Préparation au brevet blanc n 1 Exercice 1 : Chapitre division euclidienne et PGCD 1. Calculer le PGCD de 1 755 et 1 053. Justifier votre réponse. 1 2. Ecrire la fraction sous la forme irréductible. 3. Un collectionneur de coquillages (un conchyliologue) possède 1755 cônes et 1053 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c est-à-dire comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines. a. Quel est le nombre maximum de lots qu il pourra réaliser? b. Combien y aura-t-il, dans ce cas, de cônes et de porcelaines par lot? 1. Pour calculer le PGCD on peut utiliser l algorithme d Euclide : Dividende Diviseur Reste 1755 1053 702 1053 702 351 702 351 0 On en déduit que : PGCD1 755 ;1 053 = 351. 2. Pour simplifier la fraction au maximum, on utilise le PGCD : 1 053 1 053 PGCD(1 755 ;1 053) 1 053 351 = = 1 755 1 755 PGCD(1 755 ;1 053) 1 755 351 = 3 5 3. Application : a. Le collectionneur veut faire des lots comportant le même nombre de coquillages et la même répartition de cônes et de porcelaines donc le nombre de lots sera un diviseur commun au nombre de cônes et au nombre de porcelaines. De plus, le collectionneur veut faire un maximum de lots donc il faut chercher le plus grand diviseur commun c est-à-dire le PGCD( 1 755 ; 1 053) que l on a calculé ci-dessus. Il est donc possible de faire 351 lots au maximum. b. Dans ce cas, dans chaque lot il y aura : 1 053 351 = 3 porcelaines et 1 755 351 = 5 cônes
2 Exercice 2 : Statistique A partir du 2 janvier 2012, une compagnie aérienne teste un nouveau vol entre Nantes et Toulouse. Ce vol s effectue chaque jour à bord d un avion qui peut transporter au maximum 190 passagers. 1. L avion décolle chaque matin à 9h35 de Nantes et atterrit à 10h30 à Toulouse. Calculer la durée du vol. 2. Le tableau suivant donne le nombre de passagers qui ont emprunté ce vol pendant la première semaine de mise en service. L information concernant le mercredi a été perdue. Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Total Nombre de passagers 152 143 164 189 157 163 1113 a. Combien de passagers ont emprunté ce vol le mercredi? b. En moyenne, combien y avait-il de passagers par jour dans l avion cette semaine-là? 3. A partir du mois de Février, on décide d étudier la fréquentation de ce vol pendant douze semaines. La compagnie utilise une feuille de calcul indiquant le nombre de passagers par jour. a. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule I2 pour obtenir le nombre total de passagers par jour au cours de la semaine 1? Réécrire sur sa copie la ou les bonnes réponses parmi celles proposées ci-dessous. = B2+C2+E2+F2+G2+H2 B2*C2*D2*E2*F2*G2*H2 SOMME (2B:2H) = SOMME (B2:H2) = 157+145+142+156+161 = B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2 = SOMME (A2:H2) =MOYENNE (B2:H2) b. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule J2 pour obtenir le nombre moyen de passagers par jour au cours de la semaine 1? 4. Le nombre moyen de passagers par jour au cours de ces douze semaines est égal à 166. La compagnie s était fixée comme objectif d avoir un nombre moyen de passagers supérieur au 80% de la capacité maximale de l avion. L objectif est-il atteint?
3 1. De 9h35 à 10h00, il y a 25 minutes. De 10h00 à 10h30, il y a 30 minutes. Donc le vol a duré 55 minutes. 2. Première semaine de mise en service : a. 1113 152+143+164+189+157+163=1113 968=145 Il y a eu 145 passagers le mercredi. b. )* = +,-./0 1,123 40 5266270/6 +,-./0 40 8,9/6 = =159 En moyenne, il y a eu 159 passagers par jour. 3. Formules tableur : a. Il y a deux possibilités : =SOMME(B2 :H2) ou =B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2 b. Il y a plusieurs possibilités. En voici deux : =MOYENNE(B2 :H2) ou =SOMME(B2 :H2)/7 4. Il faut calculer 80% de 190 : : 190=152 166 > 152 donc l objectif est atteint. Exercice 3 : fonctions (1 ère partie) Pour cet exercice, on utilise uniquement la courbe donnée ci-après qui représente un fonction <. En laissant apparaître les tracés utiles sur le graphique ci-après. 1. Donner une valeur approchée de <2. 2. Donner le ou les antécédents de 6 par la fonction <. 3. Placer sur la courbe de la fonction < un point S qui semble avoir la plus petite ordonnée. 4. Par lecture graphique, donner les valeurs approchées des coordonnées du point S obtenu.
4 S 1. <(2) 6,5 2. 6 a deux antécédents par < qui semblent être 3 et 10. 3. Voir la courbe. 4. Les coordonnées de S semblent être : S(6,5 ; 5,1). Exercice 4 : fonctions (1 ère partie) En phase d atterrissage, à partir du moment où les roues touchent le sol, un avion utilise ses freins jusqu à l arrêt complet. Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue par l avion sur la piste (en mètres) en fonction du temps (en secondes) à partir du moment où les roues touchent le sol.
