Répétition 1, octobre 2010 Exercice 1. Soit X un ensemble. Déterminer si les systèmes suivants sont des algèbres ou des σ-algèbres : 1. si X est infini, A := {A X : A est fini} ; 2. si X est infini, B := {A X : A est fini ou A c est fini} ; 3. si X n est pas dénombrable, C := {A X : A est dénombrable } ; 4. D := {A X : A est dénombrable ou A c est dénombrable } ; 5. si X = R d, E := {A B d : A est dénombrable ou A c est dénombrable }, 6. si X = R, F := {A R : A est un intervalle ou A c est un intervalle} A-t-on D = P(X)? Pourquoi? Exercice 2. Soit X un ensemble et A 1,...,A n une partition finie de X. Décrire la σ-algèbre engendrée par ce système. Exercice 3. Soit X un ensemble infini. Décrire la σ-algèbre engendrée par la classe des parties finies de X (resp. par les singletons de X). Qu en est-il si X est fini? Exercice 4 (Sous-σ-algèbre). Soit (X, A) un espace mesurable et A un sous-ensemble non vide de X. Démontrer que A A = {A B : B A} est une σ-algèbre sur A. Exercice 5. a) Montrer, à l aide d un exemple, que la réunion de deux σ-algèbres n est en général pas une σ-algèbre. b) Soient A et B deux σ-algèbres sur X. Démontrer que l on a σ(a B) = σ({a B : A A,B B}) = σ({a B : A A,B B}). Exercice 6. Donner un exemple de suite décroissante d ensembles (A n ) n N telle que pour tout n, A n est infini et n N A n =. Exercice 7. Soit X un ensemble. Démontrer qu un système D P(X) est une classe de Dynkin si et seulement si X D, si A, B D et A B, alors B\A D, si (A n ) n est une suite croissante d ensembles de D, alors n A n D.
Répétition 2, octobre 2010 Exercice 1. Soit X un ensemble fini non vide. Démontrer que la loi P : P(X) [0,+ [ A #A/#X est une probabilité sur (X,P(X)) (appelée probabilité de Laplace). Exercice 2. Soit(X,A) un espace mesurable et x 0 X. 1. Démontrer que la loi δ x0 : A {0,1} A χ A (x 0 ) est une mesure sur (X,A) (appelée mesure de Dirac). 2. Démontrer que si µ est une mesure sur (X,A) telle que µ(a) = 0 pour tout A A vérifiant x 0 / A, alors µ est un multiple (dans R) de δ x0. Exercice 3. On considère sur R la σ-algèbre A = {A P(R) : A est dénombrable ou A c est dénombrable}. Soit µ : A [0,+ ] définie par 0 si A est dénombrable, µ(a) = 1 sinon. Montrer que µ est une probabilité sur (R,A). Exercice 4. Nous considérons l ensemble R 2 et le système A = {A P(R 2 ) : A ou A c est inclus dans une union dénombrable de droites}. 1. Montrer que (R 2,A) est un espace mesurable. 2. Soit µ : A [0,+ ] définie par 0 si A est inclus dans une union dénombrable de droites, µ(a) = 1 sinon. L application µ est-elle une probabilité sur (R 2,A)? Exercice 5. 1. Soit (X,A) un espace mesurable et (µ n ) n N0 une suite croissante de mesures : pour tout A A et pour tout n N 0, on a µ n (A) µ n+1 (A). Démontrer que µ(a) := lim n + µ n (A) définit une mesure sur (X,A). 2. Soit (µ n ) n N0 une suite arbitraire de mesures sur (X,A). Déterminer si l application µ(a) = P + n=1 µ n (A) définit une mesure sur (X,A). 3. Sur l espace mesurable (N,P(N)), on définit pour tout n N, ν n (A) = #(A [n,+ ]). Montrer que (ν n ) N est une suite de mesures décroissante sur (N,P(N)). 4. Soit ν : P(N) [0,+ ] définie par ν(a) = inf n N ν n (A). S agit-il d une mesure sur (N,P(N))? Déterminer ν(n) ainsi que ν({k}) pour tout k N. On demande de caractériser complètement ν. Exercice 6. Est-il correct d affirmer qu il existe des ouverts denses dans R de mesure de Lebesgue non nulle aussi petite ou aussi grande que l on veut? Pourquoi?
