TOPOLOGIE & CONTINUITÉE Une approche mathéematique et philosophique I

TOPOLOGIE & CONTINUITÉE Une approche mathéematique et philosophique I EXERCICES Exercices sur la partie 0. Exercice 0.1. Montrer l affirmation de l ÉEtranger des Lois de Platon : traduire en termes mathéematiques l affirmation l irrationalitée de la longueur de l hypothèenuse par rapport àa la longueur des côotées d un triangle rectangle isocèele puis la prouver. Exercice 0.2. Peut-on mettre en relation les deux affirmations de Bertrand Russel sur les mathéematiques, citéees àa la fin de l introduction et le mythe d Œdipe? (cf. 2.1 exemples). Exercice 0.3. Pour repréesenter des nombres par des objets physiques, on utilise géenéeralement des cailloux ou des morceaux de bois. Pourquoi pas des bulles de savon? Mêeme question question que dans l exerice préecéedent : rapport avec les affirmations de Bertrand Russel. Exercice 0.4. Déevelopper complèetement l éenoncée abréegée : Si X est un sous-ensemble de A àa 1 (resp. 2, 3, 4) éeléements, alors il en est de mêeme de Y. 1

Exercices sur la partie I.1 A. Géenéeralitées. Exercice 1.0. Soient A, B, A, B des ensembles. Montrer l éequivalence : A B = A B [A = A et B = B ]. 2

B. Exercices sur la déemonstration par réecurrence. Exercice 1.1. i) Montrer par réecurrence que pour tous entiers m, n, p N, on a : (l p )(l q ) = l p+q ii) Montrer par réecurrence que pour tous entiers m, n, p N, on a : (m n) p = (m p )(m p ) Dans les deux cas, cela réesulte de la commutativitée et de l associativitée de la multiplication. on a : iii) En utilisant i) et ii), montrer par réecurrence que pour tous entiers k, m N, (m 2 ) k = m 2k et aussi (m 2 ) k = (m k ) 2. Exercice 1.2 On considèere deux ensembles finis A = {a 1,..., a h } et B = {b 1,..., b k }, ayant respectivement h et k éeléements. On a vu que leur produit A B a hk éeléements en les mettant sous la forme d un tableau (a 1, b 1 ),..., (a h, b 1 ) (a A B = 1, b 2 ),..., (a h, b 2 ).... (a 1, b k ),..., (a h, b k ) i) On considèere tout d abord le cas h = k = 2. Remarquer que l on peut déefinir explicitement une application p de A B dans C = {c 1,...,c 4 } en posant p((a 1, b 1 )) = c 1, p((a 1, b 2 )) = c 2, p((a 2,b 1 )) = c 3,p((a 2,b 2 )) = c 4. ii) Pour h = 2,k = 3. Remarquer que l on peut déefinir p : A B dans C = {c 1,..., c 6 } par : p((a 1, b 1 )) = c 1, p((a 1, b 2 )) = c 2, p((a 1, b 3 )) = c 3,, p((a 2,b 1 )) = c 4, p((a 2, b 2 )) = c 5, p((a 2,b 3 )) = c 6. iii) Pour h = 3, k = 3. Remarquer que l on peut déefinir p : A B dans C = {c 1,..., c 9 } par : p((a 1, b 1 )) = c 1, p((a 1, b 2 )) = c 2, p((a 1, b 3 )) = c 3,, p((a 2,b 1 )) = c 4, p((a 2, b 2 )) = c 5,p((a 2, b 3 )) = c 6, p((a 3,b 1 )) = c 7, p((a 3, b 2 )) = c 8, p((a 3, b 3 )) = c 9. iv) Plus géenéeralement, pour tout h, k entiers, déefinir explicitement une application p de A B dans C = {c 1,...,c hk }. Exercice 1.2. Soit N l ensemble des entiers (positifs). Déeduire de l exercice préecéedent une bijection de N N dans N. Exercice 1.2. Encore de l exercice 1.2, déeduire une formule donnant 3

