendiculaire au plan de section et en particulier, au rayon de la section [' M]. onc le triangle ' M est rectangle en '. 'après le théorème de Pythagore : M = ' M + '. 4 = ' M + ' M = 16 9 ' ' M = 7 d'où ' M = 7 cm. Le rayon de la section de cette sphère mesure 7 cm. M Remarques : Le rayon de la section est toujours plus petit ou égal au rayon de la sphère. ans le cas où le plan de section passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est égal au rayon de la sphère. La section est alors appelée grand cercle. Exercice du cours n 1 page 7 Une sphère de rayon 7 cm est coupée par un plan à 5 cm de son centre. a) Quelle est la nature de la section? b) Représente la section en vraie grandeur. = + 7 = + 5 = 49 5 = 4 = 4 4,9 cm
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 4 sur 14 4,9 cm Exercice du cours n page 7 Une sphère de rayon 1 cm est coupée par un plan à 1 cm du centre. a) Représente la sphère et la section en perspective. b) Quel est le rayon de la section? 1 = + 1 = 169 144 = 5 = 5 = 5 = + 5 cm Exercice n 1 page 9 Une boule de centre, de rayon 8 cm, est coupée par un plan qui passe par le point. M est un point de cette section. = cm a) Quelle est la nature de la section? b) alcule l'aire exacte de la surface de cette section en cm. M M M M = M M = 8 M = 55 M = 55 M = + M = π ( 55) = 55 π cm = π rayon Exercice n page 1 Quille n veut construire une quille formée d'un cylindre de révolution surmonté d'une calotte sphérique. n dispose d'un cylindre de 8 cm de diamètre et de hauteur 18 cm et d'une boule de 10 cm de diamètre. À quelle distance de son centre faut-il couper la boule pour pouvoir l'assembler exactement avec le cylindre? H 4 cm [] [H] H = H + H H 5 cm H = H
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 5 sur 14 H = 5 4 = 5 16 = 9 H H H = cm cm SETINS E SLIES.1 Sections d'un parallélépipède rectangle ex. à 5 PRPRIÉTÉS La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face. La section d'un pavé droit ou d'un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle, dont l'une des dimensions correspond à la longueur de cette arête. Exemples : n coupe le pavé droit EFGH par un plan parallèle à la face. onne la nature et les dimensions de la section. Solution : La section est un rectangle de mêmes dimensions que. Remarque : ans le cas particulier du cube, la section par un plan parallèle à une face est un carré de même dimension que cette face. J M K L N E Q H P F G n coupe le pavé M droit EFGH E P par un plan parallèle à l'arête N H [EH] de longueur 4 cm. onne la nature et les dimensions de la section MNP, sachant que EM = cm et EP = cm. Solution : La section est le rectangle MNP où MN = EH. La face EF du pavé droit est un rectangle donc le triangle MEP est rectangle en E. En appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on démontre que MP = 1. Les dimensions de MNP sont 4 cm et 1 cm. F G Exercice du cours n page 7 Un pavé droit EFGH a pour dimensions = 5 cm, = 6 cm et E = 8 cm. Il est coupé par un plan parallèle à l'arête [EH], le long de la diagonale [F]. a) Représente en vraie grandeur la face FE et la section FG. b) étermine les dimensions exactes de cette section. c) onne la valeur arrondie au dixième de l'aire de cette section. FE = 5 cm E = 8 cm FG = 6 cm F FE FG [EH] FG = 6 cm F FE FE E F = E + EF F = 8 + 5 = 64 + 5 = 89 F = 89 FG 6 cm 89 cm FG F G = 89 6 56,6 cm Exercice du cours n 4 page 7
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 6 sur 14 Reproduis la figure et complète le tracé du pavé droit, en noir et de la section parallèle aux faces horizontales, en vert. Exercice du cours n 5 page 7 Reproduis la figure et complète le tracé du cube, en noir et de la section parallèle aux faces verticales, en bleu. Exercice n 14 page 9 Quelle figure? a) Quelle est la nature de cette section? Justifie. b) Représente-la en grandeur réelle sachant que = 5 cm ; = cm ; F = cm et que N est le milieu du segment [H]. N H G E F cm FG = GN GHN H GH = = 5 cm HN = F = 1 cm GN = GH + HN GN = 5 + 1 GN = 6 GN = 6 cm GN 5,1 cm Exercice n 15 page 9 vec un pavé droit Un pavé droit EFGH est tel que = 6 cm ; = 4 cm et F = cm. M, N et P sont les milieux respectifs de [EF], [HG] et []. a) Quelle est la nature des quadrilatères ENP et MN? Justifie ta réponse. b) ompare les aires de ces deux quadrilatères. E H M N F G P ENP MN
