Traitement du Signal James L. Crowley Deuxième Année ENSIMAG Troisième Bimestre 996/97 Séance 5 : 6 mars 997 Analyse de Fourier des Signaux Discrèts Formules du Jour... Quelques Transformées de Fourier :... Transformée de FOURIER du Cosinus... Transformée de FOURIER du Sinus... Transformée de FOURIER du delta... 3 Transformée de FOURIER du signal Rect(t)...4 La Fonction Sinc Discrète... 6 Le decomposition frequentiel d'une séquence x(n)... 9 Echantillonage en Fréquence :...
Formules du Jour ) L'exponentielle Complexe est une angle dans la plane complexe e jπ = - ejωt = Cos(ωt) + j Sin(ω t) ejπ/4 = 0.707 + j.707 ejπ/ = 0 + j ej3π/4 = 0.707 + j.707 ejπ = + j 0 ) L'exponentielle Complexe est une decallage en temps. ejωt ejα = ej(ωt+α) = Cos(ωt + α) + j Sin(ω t + α) 3) Sinus Cardinale : {rect(t)} = Sin(πf) π f Sinc(f)
Quelques Transformées de Fourier : Transformée de FOURIER du Cosinus La Transformée d'un cosinus de fréquence ωo est une somme de impulsions en ωo et ωo: car Cos(ω 0 t) = e jω 0 t + e-jω 0 t => { Cos(ωo t) } = { ejω 0 t + e-jω 0 t } = [ejω 0 t + e-jω 0 t ] e-jωt dt = [ e-jt(ωt ω 0 t) dt + e-jt(ωt+ω 0 t) dt = [δ(ω - ω o) + δ(ω + ωo) ] Cos(ω o t) ω δ(ω + ω o ) R δ(ω ω o ) ω 0 0 ω 0 ω Transformée de FOURIER du Sinus La Transformée d'un sinus de fréquence ωo Sin(ω 0 t) = j { Sin(ωo t) } = [ejω 0 t - e-jω 0 t ] => = j j [ [ejω 0 t - e-jω 0 t ] e-jω t dt ejω 0 t e-jωt dt e-jω 0 t e-jωt dt] = j [δ(ω - ω o) δ(ω + ωo) ] 3
Im{} Sin(ω o t) t ω 0 0 ω 0 ω d'où la notion de fréquence négative qui n'a de sens que pour représenter des signaux réels dans l'espace fréquence : Transformée de FOURIER du delta Transformée de FOURIER du signal delta : { δ(t) } = t ω { δ(ω) } = t ω Transformée de FOURIER du signal Rect(t) Rappel : j sin(x) =e x e x Nous allons définir : Sinc(f) Sin(πf) π f Sinc( ω π ) / {rect(t)} = e jωt dt = / ou bien Sinc( ω π ) jω [ejω/ e jω/ ] = sin(ω/) ω/ = Sin(πf) π f Sinc(f) {rect(t)} = Sin(πf) π f Sinc(f) 4
rect(t) sinc(f) = sin(πf) πf t -4-3 - - 0 3 4 f T ƒ{rect( t T )}= T e jωt T dt = jωτ [ejωt e jωt ] = jωτ j sin(ωt) = Sinc (Tf) T/ ƒ{rect( t T )}= T T/ e jωt dt = jωτ [ejωt/ e jωt/ ]= j jωτ sin(ωt/) = Sinc(T f) sinc(ωτ/) rect(t/t) T t ω T T 4 3 3 4 et par symétrie : ƒ { rect(f) } = / π e jπft df = π πjt [ejπt e jπt ]= π / sin(πt) πt = π Sinc(t) 5
La Fonction Sinc Discrète Soit un signal x(n), non-périodique, pour lequel on dispose d une section de N points. Le fait de limiter un signal à N échantillons est équivalent de multiplier par w(n). w(n) est une fenêtre rectangulaire ou fonction de porte (parfois appellé rect N (n)) w(n) x(n) = x(n). w(n) 0 n < N 0 n < 0 et n N On peut analyser cette effet avec la TFTD. TFTD{ x(n). w(n)} = X(ω) * W(ω). (Convolution en fréquence) W(ω) = w(n) e jωn = e jωn = (e jω ) n afin de simplifier l'agebre, on substitu : z = e jω Il est connu que : z n = zn z 6