i) la somme des n premiers entiers (i.e. S n := 1 + 2 + 3 + + n) ii) pour tout entier k, m, la somme des entiers compris entre k àa k + m. Remarquer une ambiguïıtée dans l éenoncée ii) (et mêeme dans le dernier éenoncée qu on vient de formuler). Exercice 1.2. Déeduire de l exercice préecéedent une formule donnant i) la somme des n premiers entiers pairs, puis de ceux supéerieurs àa un entier k donnée. ii) la somme des n premiers entiers impairs, puis de ceux supéerieurs àa un entier k donnée. Làa encore, remarquer une ambiguïıtée dans cet éenoncée. Exercice 1.3. Dans la remarque 1.1, on a montrée l utilisation d une réecurrence pour un ensemble fini. Montrer par un raisonnement par l absurde que cela est encore vrai pour un ensemble dont les éeléements sont indexées par les entiers i.e. A = {a 1,..., a n,...}, c est-àa-dire tel que pour tout entier n, on peut trouver un éeléement dans A de la forme a n+1. Exercice 1.4. Soit B un ensemble. On considèere l ensemble A = {A 1,...,A n,...} de sousensembles (de B) indexées par les entiers (cf. exercice préecéedent, les éeléements de A sont des sous-ensembles de B! ). i) Montrer que l on peut déefinir le produit A notée A 1 A n de ces ensembles comme l ensemble formée des éeléements (a 1,..., a n,...) de manièere analogue àa l exercice préecéedent. ii) Déefinir pour tout entier n des projections p An applications de A dans A n. iii) Géenéeraliser ces projections en des applications p A1 A n de A dans A 1 A n. iv) Donner un exemple pour le produit d un nombre fini d ensembles. 4

C. Application et comptage. Exercice 1.5. Soit A,B deux ensembles finis respectivement ayant h et k éeléements. i) On suppose tout d abord que k = 1; combien y a-t-il d applications (distinctes) entre de A dans B. ii) Mêeme question lorsque k = 2 puis k = 3. iii) Plus géenéeralement, pour h, k entiers quelconques combien d applications y a-t-il de l ensemble A dans l ensemble B? On pourra remarquer comment varie le nombre d applications lorsqu on ajoute un éeléement àa un ensemble donnée. Exercice 1.6. Soit N l ensemble des entiers et Q l ensemble des rationnels. D aprèes l exercice 1.4, peut-on donner un sens àa N N, àa Q N, àa N Q, àa Q Q? Plus géenéeralement, éetant donnée A et B deux ensembles quelconques, peut-on déefinir B A? Exercice 1.7. Comment déefinir formellement une suite infinie d éeléements (d un ensemble donnée)? (si l on a une suite d éeléements (a 1,...,a n,...) d un ensemble A considéerer l application qui va de l ensemble N des entiers dans A qui àa un entier n N lui associe a n ). Ainsi une suite infinie d éeléements (a 1,..., a n,...) d un ensemble A revient àa la donnéee d une fonction de N dans A. Exercice 1.8. En utilisant l exercice préecéedent, comment pourrait-on déefinir une famille indexéee par un ensemble I, autrement dit si A est un ensemble, comment déefinir des familles b = {a i },i I oùu les a i A? Soit alors A = A i,i I une famille d ensembles indexées par un ensemble I. Pour tout J I soit A = A i, i J ; comment déefinir une projection p : A A de A dans A? Exercice 1.9. Montrer que pour tous ensembles non vides A, B, les projections p A : A B A et p B : A B B sont surjectives mais en géenéeral ne sont pas injectives (donner des contre-exemples). A quelles conditions l une des projections (resp. les deux) est injective? Géenéeraliser au cas d une famille quelconque d ensembles (cf. ex. 1.2 et 1.4). Exercice 1.10. Montrer la réeciproque du lemme 1.4 : si pour tout A, A A, on a : f(a A ) = f(a ) f(a ), alors f est injective. Pour cela, on considèerera pour tout a, a A, les sous-ensembles de A : A := {a } et A := {a }. (Le lemme s éecrit donc en fait : 5