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 7 sur 14 P [] P = = 6 = cm P = + P P = 4 + P = 5 P = 5 cm P ire ENP = E P = 5 = 15 cm M [EF] FM = EF = 6 = cm M = F + FM M = + M = 18 M = 18 cm FM ire MN = M = 4 18 17 cm cm F ire MN > ire ENP. Sections d'un cylindre de révolution ex. 6 PRPRIÉTÉS La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que la base. La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle. Exemples : n coupe un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe. onne la nature et les dimensions de la section. Solution : La section est un cercle de même rayon que la base. n coupe un cylindre de révolution de hauteur 10 cm dont le rayon de la base est cm, parallèlement à son axe, à cm de celui-ci. onne la nature et les dimensions de la section. Solution : Largeur de la section Rayon de la base Vue de dessus Exercice du cours n 6 page 7 La section d'un cylindre de révolution de hauteur 1 cm par un plan parallèle à son axe a pour largeur 8 cm. La distance entre l'axe et la section est cm. Quel est le rayon de la base de ce cylindre? 8 cm = 8 cm [) [] = 4 cm cm = cm = + = + 4
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 8 sur 14 = 9 + 16 = 5 = 5 = 5 5 cm Exercice n 16 page 9 vec un cylindre de révolution n réalise une section d'un cylindre de révolution de,5 cm de rayon de base et 6 cm de hauteur par un plan perpendiculaire à la base et passant par les centres des deux bases. a) Quelle est la nature de la section? b) Représente cette section en grandeur réelle. c) alcule l'aire de la section en cm. 6 cm,5 = 7 cm = Longueur largeur = 6 7 = 4 cm. Sections de pyramides et cônes ex. 7 PRPRIÉTÉ 4 La section d'une pyramide ou d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Exemples 4 : n coupe une pyramide S à base carrée de côté cm et de hauteur 5 cm, par un plan parallèle à sa base à 4 cm du sommet. onne la nature et les dimensions de la section ' ' ' '. Le coefficient de réduction est k = 4 5, donc ' ' = k = 4 =,4 cm. 5 La section est donc un carré de côté,4 cm. ' ' S ' ' n coupe un cône de révolution par un plan parallèle à sa base. onne la nature de la section. La section est une réduction de la base, c'est donc un cercle. Exercice du cours n 7 page 7 Un verre à cocktail de forme conique de contenance 1,8 cl est rempli aux trois quarts de sa hauteur par un mélange de jus de fruits. Quel volume de jus de fruits contient-il? 4 7 = 4 64 1,8 7 64 = 5,4 5,4 cl ' S '
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 9 sur 14 Exercice n 17 page 9 Extrait du revet Le cône de révolution ci-contre de sommet S a une hauteur [S] de 9 cm et un rayon de base [] de 5 cm. a) alculer le volume V 1 de ce cône au cm près par défaut. b) Soit M le point du segment [S] tel que SM = cm. n coupe le cône par un plan parallèle à la base passant par M. alculer le rayon de cette section. c) alculer le volume V du petit cône de sommet S ainsi obtenu au cm près par défaut. S M V 1 = 1 π rayon hauteur V 1 = 1 π 5 9 V 1 5 cm cm SM S = 9 = 1 Rayon Section = 1 Rayon cône Rayon Section = 5 cm V = 1 V1 9 cm Exercice n 18 page 0 vec une pyramide a) essine une représentation en perspective cavalière d'une pyramide régulière à base carrée de hauteur 9 cm et de côté de base 4,5 cm. b) alcule la valeur exacte de son volume. V = 1 4,5 9 V = 60,75 cm c) omplète la représentation en traçant la section de la pyramide par un plan parallèle à la base coupant la hauteur aux deux-tiers en partant du sommet.