Demonstration : z n = ( + z + z +...z ) donc z( z n ) = z( + z + z +...z ) = (z + z +...+z + z N ) z n z( z n ) = ( + z + z +...z ) (z + z +...+z + z N ) ( z) ( z n ) = ( z N ) donc z n = zn z avec W(z) = zn z = z N/ z / (z N/ z N/) (z / z /) donc pour z = e jω = e jπf W(f) = e jπ(n-)f (e jπnfn/ e jπnfn/ ) (e jπnf/ e jπnf/ ) = e jπ f() sin(πfn) sin(πf) ou bien W(ω) = e jω()/ sin(ωn/) sin(ω/) Il s agit de l équivalent discrète à sinc(πf). Si on prefère, on peut définir w(n) avec un nombre impaire de coefficients, centré sur zéro : 7
w(n) N/ n < N/ 0 ailleur puis : W(f) = (e jπnfn/ e jπnfn/ ) (e jπnf/ e jπnf/ ) = sin(πfn) sin(πf) 0 8
Le decomposition frequentiel d'une séquence x(n). Les exponentielles complexes e ±jωt forment une base orthogonale sur [, ] : < e jω 0t, e jω t > = e jω0t e -jω t δ(ω) ω 0 = ω dt = 0 sinon On peut projetter une séquence de N echantillons, x(n) sur une base de N exponentielles complexes. si x(n) est réel, on peut utiliser les parties réel et imaginaires de N/ fréquences. Pour le calcul numérique, il faut définir une exponentielle complexe "discrète" par échantillonage dans l'axe "t". Ceci est fait par un substitution de n pour t. e jπfn = Cos(πfn) + j Sin(πfn) Le fréquence sont f = k N pour k [ N, N ] Par exemple, pour f = 6, (une cycle pour 6 echantillons), Cos( πn πn ) + jsin( 6 6 ) a la forme : 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 9
Soit un séquence x(n) pour n [0, ]. Le composant à la fréquence f de x(n) est une produit scalaire avec e jπfn X(f) = <e jπfn, x(n)> = x(n) e jπfn = (note : X(f) est complexe) x(n)(cos(πfn) j Sin(πfn)) On peut ainsi definir une transformée de Fourier Discrète comme une produit scalaire avec une ensemble de base orthogonales e jπfn. Mais, pour quelles valeurs de f? Dans un système numérique, l'ensemble de fréquence est fini et discrèt. mais, Combien de valeur de f? et Quelle interval de f? La densité des echantillonage en f depend du durée du séquence. Donc for une séquence de duration 6 echantillons, w(n) Cos( πn 6 ) <=> W(f) * ( [δ(f 6 ) + δ(f + 6 ) ] ) f 0
Echantillonage en Fréquence : Soit une séquence x(n) non-null pour n [0, ]. x(n) = x(n). w(n) => X(ω) = X(ω) * W(ω) donc X(f) = <e jπfn, x(n)> =<e jπfn, x(n). w(n)> = x(n). w(n). e jπfn = x(n). (Cos(πfn) j Sin(πfn)). w(n) = <w(n). e jπfn, x(n)> Donc il faut composeé en f avec W(ω)* δ(ω n ) = W(ω ω n ) ou bien W(f)* δ(k Δf) = W(f k Δf).
Combien de valeur de f? Pour N échantillons indépendants, x(n), il faut N échantillons de f = k Δf. Quelles valeurs de f? Quand Δf = N les nulls de chaque W(f k Δf) s'aligne. Σ W(f kδf) f On peut distribuer les N echantillons sur l'intervalle de f entre {, }. On obtient : f = k Δf pour k [ N, N ]