f : A B est injective ssi si pour tout A, A A : f(a A ) = f(a ) f(a )). Exercice 1.11 Soit A = {1, 2, 3,4}, B = {3, 4,5, 6} et f : A B déefinie par f(1) = 3, f(2) = 4, f(3) = 5, f(4) = 6. Cette application est-elle injective, surjective, bijective? Calculer f(a ) (A A) pour A = {1, 2, 3}, puis A = {1,3} puis A = {1,4}; Calculer f 1 (B ) (B B) pour B = {3}, puis B = {5, 6} puis B = {3, 4,6}. Exercice 1.12 Soit A et B des ensembles finis et f : A B une application de A dans B. i) Montrer que si f est injective le nombre d éeléements de A est inféerieur (ou éegal) àa celui de B (i.e. N(A) N(B)) ii) Si f est surjective montrer que le nombre d éeléements de A est supéerieur (ou éegal) àa celui de B (i.e. N(A) N(B)) iii) En particulier, s il existe une bijection de A dans B, alors ils ont mêeme nombre d éeléements (i.e. N(A) = N(B)). Exercice 1.13. Soit A un ensemble fini et f : A A une application de A dans A. i) Si f est injective montrer que f est aussi surjective ii) Si f est surjective montrer que f est aussi injective Ainsi toute application injective ou surjective de A, ensemble fini, dans luimêeme est une bijection. Exercice 1.14. Soit N l ensemble des entiers i) Soit f : N N l application déefinie par : f(n) = n 2. Montrer que f est injective. Est-elle aussi surjective? ii) Soit f : N N l application déefinie par : f(n) = n/2 si n est pair et f(n) = (n + 1)/2 si n est impair. Montrer que cette application est surjective. Est-elle aussi injective? Que peut-on en conclure en considéerant l exercice préecéedent? Exercice 1.15. Soit f l application de N N (oùu N est l ensemble des entiers) déefinie par f(n) = n 2 ; f est-elle injective, surjective, bijective? Calculer f(m) pour M ensemble des entiers pairs puis des entiers impairs puis des entiers multiples de 3. Mêeme chose pour f 1 (M). Donner une application g : N N véerifiant g f = Id N. Exercice 1.16. Soit comme dans l exercice préedéecent f l application de N N avec f(n) = n 2. Soit M et M respectivement l ensemble des entiers pairs et impairs. Quelle est leur intersection et leur réeunion? Calculer f(m) f(n) et f(m) f(n) et comparer 6

respectivement àa f(m N) et f(m N). Est-ce conforme àa la proposition 1.2 et au lemme 1.2? Exercice 1.17. Mêeme question que dans l exercice préecéedent en remplaçcant N par l ensemble Z des entiers relatifs (i.e. positifs et néegatifs). 7

D. Propriéetées concernant les applications. Exercice 1.18. Soit L l ensemble des entiers multiples de 3. Calculer L M, L M puis f 1 (L M), f 1 (L) f 1 (M), f 1 (L M), f 1 (L) f 1 (M). Comparer f 1 (L M) et f 1 (L) f 1 (M), puis f 1 (L M) et f 1 (L) f 1 (M). Est-ce conforme àa la propostion 1.2 et au lemme 1.2? Exercice 1.18. Mêeme question que dans l exercice préecéedent en remplaçcant N par l ensemble Z des entiers relatifs (i.e. positifs et néegatifs). Exercice 1.19. Soit f : A B une application de A dans B. i) Si f est injective montrer que pour tout A A la restriction notéee f A de f àa A est encore injective. En outre f 1 (f(a )) = A. Montrer que si f n est pas injective cela n est pas vrai (i.e. trouver un contreexemple). ii) Si f est surjective, montrer que pour tout B B la restriction f A àa A = f 1 (B ) est encore surjective. En outre f(f 1 (B )) = B. Montrer que si f n est pas surjective cela n est pas vrai (i.e. trouver un contreexemple). Exercice 1.20. Soit A un ensemble, A et A des sous-ensembles de A. On rappelle que l on note A\A le sous-ensemble de A déefini par : A\A := {x A;x A }. i) Montrer que l on a A (A\A ) = A (c est une trivialitée). ii) Soit A est un autre sous-ensemble de A, montrer que : A\(A A ) = (A\A ) (A\A ) et A\(A A ) = A\(A A ) puis par réecurrence, que pour un nombre fini A 1,..., A k de sous-ensembles de A, on a encore : A\(A 1... A k ) = (A\A 1 )... (A\A k ) et A\(A 1... A k ) = (A\A 1 )... (A\A k ) Exercice 1.21. i) Montrer qu un ensemble A est infini ssi il existe une injection de N dans A. ii) Montrer qu un ensemble A est infini ssi il existe une surjection de A sur N. 8