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 10 sur 14 d) Quelle est la nature de la section? Justifie. e) alcule la valeur exacte du volume de la petite pyramide. V petite pyramide = V V petite pyramide = 18 cm IRES ET VLUMES.1 ire et volume de la boule ex. 8 et 9 FRMULES Pour calculer l'aire d'une sphère, on utilise la formule : = 4 π rayon. Pour calculer le volume d'une boule, on utilise la formule : = 4 π rayon. Exemple 5 : alcule l'aire d'une sphère et le volume d'une boule, toutes deux de rayon 5 cm. onne les valeurs exactes puis des valeurs approchées au dixième près. Solution : n calcule l'aire de la sphère : = 4 π rayon = 4 π 5 = 100 π cm valeur exacte 14, cm valeur approchée n calcule le volume de la boule : = 4 π rayon = 4 π 5 = 500 π cm valeur exacte 5,6 cm valeur approchée Exercice du cours n 8 page 7 alcule l'aire exacte d'une sphère de rayon 6, cm puis arrondis le résultat au cm.
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 11 sur 14 = 4 π R = 4 π 6, = 15,76 π cm 48 cm cm Exercice du cours n 9 page 7 alcule le volume exact d'une boule de rayon 9 cm puis l'arrondi au mm. V = 4 π R = 4 π 9 V = 97 π cm V 05,68 cm 054 68 mm mm Exercice n 5 page 8 Un peu de calculs ans chaque cas, donne la valeur exacte. a) Volume d'une boule de 0,4 dm de rayon. b) ire d'une sphère de 4 cm de diamètre. c) Volume d'un ballon rond de 40 mm de diamètre. V = 4 π rayon = 4 π 0,4 = 4 = 4 π rayon = 4 π 1 = 576 π cm 0,064 = 4 0,064 V = 4 π rayon = 4 π 10 = 04 000 π mm = 0,56 π dm Exercice n 6 page 8 Notre étoile Le Soleil est assimilé à une boule de 1 9 000 km de diamètre. a) alcule la surface du Soleil. onne la réponse en notation scientifique. b) alcule le volume du Soleil. onne la réponse en notation scientifique. c) Sachant que la Terre a un rayon de 6 78 km, calcule son volume, donne la réponse en notation scientifique. d) e combien de fois le Soleil est-il plus volumineux que la Terre? 1 9 000 = 696 000 km = 4 π 696 000 6,09 10 1 km V = 4 π 696 000 V 1,41 10 18 km V = 4 π 6 78 V 1,09 10 1 km Volume du Soleil Volume de la Terre 1,41 1018 = 1 1, 106 1,09 10 10 6 = 4 π rayon V = 4 rayon V = 4 rayon Exercice n 7 page 8 Mon beau sapin Un pâtissier décide de fabriquer des boules de Noël en chocolat (fourrées). Sachant que le diamètre d'une boule est,5 cm, de quelle quantité de chocolat (en litres) ce pâtissier a-t-il besoin pour préparer 500 boules? V = 4 π rayon
V = 4,5 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 1 sur 14 V 8,18 cm 8,18 500 = 4 090 cm 1 L = 1 dm = 1 000 cm 4,09 L Exercice n 8 page 8 omparaison Range dans l'ordre décroissant les volumes suivants : celui d'une boule de dm de diamètre ; celui d'un cylindre de révolution de dm de hauteur et de dm de diamètre de base ; celui d'un cône de révolution de dm de hauteur et dm de diamètre de base. V boule = 4 π rayon V boule = 4 π V boule = 4,5 π dm = ire de la base hauteur = π rayon hauteur = π = 7π dm = 1 ire de la base hauteur = 1 π rayon hauteur = 1 π = 9π dm Exercice n 9 page 8 Volume Un silo à grain est formé d'un cylindre de révolution de rayon 4,5 m et de hauteur 10 m surmonté d'un cône de révolution de,5 m de hauteur et de même rayon. alcule le volume de ce silo, arrondi au m. = ire de la base hauteur = π rayon hauteur = π 4,5 10 = 0,5 π m
