Circuits linéaires du second ordre

Circuits linéaires du second ordre Régimes périodique, pseudo périodique, critique et apériodique Introduction... I Oscillations électriques libres amorties dans un circuit RLC série...3 1 Montage et conditions initiales...3 Équation différentielle canonique vérifiée par u c (t)...3 3 Équation caractéristique et régimes observés...3 4 Le facteur de qualité Q...3 5 Pseudo période T...3 6 Aspects énergétiques...3 II Oscillations mécaniques libres amorties...4 1 Équation différentielle canonique vérifiée par l allongement x(t)...4 Rappel à propos de l oscillateur harmonique non amorti...4 3 Analogie entre les oscillations électriques et mécaniques...4 4 Les différents régimes vus sur un portrait de phase...5 III Exercices...6 1 Régime transitoire dans un circuit RLC...6 Étincelle de rupture...6 3 Portrait de phase d un pendule amorti...7 ANNEXES...8 1 Solution d une équation différentielle du second ordre...8 Les différents régimes...9 3 Résumé du cours... 10 4 Solution de l exercice sur le portrait de phase : cas sans amortissement... 11 5 Solution de l exercice sur le portrait de phase : cas avec amortissement... 1 1 / 1

Introduction Nous allons prouver dans ce chapitre ce que nous avons affirmé dans l introduction du premier chapitre de cette année : une des grandes forces de la physique est de modéliser des phénomènes physiques très divers et de pouvoir faire apparaître des similitudes entre les phénomènes modélisés à priori pourtant d origine très différentes ; et de permettre ainsi des analogies. Ainsi nous verrons dans ce chapitre que l analogue de la réisistance en électricité est le coefficient de frottement fluide en mécanique ; que l analogue de l énergie emmagasinée dans un condensateur sous forme de charge électrique est, en mécanique, l énergie potentielle emmagasinée dans un ressort lorsqu il est comprimé ou étiré ; etc (voir III). Et une des grandes forces des mathématiques est de pouvoir ramener ces différents phénomènes modélisés (oscillateur électrique, oscillateur mécanique ) à une même équation différentielle dite canonique de la forme : y (t) + λ y (t) + ω 0 y(t) = e ; où y(t) représente la variable oscillante (la tension u c(t), la charge q(t) ou l intensité i(t) en électricité ; l allongement x(t) dans le cas d un ressort ; l angle par rapport à la verticale dans le cas d un pendule ). Et les méthématiques permettent évidemment de résoudre ces équations et de tracer les évolutions u c (t), q(t), i(t), x(t), etc. On observe alors, comme vous l avez vu en cours de mathématique (et comme vous allez le revoir en annexe), que plusieurs types de solutions (plusieurs régimes) sont possibles en fonction des valeurs des paramètres de l équation différentielle donc des paramètres de l expérience : masse m, raideur k et coefficient de frottement α en mécanique ; inductance L, capacité C et résistance R en électricité. Mais on s aperçoit en fait qu un seul paramètre permet de définir le type de régime observé en fonction de sa valeur : il s agit du facteur de qualité Q. Nous donnerons dans ce cours une définition du facteur de qualité qui s appliquera aussi bien aux oscillations électriques que mécaniques. Nous étudierons aussi l évolution des systèmes en analysant leur portrait de phase. Nous allons ainsi répondre à la question suivante : quelle courbe du portrait de phase correspond à quel régime? Remarques : vous tracerez ces courbes en informatique avec le logiciel Python. / 1

I Oscillations électriques libres amorties dans un circuit RLC série 1 Montage et conditions initiales Nous allons voir que l équation différentielle est du second ordre ; il faut donc deux conditions initiales. A t < 0 l interrupteur est en position 1 et le condensateur est chargé donc i(t < 0) = 0 et u c (t < 0) = E La tension aux bornes d un condensateur étant une fonction continue : u c (t = 0 - ) = u c (t = 0 + ) = E Et l intensité traversant une bobine étant une fonction continue du temps : i(t = 0 - ) = i(t = 0 + ) = 0 du donc c ( t 0 )... dt Équation différentielle canonique vérifiée par u c (t) 3 Équation caractéristique et régimes observés Voir annexes 1 e. 4 Le facteur de qualité Q 5 Pseudo période T 6 Aspects énergétiques E t Sachant que le condensateur était chargé à t = 0, identifier les courbes qui représentent l énergie E C emmagasinée dans le condensateur, l énergie E L emmagasinée dans la bobine et l énergie électrique totale E T. Interpréter la diminution de l énergie totale. Interpréter le fait que E L est nulle quand E C est maximum (et réciproquement). Interpréter les oscillations des courbes E C (t) et E L (t). 3 / 1