Exercices sur la partie I.2 Exercice 2.1. La repréesentation des nombres pairs par l ensemble A = {2n, n N} peut-elle êetre conçcue comme une déefinition au sens aristotéelicien, i.e. donnéee d un genre et d une difféerence? Dans ce cas quel est le genre et quelle est la difféerence? Exercice 2.2. Si l on considèere parmi les entiers les nombres qui sont àa la fois multiples de 9 et de 12, quel est l ensemble qui leur est associée (cf. Remarque 2.0)? Quel théeorèeme sur les entiers utilise-t-on? Exercice 2.3. On considèere l ensemble des entiers multiples de 108. Est-ce l ensemble des entiers multiples de 9 et de 12? En quoi cette déefinition peut êetre dite une mauvaise déefinition de ces nombres (ceux qui sont àa la fois multiples de de 9 et de 12)? On considéerera le point de vue propriéetée ainsi que celui des ensembles associées. Exercice 2.4. L esthéetique en mathéematique. Soit f : A B une application de A dans B. On considèere les propriéetées P1 et P2 suivantes : (P1) : pour toutes applications g, g : A A, on a : f g = f g implique g = g et (P2) : pour toutes applications h, h : B B, on a : h f = h f implique h = h 1. Déemontrer en utilisant directement les déefinitions de l injectivitée et de la surjectivitée les éequivalences suivantes : (P1) éequivaut àa f est injective et (P2) éequivaut àa f est surjective. 2. On va montrer cette mêeme éequivalence en utilisant la prop. 1.5. i) Pour tout couple a, a A, on considèere l application g : A A déefinie par, pour x A, on a : g(x) = x pour x A\{a,a }, g(a) = a et g(a ) = a. Montrer alors, en prenant pour g := Id A, que (P1) implique l injectivitée de f. ii) On va montrer que (P2) implique la surjectivitée de f. a) Montrer que si B =, toute application d un ensemble A dans B est surjective. b) On considèere alors le cas B. On note Imf l image de f dans B. Montrer que si b B\Imf alors il existe h : B B tq pour tout a A, on ait : h f(a) = f(a). En prenant alors h := Id B, montrer alors que (P2) n est pas véerifiéee. Conclure. 9

iii) Inversement, montrer que la prop. 1.5 donne directement les implications inverses i.e. f injective implique (P1) et f surjective implique (P2). Les deux déemonstrations donnent le mêeme réesultat, mais on dirait que la deuxièeme est plus éeléegante, ou encore, qu elle a plus de classe que la premièere. Est-ce que cela permet de réefléechir sur la notion géenéerale d éeléegance (ou de classe ), en particulier sur son ambiguïıtée (cf. la question de la parure, des fards ou du maquillage dans le Gorgias de Platon, et plus particulièerement 462e-465d) 10

Exercices sur la partie I.3. Exercice 3.1. Soit f : N N, f(n) = n 2. Donner le graphe de f (faire un dessin). Soit Q := {q 2 ; q Q} et Q := {q 3 ; q Q}. Donner le graphe de f pour f : Q Q, f(x) = x 2 ; puis pour f : Q Q, f(x) = x 3 (faire un dessin). Visualiser la proposition 3.1. Exercice 3.2. Soit A un ensemble, P(A) l ensemble de ses parties. i) Construire une injection de A dans P(A). ii) On va montrer par contre qu il n existe pas d injection de P(A) dans A. Soit f : A P(A) P(A) dans A; on considèere le sous-ensemble (éeventuellement vide) A de A déefini par : A := {a A;a f(a) (cela a un sens car f(a) est un éeléement de P(A) donc un sous-ensemble de A). Montrer qu il n existe pas de a A tel que A = f(a) (en considéerant les cas a A et a A ) et donc f n est pas surjective. En déeduire qu il n existe pas non plus d injection de P(A) dans A (ex. 1.9). Exercice 3.2. Dans cet exercice, on va considéerer les applications du point de vue ensembliste. Soit A,B,C des ensembles, f := (A, G, B) := f : A B une application de A dans B (on a éecrit ici les deux notations d une application). On rappelle que l on note p A (resp. p B ) la premièere (resp. la deuxièeme) projection de G (cf. remarque 1.1 ). i) Montrer que f est injective (resp. surjective) ssi p B l est. ii) Montrer que pour tout A A, on a : f 1 (A ) = p B (p A 1 (A )). iii) Soit Id A l application identitée de A (i.e. pour tout a A, f(a) := a). Déefinir son graphe et donner la repréesentation de Id A en notation ensembliste? iv) Si f est bijective, déefinir le graphe de f 1 et donner la repréesentation de f 1 en notation ensembliste. Comparer le graphe de f et celui de f 1. v) Soit C un ensemble et g := (B,H,C) := g : B C une application de B dans C. Déefinir le graphe de g f et donner sa repréesentation en notation ensembliste. Exercice 3.3. i) Soit F : A P(B) une correspondance de A dans B et p A la premièere projection de A B sura (attention F est une application de A dans P(B), mais une correspondance de A dans B). ii) Soit A := {1, 2, 3,...8} et B := {1,3, 5, 7, 9} 11