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 1 sur 14 = 1 ire de la base hauteur = 1 π rayon hauteur = 1 π 4,5,5 = 16,875 π m V silo = + V silo = 0,5 π + 16,875 π V silo = 19,75 π V silo 689 m m Exercice n 1 page 9 Maquette 1 n désire réaliser une maquette à l'échelle de la pyramide de Khéops. 'est une pyramide régulière à base carrée 1 500 de 1 m de côté et de 147 m de hauteur. a) Quelles sont les dimensions de la maquette? (onne les arrondis au centimètre.) b) alcule le volume de cette maquette. 1 1 = 0,154 m 15,4 cm 1 500 1 147 1 500 = 0,098 m 9,8 cm 15,4 cm 9,8 cm V = 1 ire de la base hauteur V = 1 15,4 9,8 V 774,7 cm. Effets des agrandissements ou réductions ex. 10 PRPRIÉTÉ 6 Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k, les volumes sont multipliés par k. Exemple 6 : Un aquarium a pour dimensions : L 60 cm l 0 cm H 0 cm, la surface de ses vitres est 7 00 cm et son volume est 54 000 cm. Thomas a réalisé une maquette de cet aquarium au sixième. Quels en sont les dimensions, la surface des vitres et le volume? Solution : Le coefficient de réduction est k = 1 6. Les dimensions de la maquette sont : L 10 cm l 5 cm H 10 cm. La surface des vitres de la maquette est : 7 00 1 1 = 7 00 6 6 = 00 cm. Le volume de la maquette est : 54 000 1 1 = 54 000 6 16 = 50 cm.
e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 14 sur 14 Exercice n 19 page 0 grandissement? Le rectangle NES est-il un agrandissement du rectangle FIGH? Justifie. S IG = 1 14 = SE GH = 1 9 = 4 FIGH SS EE I I NN FF Exercice n 0 page 0 Réduire a) n divise par trois le rayon d'une boule. Par quel coefficient sera divisé son volume? b) n multiplie par 0,75 les dimensions d'un cube. Par combien sera multipliée sa surface latérale? = 7 0,75 = 0,56 5 GG HH NES IG = 14 cm GH = 9 cm S = 1 cm SE = 1 cm Exercice n page 0 Quel coefficient? a) Sur une carte, la distance entre Paris et ordeaux est, cm et dans la réalité, 58,5 km. Quelle est l'échelle de cette carte? b) La surface de la France est 675 417 km. Quelle est la superficie de la France sur cette carte? onne la valeur approchée au cm près par défaut. 58,5 km = 58 50 000 cm, 58 50 000 = 1 500 000 675 417 km = 6,75417 10 15 cm S carte = 1 S 500 000 réelle S carte = 1 6,75417 10 15 500 000 S carte 1 080 cm cm Exercice n page 0 Un peu d'aire a) L'aire d'une sphère est 154 cm. n multiplie son rayon par,5. alcule la nouvelle aire de la sphère. b) La surface d'un champ est de 1 hectares. n divise ses dimensions par,5. Quelle sera sa nouvelle surface en m? 154,5 = 96,5 cm 1 = 1,9 ha,5