II Oscillations mécaniques libres amorties 1 Équation différentielle canonique vérifiée par l allongement x(t) Rappel : la force de rappel d un ressort est égale à F k ( allongement ) ux k( Longueur Longueur à vide) ux k( L L0 = si l origine O est placée à l extrémité du ressort = si l origine O est placée à la position à vide = si l origine O est placée à la position d équilibre ) u x Rappel à propos de l oscillateur harmonique non amorti 3 Analogie entre les oscillations électriques et mécaniques Oscillateurs pendule élastique (mécanique) Circuit RLC série (électrique) Variable (grandeur perturbée) Abscisse linéaire x Charge électrique q Dérivée première de la variable Vitesse linéaire v = x = dx/dt intensité électrique i = q = dq/dt Inertie du système Masse m Inductance L Grandeur s opposant à la perturbation Ressort : constante de raideur k Condensateur : inverse de la capacité 1 / C Grandeur «dissipative» Coefficient de frottement λ Résistance électrique R k Équation différentielle x. x. x 0 m m Équation horaire sans amortissement Période propre T 0 0 R 1 q. q. q 0 L LC x = x m.cos ( 0 t + φ) q = q m.cos ( 0 t + φ) m LC k Énergie potentielle Ep e = ½ k.x Ee = ½ q / C Énergie «inertielle» Ec = ½ m.v Em = ½ L.i Puissance dissipée x Ri Facteur de qualité m 0 Q 0 avec m L 0 0 R Q avec R L 4 / 1

4 Les différents régimes vus sur un portrait de phase Les courbes proposées en annexe représentent aussi bien l évolution de la tension u c (t) dans le cas de oscillations dans un circuit RLC série que de l allongement x(t) dans le cas des oscillations mécaniques. De la même manière les évolutions dans le portrait de phase sont similaires en mécanique et en électricité ; et elles varient aussi selon la valeur du facteur de qualité Q. Il vaut 0,1 ; 0, ; 0,5 ; 1 ; 5 et 50 pour les graphes ci-dessous. Mais quelle valeur de Q correspond à quel graphe? Justifier. 5 / 1

Facteur de qualité Justification Graphique 5 Graphique 3 Graphique Graphique 6 Graphique 1 Graphique 4 III Exercices 1 Régime transitoire dans un circuit RLC L'interrupteur K est fermé à l instant t = 0, C étant déchargé et la bobine n étant pas parcourue par un courant. La valeur de R est choisie pour avoir : R > Rc = 1 L C 1. Établir l équation différentielle vérifiée par u(t), tension aux bornes du condensateur. du E. Déterminer les conditions initiales sur u(t) et sur sa dérivée (il faut prouver que (t 0 ) ). dt RC 3. Après avoir mis l équation différentielle sous sa forme canonique (et déterminé les expressions des paramètres λ et ω 0 ), montrer que le discriminant de l équation caractéristique est < 0 puis résoudre l équation différentielle sans déterminer les constantes d intégration (je fournirai le corrigé des expressions des constantes d intégration). Étincelle de rupture On place une bobine d inductance L dans un circuit comprenant un générateur de force électromotrice constante E et un interrupteur K. La résistance totale du circuit est notée R. On prendra R = 40 ; E = 40 V et L = 4,0 mh. Le régime permanent étant établi, on ouvre brusquement l interrupteur K. L'espace d'air entre les deux cosses de l'interrupteur va se comporter comme l'isolant situé entre les électrodes d'un condensateur, jusqu'au claquage de cet isolant, à une tension de l'ordre de U e = 1000 V, où il devient alors conducteur. On assimile donc la coupure ainsi réalisée a un condensateur de capacité C = 10 pf = 10.10-1 F, avant le claquage. 1.1. Faire un schéma équivalent du circuit électrique après l ouverture de l interrupteur (t > 0). 6 / 1

