TES/Spé TL Eléments de correction du D.N.S. n 11 dujeudi 15 Mai 2014 Objectifs : Modélisation d un problème à l aide d une suite Etude de fonctions et calcul d une intégrale Exercice 1 : Pondichéry 2014 Une association décide d ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40% des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d une année restent présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s intéresse au nombre d oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite (u n ) admettant pour premier terme u 0 = 115, le terme u n donnant une estimation du nombre d oiseaux l année 2013 + n. 1. Calculer u 1 et u 2. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats? 2. Les spécialistes déterminent le nombre d oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de chaque année à l aide d un algorithme. a. Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme 3 permet d estimer le nombre d oiseaux présents au 1er janvier de l année 2013 + n. Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu. Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 àu Pour i de 1 à N faire Affecter 0,6 U +120 àu Fin Pour Afficher U Fin Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 115 à U Affecter 0,4 U +115 à U Fin Pour Afficher U Fin Variables : U est un nombre réel i et N sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour N Affecter 115 à U Pour i de 1 à N faire Affecter 0,4 U + 120 à U Fin Pour Afficher U Fin algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3
b. onner, pour tout entier naturel n, l expression de u n+1 en fonction de u n. 3. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = u n 200. a. Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser v 0. Autre méthode : On sait de plus que v n = u n 200 Donc u n = v n +200 On en déduit que : v n+1 = 0,4 (v n + 200) 80 = 0,4 v n + 80 80 = 0,4 v n b. Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. c. En déduire que pour tout entier naturel n,u n = 200 85 0,4 n. d. La capacité d accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant? Justifier la réponse.
4. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1 er janvier. Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1 er janvier 2013 et le31 décembre 2018 si l on suppose que l évolution du nombre d oiseaux se poursuit selon lesmêmes modalités durant cette période.
Exercice 2 : Amérique du sud : Novembre 2009 Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur l intervalle ] 0 ; + [ telles que pour tout réel x de cet intervallef(x) = (x e)(lnx 1)et g (x) = lnx e x La courbe représentative de la fonction g dans un repère du plan est donnée en annexe et l unité graphique est 2 cm. PARTIE 1 1. Démontrer que la fonction g est strictement croissante sur l intervalle ]0 ; + [. Première méthode : on cherche le signe de la dérivée Pour tout x de ] 0 ; + [, g (x) = lnx e x = lnx e 1 x Donc g (x) = 1 x e ( -1 x 2 ) = 1 x + e x 2 1 Or, pour tout x de ] 0 ; + [, x est strictement positif et e x 2 est strictement positif, donc leur somme g (x) est strictement positif. On en déduit que la fonction g est strictement croissante sur l intervalle ]0 ; + [. Autre façon d étudier le signe de g (x) g (x) = 1 x + e x 2 = x +e x 2 x 0 + Signe de x + e + Signe de x 2 + Signe de g (x) + Variation de g Seconde méthode : 2. Calculer g(e) et, grâce à la question 1, donner le signe de g(x) pour tout x strictement positif.
x 0 e + Variation de g 0 Signe de g (x ) 0 + PARTIE 2 1. On note f la dérivée de f.démontrer que f (x) = g (x) pour tout nombre réel x strictement positif. 2. Établir le tableau des variations de la fonction f. 3. Représenter graphiquement la fonction f sur l annexe cidessous. PARTIE 3 Soit F la fonction définie et dérivable sur l intervalle ]0 ; + [ telle que pour tout réelx de cet intervalle : F(x) = x 2 2 ex lnx +2ex 3 4 x2 1. Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l intervalle]0 ; + [.
2. On considère le domaine délimité par la courbe C f l axe des abscisses, lesdroites d équations x = 1 et x = e. a. Hachurer ce domaine sur le dessin. b. Calculer la valeur exacte de 1 e f ( x) dx c. En déduire une valeur approchée arrondie au centième de l aire du domaineexprimée en cm 2.