Donner quelques correspondances (de A dans B) qui ne soient pas des applications (de A dans B). Tracer leurs graphes et éetudier la restriction de la premièere projection àa ces graphes. iii) Faire de mêeme avec A := B := N (ensemble des entiers) ou (au choix) A := B := Q (des rationnels) (ou si cela vous paraîıt plus simple A := B := R (ensemble des réeels)). Exercice 3.4. Soit A, B, C, D des ensembles, f : A B (resp. g : B D, h : A C, k : C D, ) des applications de A dans B (resp. de B dans D, de A dans C, de C dans D). i) Donner sous la forme d un diagramme commutatif (un carrée) l éegalitée : g f = k h. ii) Soit f et h des bijections respectivement de A dans B et de A dans C. Visualiser sur un diagramme àa la manièere de i), l éegalitée f 1 f = h 1 h = Id A, puis pour f f 1 = h h 1 = Id A 12

Exercices sur la partie I.5. Exercice 5.1. A la manièere de l exemple 5.0, montrer qu en géenéeral, une fonction de A A dans B B n est pas de la forme h h. Il s agit de montrer, lorsque tous les ensembles sont finis, que le nombre d applications de A A dans B B est géenéeralement strictement plus grand que le nombre d applications de la forme h h. Exercice 5.2. Peut-on voir l éenigme que la Sphinx pose àa Œdipe comme une certaine manièere de rappeler la distinction entre une application et une correspondance? Exercice 5.3. Soit N l ensemble des entiers positifs. i) Quel est le graphe de la relation d ordre déefinie sur N? ii) Quel est le graphe de la relation d ordre > déefinie sur N? iii) On appelle diagonale de N le sous-ensemble notée de N N déefini par : := {(n,n); n N}. Quelle relation a-t-on entre les graphes déefinis en i) et ii) ci-dessus? Exercice 5.4. Soit R une relation sur un ensemble A, de graphe G R i.e. en termes ensemblistes R est le couple (A,G) avec G A A. Soit p 1 (resp. p 2 ) la premièere (resp. la seconde) projection de A A dans A i.e. pour tout (a, a ) A A, p 1 (a, a ) := a et p 2 (a, a ) := a. On note p 1 (resp. p 2 ) la restriction de p 1 (resp. p 2 ) àa G. Quelle propriéetée sur l image de p 1 et p 2 correspond àa i) la réeflexivitée de R, ii) l antisyméetrie de R. iii) Montrer que la transitivitée de R éequivaut àa la propriéetée suivante : pour tout (a, a ) G R, on a : P p 1 1 ({a }) P p 1 1 ({a}). Exercice 5.5. Dans la remarque 5.1, les phrases une application éetait déeterminéee par son graphe et on a déefini finalement une application comme éetant un graphe sont ambiguëes, voire n ont pas de sens. Pouvez-vous dire pourquoi, puis les rectifier? Exercice 5.6. Soit A un ensemble, R une relation sur cet ensemble et G R le graphe de R. On note s : A A A A déefinie par : pour tout (a, a ) A A, s(a, a ) := (a, a) (autrement dit s permute les termes a et a ). 1. Montrer que s s = Id A A. En déeduire que s est bijective; quelle est sa réeciproque (on dit que s est une syméetrie). ÀA quelle application s identifie la restriction de s àa la diagonale de A A (on rappelle que l on a : := {(a,a); a A}). 13