Question de l exercice 4 : En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Vous laisserez les traces graphiques, elles seront prises en compte dans la notation. 5 1. Quelle distance l avion aura-t-il parcouru 10 secondes après avoir touché le sol? 2. Expliquer pourquoi au bout de 22 secondes, et au bout de 26 secondes, la distance parcourue depuis le début de l atterrissage est la même. 3. A partir du moment où les roues touchent le sol, combien de temps met l avion pour s arrêter. 1. 10 secondes après l atterrissage, l avion aura parcouru 450 mètres. (On peut dire que 450 est l image de 10 par la fonction qui au temps en secondes associe la distance parcourue en mètres.) 2. La distance parcourue est la même au bout de 22 secondes qu au bout de 26 secondes car l avion est à l arrêt. 3. L avion met environ 20 secondes pour s arrêter.
6 Exercice 5 : Théorème de Pythagore/Théorème de Thalès Des élèves participent à une course à pied. Avant l épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure cidessous. On convient que : Les droites (AE) et (BC) se coupent en C. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles. ABC est un triangle rectangle en A. Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE. On commence par calculer la longueur BC : ABC est un triangle rectangle en A, donc d après l égalité de Pythagore :?@ A =?B A + B@ A?@ A =300 A +400 A?@ A =90 000+160 000?@ A =250 000?@= 250 000=500 La longueur BC est donc de 500m. On calcule ensuite les longueurs CD et DE : On sait que : B, C et D sont alignés A, C et E sont alignés (AB) // (DE) Donc d après le théorème de Thalès : DE = DG = GE I c est-à-dire : = = EF HF EH HF EH On en déduit que : DE=1000 300 400=750m CD=1000 500 400=1 250m On en déduit que le parcours mesure : 300+500+1 250+750=L MNNO
7 Exercice 6 : Cosinus Quand un avion n est plus très loin de l aéroport de Toulouse, le radar de la tour de contrôle émet un signal bref en direction de l avion. Le signal atteint l avion et revient au radar 0,000 3 seconde après son émission. 1. Sachant que le signal est émis à la vitesse de 300 000 kilomètres par seconde, vérifier qu à cet instant, l avion se trouve à 45 kilomètres du radar de la tour de contrôle. 2. La direction radar-avion fait un angle de 5 avec l horizontale. Calculer alors l altitude de l avion à cet instant. On arrondira à la centaine de mètres près. On négligera la hauteur de la tour de contrôle. 1. Distance entre le radar et l avion : Distance (en km) 300000 d Temps (en secondes) 1 0,0003 d = 0,000 3 300 000 1 = 90km Le signal parcourt 90km en 0,0003s. Durant ce temps, le signal parcourt un aller-retour entre le radar et l avion. La distance séparant l avion et le radar est donc : 90 2 = RSTO. 2. Calcul de la longueur AI : On commence par calculer la mesure de l angle RAI X : RAI X = 180 90 5 = 85 On calcule la longueur AI : AIR est un triangle rectangle en I donc on peut utiliser le cosinus : cosrai X = côté adjacent hypoténuse = AI AR C est-à-dire : cos(85) = AI 45 Donc : AI = 45 cos(85) 3,922km 3,9km (9 est le chiffre des dam, c est-à-dire des centaines de m) km hm dam m 3, 9 2 2 L avion se trouve donc à une altitude de 3,9km environ.
8 Exercice 7 : Périmètre, aire et volume Sur un parking, une commune veut regrouper 6 conteneurs à déchets du même modèle A ou B. Les deux modèles sont fabriqués dans le même matériau qui a partout la même épaisseur. Le conteneur A est un pavé droit à base carrée de côté 1m et de hauteur 2m. Le conteneur B est constitué de deux demi-sphères de rayon 0,58m et d un cylindre de même rayon et de hauteur 1,15m. 1. Vérifier que les deux conteneurs ont pratiquement le même volume. 2. Quels peuvent être les avantages du conteneur A? 3. On souhaite savoir quel est le conteneur le plus économique à fabriquer. a. Calculer l aire totale des 6 faces du conteneur A. b. Vérifier que, pour le conteneur B, l aire totale, arrondie à 0,1m² près, est 8,4m². c. Quel est le conteneur le plus économique à fabriquer? Justifier la réponse. 1. V cdefgeghi j = L l h = 1 1 2 = 2m V cdefgeghi l = V cmnoepig + V qdhng = π 0,58² 1,15+ I π 0,58 1,22 +0,82 = 2,04m Les deux conteneurs ont bien pratiquement le même volume. 2. Le conteneur A est plus facile à poser au sol car ses faces sont planes. Il est aussi sans doute plus facile à construire de par ses faces planes. 3. Comparaison : a. Le conteneur A est composé de deux faces carrées de côté 1m et 4 faces rectangulaires de largeur 1m et de longueur 2m. A fdftng = 2 A ctiié +4 A igcfteung =2 1 1+4 1 2=2+8=vNO² b. Le conteneur B est composé d une surface cylindrique de rayon 0,58m et de hauteur 1,15m et de deux surfaces semi-circulaires de rayon 0,58m. A fdftng = A cmnoepig + 2 A pgwoxyz{èig = 2 π 0,58 1,15+2 4 π 0,58A 2 4,19+4,23 8,42 M,RO² c. Le conteneur le plus économique du point de vue de la surface extérieure est le conteneur B car il est composé de moins de métal que le conteneur A pour une même capacité.