1.. Établir l équation différentielle satisfaite par la tension u(t) aux bornes du condensateur : u( t) 0 u( t) 0 u( t 0 E Q ) 1 avec 0 et Q à définir en fonction de ω 0, L et R. LC 0 1.3. Prouver que u(t) peut s écrire sous la forme u(t) exp( t).[acos( t) Bsin( t)] E Q 1 avec 0 1 (on ne cherchera pas à déterminer A et B dans cette question). 4Q. Approximation dans le cas d un facteur de qualité Q >> 1.1. Calculer numériquement ω 0, Q, la valeur = Q/ω 0 et la pseudo-période T des oscillations... Que peut-on dire de la valeur du facteur exp( 0 t) sur une durée de quelques périodes? Q.3. Justifier aussi que ω ω 0. En déduire une expression simplifiée de u(t). Ces conditions seront supposées vérifiées dans toute la suite de l exercice. 3. Solution de l équation différentielle 3.1. Donner un schéma équivalent au circuit à t = 0 -. 3.. Rappeler les grandeurs électriques qui sont continues. 3.3. En déduire que A = - E et B QE. 4. Durée au bout de laquelle l étincelle apparait L étincelle de rupture se produit lorsque la tension u(t) atteint la valeur U e = 1000 V. On peut prouver que cela se produit à la date t e telle que : u(t e ) = U e QEω 0 t e. Calculer t e. Commenter. 3 Portrait de phase d un pendule amorti On envisage la situation classique d'une bille de masse m, suspendue par une barre de longueur L fixée en un point O, inextensible et de masse négligeable. La position M de la bille est repérée par l'angle indiqué sur la figure ci-contre. (t) est la seule variable de position. On représente ci-dessous (schéma de gauche) la trajectoire de phase obtenue pour un pendule pesant subissant un frottement linéaire. La position angulaire θ(t) est indiquée en abscisse (en radians), la vitesse angulaire ω(t) = dθ/dt est la grandeur placée en ordonnée (en radians par seconde). 1. Donner les conditions initiales du mouvement.. Décrire qualitativement l ensemble du mouvement. Quel est l état final du système? 3. Quelle est (quelles sont) les positions d équilibre du pendule? Quelles sont les valeurs de la vitesse angulaire du pendule lors des 4 premiers passages du pendule par cette (l une de ces) position(s)? Commenter. Différentes trajectoires dans le cas non amorti 7 / 1

ANNEXES 1 Solution d une équation différentielle du second ordre La solution d une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre du type : y (t) + λ y (t) + ω 0 y(t) = e ou y (t) + (ω 0 /Q) y (t) + ω 0 y(t) = e est la somme d une solution particulière constante : y SP = et de la solution générale sans second membre y G (t) qui dépend du signe du discriminant Δ de l équation caractéristique r + λr + ω 0 = 0 ou r + (ω 0 /Q) r + ω 0 = 0 =.. ou du signe du discriminant réduit ' =. 4 Les solutions de l équation caractéristique seront notées r + et r - (ou r ± ) - si, on pose : ' 4 r ± = et y G (t) = Ae Be ( ) t ( ) t somme de deux exponentielles décroissantes car.. - si alors r ± = et y G (t) = Ae Be ( j) t ( j) t t = e (...) = = - si (cas λ =.) alors y G (t) = ( A Bt)... Après avoir déterminé y SP et y G (t), on peut donc en déduire la solution générale : y(t) =.. Ensuite, et seulement ensuite, on utilise les conditions initiales y(0) et y (0) afin de déterminer les valeurs des constantes A et B ; ou A et B ; ou Y m et φ. Remarques : - Le régime transitoire correspond à la solution y G (t) qui tend vers 0 pour des temps suffisamment long (λt >> 5 c'est-à-dire t >> 5 / λ = 5τ). - Pour des durées supérieures à 5τ, le régime permanent qui correspond à y = y SP est atteint. - les courbes proposées à la page suivante correspondent au cas e = 0 ; y SP est donc nul et l asymptote est l axe des abscisses (d équation y = 0). - Dans le cas où e = E = cste, alors y SP 0 et les courbes obtenues présentent une asymptote y = y SP 0. 8 / 1

Les différents régimes 9 / 1

3 Résumé du cours Régime apériodique Régime critique Régime pseudo périodique discriminant Facteur de qualité Solutions de l équation caractéristiques Solutions de l équation différentielle courbes amortissement Pseudo-période Décrément logarithmique Remarques sur le régime périodique : - le régime périodique correspond à la solution de l équation différentielle de l oscillateur harmonique : y (t) + ω 0 y(t) = 0 - le régime périodique correspond à un amortissement α = λ = ω 0 /Q = - il correspond donc un facteur de qualité Q - en pratique le régime périodique n est pas observable (il y a toujours de la dissipation d énergie) - pour obtenir des oscillations périodiques, il faut utiliser un système extérieur qui compense les pertes d énergie dissipée (par frottement e mécanique ou par effet Joule en électricité) 10 / 1

4 Solution de l exercice sur le portrait de phase : cas sans amortissement Voir TP numérique. 11 / 1

5 Solution de l exercice sur le portrait de phase : cas avec amortissement I 1 B Ω A 3 D E C Représenter sur le schéma ci-dessous les positions des points I, A, B, C, D, E et Ω. 1 / 1