Une application d un ensemble A dans lui-mêeme peut donc êetre sa propre réeciproque. C est d ailleurs ainsi qu on déefinit une syméetrie sur un ensemble. 2. On note G R 1 l image de G R par s (i.e. G R 1 := P s (G R )), et on appelle relation réeciproque de R notéee R 1 la relation : (A, G R 1). i) Montrer que si R est une relation d ordre large (resp. strict, total) alors il en est de mêeme de la relation réeciproque G R 1 (si on a des difficultées pour comprendre l éenoncée, on se réefèerera àa l exercice 2.5.). ii) Soit f : A A une bijection de A dans A et G f son graphe. On note R la relation (A,G f ). a) Montrer que l application réeciproque R 1 de R déefinit une application g : A A de A dans A. b) Montrer que g est la réeciproque de f. Exercice 5.7. Soient A un ensemble et A, A des sous-ensembles de A. i) Montrer que si A A, aucune application s : A A ne peut êetre une syméetrie comme déefinie àa l exercice 5.6.1, car elle ne peut êetre sa réeciproque. On va néeanmoins déefinir une syméetrie dans le cas oùu les ensembles A et A sont difféerents, en éelargissant le sens de syméetrie. ii) a) Rappeler la déefintion du prolongement trivial d une application f : A A àa un ensemble quelconque B contennant A. b) Soit s : A A une application de A dans A. L application s sera appeléee une syméetrie, s il existe un ensemble B contenant àa la fois A et A et une syméetrie S : B B sur B tq la restriction de S àa A soit le prolongement trivial de s àa B. 1) Pour tout a A quelle relation y a-t-il entre S(a ) et s(a )? 2) Montrer alors que s : A A est une bijection. 3) Quelle relation y a-t-il entre s 1 et S? iii) Soit s : A A A A l application de A A dans A A déefinie par s(a, a ) := (a,a ). Montrer que s est une syméetrie au sens déefini en ii.b). iv) La manièere dont on a procéedée ici donne-t-elle àa réefléechir sur la nature des mathéematiques? Exercice 5.8. Donner des exemples de relations et de relations réeciproques physiques et biologiques (si vous n avez pas d idéees, vous pourrez vous reporter par exemple aux Catéegories d Aristote). Celui-ci affirmerait que l éenoncée l hirondelle est ailéee parce que c est un oiseau est un mauvais éenoncée. Pouvez-vous expliquer pourquoi (sinon se réeféerer làa aussi directement àa l ouvrage)? 14

Exercices sur la partie I.6. Exercice 6.1 Soient A, B, B des ensembles, f : A B et f : A B des applications de A respectivement dans B et B. On note : la diagonale de A A, p := p A : A, la restriction àa de la premièere projection p A : A A A, H : B B la restriction àa de l application f f : A A B B, et q := (p ) 1 la réeciproque de p (pourquoi cette réeciproque existe-t-elle? ). i) Montrer qu on a la relation suivante entre [f,f ] et H : [f, f ] = H q. ii) Soit i : A A, l injection naturelle de dans A A. Déeduire de i) une relation entre [f, f ] et f f. Traduire cette relation par un diagramme commutatif. Exercice 6.2 On reprend les notations de l exercice 5.6.1. Soient A, B, A, B des ensembles et S : A B A B l application de A B dans B A déefinie par S(a,b) := (b, a). i) Montrer que, si B = A, l application φ : A B A B A A B B de la remarque 6.2 déefinie par : φ(a, b, a,b ) = (a, a, b,b ) est une syméetrie (i.e. elle est bijective et est sa propre réeciproque). En utilisant l exercice 5.7, éetudier le cas géenéeral (i.e. B A )? ii) ÉEcrire φ en fonction de S. Exercice 6.3 On utilise ici le réesultat recherchée àa l exercice 1.5 : Si A et B sont des ensembles finis, le nombre d applications de A dans B est éegal àa N(B) N(A) (oùu N(X) déesigne le nombre d éeléements de X). Soient A, A,B, B des ensembles finis. i) Quel est le nombre d applications de A A dans B B? ii) Soit E l ensemble des applications de f f oùu f (resp. f ) est une application de A dans B (resp. de A dans B ). Calculer N(E). iii) Déeduire de i) et ii) que toute application de A A dans B B n est pas toujours de la forme f f (avec f (resp. f ) application de A dans B (resp. de A dans B )). iv) Considéerer le cas oùu A et B (resp. A et B) sont des ensembles àa 2 (resp. 1) éeléements. Donner un contre-exemple (i.e. une application de A A dans B B qui n est pas de la forme f f ). Exercice 6.4 15