Répétition 3, octobre 2010 Nous pouvons définir la notion de mesurabilité pour des applications dont le domaine et l image sont des ensembles quelconques de la manière suivante. Soient (X,A) et (Y,B) deux espaces mesurables et A A. Une application f : A Y est une application mesurable par rapport à A et B si f 1 (B) A pour tout B B. Exercice 1. Soient (X,A), (Y,B) et (Z,C) des espaces mesurables. Soient f : (Y,B) (Z,C) et g : (X,A) (Y,B) des applications mesurables (au sens de la définition donnée ci-dessus). Démontrer que la composition f g : (X, A) (Z, C) est encore mesurable. Exercice 2. Soient (X, A) et (Y, B) deux espaces mesurables et C une collection de sous-ensembles de Y telle que σ(c) = B. Montrer qu une application f : X Y est mesurable par rapport à A et B si et seulement si f 1 (B) A pour tout B C (il suffit donc de vérifier la mesurabilité sur un générateur pour démontrer qu une application est mesurable). Exercice 3. En conclure que la continuité entraîne la mesurabilité, c est-à-dire si(x, B(X)) et (Y,B(Y)) sont deux espaces mesurables et f : X Y une application continue, alors f est mesurable par rapport à B(X) et B(Y). Exercice 4. Soient (X,A) et (Y,B) des espaces mesurables et (f k ) k une suite d applications mesurables de (X,A) dans (Y,B). Si (A k ) k est une suite d ensembles disjoints de A tels que k A k = X, démontrer que l application définie au cas par cas par est encore mesurable. f : X Y x f k (x) si x A k Exercice 5. Soient (Y,d) un espace métrique et (X,A) un espace mesurable. Si (f k ) k est une suite d applications de X dans Y mesurables par rapport à A et B(Y) qui converge ponctuellement vers une fonction f, démontrer que la limite f est encore mesurable. Exercice 6. On définit uneσ-algèbre particulière sur la droite étenduerparb = {B C : B B,C {,+ }}. Démontrer que l on a B = σ({[,x] : x R}). Soient (X,A) un espace mesurable, A A et f une application de A dans R. Montrer que l application f est A-mesurable (au sens vu au cours théorique) si et seulement si elle est mesurable par rapport à A et B (au sens défini ci-dessus). Exercice 7. Soient (X,A) un espace mesurable et f une application de X dans R d. Si (f k ) d k=1 désignent les composantes de f, c est-à-dire f = (f 1,...,f d ), démontrer que f est mesurable par rapport à A et B d si et seulement si les applications f k sont A-mesurables. Exercice 8. Soit ξ P(X) un système quelconque. Démontrer que l on a σ(ξ) = σ(f). F ξ dénombrable
st r s s t é t q s é ét t r 1 r é tr r q t t s é R d st tér r é r q t t s é t r é st s 1 r r 1 t s r s r s f g : R R q s t é s s r s s s s R s q èr t L r sq rt t s r R 1 r t (x n ) n N0 s t r s ré s é t s r µ s r (R, B) r µ = P + n=1 δ xn tr r q 1 t s f g : R R s t é s µ r sq rt t s t s t s f(x n ) = g(x n ) r t t n N 0 1 r é tr r q t f : R R é r 1 s x Q f(x) = 0 s x / Q st t rt t q t g : [0, 1] [0, 1] é r g(x) = 1 q st t L r sq rt t s x = p ù p t q s t r rs tr 1 t q > 0 q 0 s x = 0 ù x / Q 1 r t (X, A, µ) t (Y, B, ν) 1 s s s rés t E X s µ é P r t t x E s t A x Y s ν é P t r r q x E A x st r é st r t E t F 1 s s s s é s R d r r rt à s r s st q s E + F = {x + y : x E,y F } st r é st r 1 r t (X, A, µ) s s ré t f g 1 é é ts L 1 (X, A, µ, R) é tr r q s t s f g t f g rt t r à L 1 (X, A, µ, R) 1 r t (X, A, µ) s s ré t (A m ) m N0 s t é é ts A 1 à 1 s ts s èr s t ér q (c m ) m N0 é tr r q f c := P + m=1 c m χ Am st é rt t s r X f P + c st té r s t s t s s t ér q m=1 c m µ(a m ) r q s f c dµ = + m=1 c m µ(a m ) t f c dµ = + m=1 c m µ(a m ).
Répétition 5, novembre 2010 Exercice 1. Soit la fonction f définie sur ]0,1] ]0,1] par f(x,y) = x2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 Démontrer sur cet exemple que l on ne peut impunément intervertir les intégrales. Exercice 2. Soit (X, T ) un espace topologique. Considérons une mesure µ sur l espace mesurable (X,B(X)). On définit le support (ou spectre) de µ par supp(µ) = {x X : V V x T,µ(V) > 0} où V x désigne le système des voisinages de X. Démontrer que 1. tout ouvert non vide est de mesureµstrictement positive si et seulement si supp(µ) = X, 2. le support de µ est un fermé de X, 3. si X est un espace métrique séparable et si A B(X) vérifie A X\supp(µ), alors µ(a) = 0, 4. si X est un espace métrique séparable, pour toute fonction f : X R µ-intégrable, on a fdµ = fdµ, X supp(µ) 5. si X est un espace métrique séparable, démontrer qu une définition équivalente du support de µ est donnée comme étant le plus grand fermé C de X vérifiant Ω T et Ω C 0 µ(ω C) > 0, 6. déterminer le support de la mesure de Lebesgue et de Dirac sur R, 7. déterminer si la réciproque du point 3. est correcte ou non (avec justifications), 8. caractériser l ensemble des fonctions définies sur R qui sont δ x -intégrables (x R) ainsi que les valeurs des intégrales. Exercice 3. Soit (X,A) un espace mesurable tel que {x} A pour tout x X. Une mesureµsur(x,a) est dite diffuse siµ({x}) = 0 x X. Elle est dite purement atomique si S A : µ(s c ) = 0 et µ({x}) > 0 x S. 1. Montrer qu une mesure purement atomique et diffuse est nulle. 2. En considérant l espace mesurable (R, B), donner un exemple de mesure purement atomique et un exemple de mesure diffuse (non identiquement nulle).