Soit A un ensemble muni d une opéeration interne. i) Rappeler la déefintion de l éeléement neutre et montrer qu il existe au plus un éeléement neutre pour dans A. ii) Montrer que si a un éeléement neutre dans A, tout éeléement a A de A a au plus un syméetrique (pour ). iii) On va montrer que si a un éeléement neutre e dans A, pour certains éeléements a A de A, on peut avoir : x x A (resp. y y A) avec x a = x a = e (1) et a y = a y = e (1 ), i.e. en géenéeral, mêeme si on a un éeléement neutre, il n y a pas unicitée du syméetrique àa droite ou àa gauche pour une loi interne. Pour cela, soit B un ensemble, A l ensemble des applications de B dans B, on va considéerer l opéeration interne sur A déefinie par la composition des applications i.e. pour tout f, g A (i.e. f et g sont des applications de B dans B), on pose : g f := g f A. a) Quel est l éeléement neutre e de A? b) Que signifie pour f (resp. g) que l on a : g f = e (cf. prop. 1.5)? c) Peut-on espéerer obtenir un contre-exemple cherchée avec B un ensemble fini (cf. exercie 1.13)? e) Soit B := N, f : N N oùu f(n) := 2n Pour tout entier i, on note g i : N N les applications déefinies par : g i (n) := n/2 si n est pair et g i (n) := i si n est impair. Calculer g i f. Que peut-on dire de f et des g i (cf. b) ci-dessus)? En quoi est-ce un contre-exemple àa l unicitée de (1)? f) Soit B := N, g : N N oùu g(n) := n/2 si n est pair et g(n) := n si n est impair. Pour tout entier i, on note f i : N N les applications déefinies par : f i (n) := 2 si n i et f i (i) := i. Calculer g f i lorsque i est impair. Que peut-on dire des f i et de f (cf. b) ci-dessus)? En quoi est-ce un contre-exemple àa l unicitée de (1)? iv) D aprèes le ii) peut-on avoir cette situation lorsque l opéeration est commutative? Véerifier qu il n y a pas commutativitée lorsqu on compose f avec les applications g i. Exercice 6.5 On va déemontrer ici l analogue du corollaire 6.3, mais pour des opéerations externes. a) Rappel (opéeration externe). Soit A et T des ensembles. Une opéeration externe de T sur A est une application de T A dans A, autrement dit àa tout 16

éeléement t T et x A on associe un éeléement z A que l on note z := t x. b) Notations. Soient B,B, T des ensembles, et f : B B une application de B dans B. Soit (resp. ) une opéeration externe de T sur B (resp. B ) qu on notera aussi sous la forme d une application g : T B B (resp. g : T B B ) i.e. pour tout t T et tout x B (resp. x B ), g(t,x) := t x (resp. g(t, x ) := t x ). On pose : A := T B, A := T B, f := Id T f : T B T B et F := f f : A B A B. c) Montrer que : F est compatible avec (g, g ) ssi pour tout t T et tout x, y B, on a : f (t y) = t f (y). Dans ce cas, on dit encore que l application f est compatible avec (, ). Exercice 6.6 i) Appliquer l exercice 6.5 au cas particulier oùu : T := Q et B := B := Q Q := Q 2 et les opéerations externes, sont éegales, et déefinies par : pour tout t T := Q et tout x := (q,q ) B := Q Q, t (q, q ) := t (q, q ) := (tq, tq ) Q Q := B. ii) Soient α, β, γ, δ Q\{0} des rationnels non nuls, et f : B := Q Q B := Q Q l application de B dans B déefinie par : pour tout x := (q, q ) B, f (x) := f ((q, q )) := (αq + βq, γq + δq ). a) Montrer que f est compatible avec (, ) oùu est l opéeration externe déefinie en i). b) Qu en est-il si on remplace f par l application f : B B déefinie par : pour tout x := (q, q ) B, f (x) := f ((q, q )) := (αq + βq + α, γq + δq )? c) Véerifier en considéerant pour f et f, le cas x = (0, 0). Exercice 6.7 Comment considéerer le corollaire 6.3 (compatibilitée d une application f : A A relativement aux produits internes (, )) comme un cas particulier de la proposition 6.1? Il s agit de ramener les produits internes sur A et A àa des relations sur A et A (attention, ici les deux pluriels ne sont aucunement syméetriques). 17

Exercices sur la partie I.7. Exercice 7.1 Soit A un ensemble et R une relation d éequivalence sur A. Soit A un sousensemble de A. On note P s le sous-ensemble de P(A) formée de tous les sous-ensembles de A contenant A et saturées pour R. i) Montrer que P s n est pas vide (il contient A). ii) Soit Ā le sous-ensemble de A intersection de tous les sous-ensembles de A appartenant àa P s i.e. Ā := {a A;a X, pour tout X P s }. 1) Montrer que l on a : A Ā. 2) Montrer que Ā est saturée. 3) Montrer que Ā est le plus petit sous-ensemble saturée de A contenant A. De la proposition 7.2.iii), en déeduire que Ā est le saturée de A pour R i.e. Ā = Ȧ. Exercice 7.2 On revient sur l avertissement qui suit la proposition 7.2. Soit P := {{1,2}, {2, 3}, {2, 5},{1, 2,3}}. i) Justifier qu il n est ni de plus petit, ni de plus grand éeléement pour la relation d ordre déefinie par l inclusion sur P. ii) Qu en est-il si l on remplace l inclusion par le nombre d éeléements i.e. a-t-on un plus petit ou/et un plus grand éeléement pour la relation d ordre déefinie sur P par le nombre d éeléements (i.e. X inféerieur àa Y signifie (N(X) N(Y ))? iii) Cette relation d ordre est-elle une relation d ordre total sur P? Mêeme question pour l inclusion sur P (i.e. l inclusion déefinit-elle un ordre total sur P)? iv) Peut-on géenéeraliser ii) et iii) àa n importe quel ensemble fini? 18

Exercices sur la partie I.8. Exercice 8.1. Soit f : A B une application de A dans B. Soit R la relation déefinie sur A par : pour tout a, a A, ara signifie f(a) = f(a ). i) Montrer que R est une relation d éequivalence sur A. ii) Rappeler ce que signifie qu une application de A dans B A d êetre compatible avec une relation d éequivalence sur A. Montrer que f est compatible avec R. iii) En déeduire, suivant la proposition 8.4, qu il existe une application f de A/R dans B véerifiant : pour tout A R A/R et tout a A R, f(a R ) := f(a). Montrer que cette application f : A/R B est injective. Exercice 8.2. Soit A un ensemble muni d une loi interne et R une relation d éequivalence sur A. Montrer que si est commutative, pour qu elle soit compatible avec R, il suffit que pour tout x,y, z A, on ait l implication : xry (x z)r(y z). Exercice 8.3. a) On reprend les notations de la remarque 8.1.ii). Soient A et B deux ensembles, R (respectivement R ) une relation d éequivalence sur A (respectivement B) et f : A B une application de A dans B compatible avec (R, R ). Soit p : B B/R la projection de B sur B/R (i.e. qui associe àa tout éeléement de B sa classe d éequivalence dans B/R ) et F := P f A/R : A/R P(B), la restriction de P f àa A/R b) On a montrée (fin de la remarque 8.1.ii)) que pour tout A R A/R, on a : f(a R ) = P p P f (A R ). Quelle est la relation entre les applications f et P p P f (on distinguera soigneusement les applications des graphes applicatifs, et on utilisera les injections canoniques et/ou les extensions triviales, cf. 3). 19