Miroirs sphériques I 64. Un miroir concave est une calotte de diamètre 0 cm sur une sphère de rayon R m. Un disque lumineux de même axe que le miroir et de diamètre d 6 cm se trouve à mi-distance entre le centre et le sommet du miroir. Quel est le diamètre y du faisceau de lumière qu'il produit par réflexion dans le miroir à une distance D km de celui-ci? II 49. ) Montrer que, si l image d un point A dans un miroir sphérique de centre C et I de rayon R existe, elle se situe sur la droite AC. i ) Soit I un point du miroir, θ l angle ( CS, CI ) et A l intersection de la droite AC et du rayon IA issu de la réflexion en I par le miroir sphérique du rayon AI. Montrer que : θ cosθ CA A C A S On pourra utiliser la propriété selon laquelle les longueurs des cotés d un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. 3) En déduire qu il n existe pas en toute rigueur d image A de A. 4) Dans l approximation de Gauss, on ne considère que les rayons voisins de CA. Montrer qu alors il existe une image A de A et précisez la relation de conjugaison reliant les positions algébriques de A et de A, caractérisées par CA et CA. III 48. Une personne observe son œil, de rayon cm, dans un miroir sphérique concave de rayon de courbure 0 cm. L œil n accommode pas, donc l image observée est à l infini. ) A quelle distance du miroir l œil est-il situé? ) Quel est le diamètre apparent de l œil dans ce miroir? 3) Le plus petit détail que peut distinguer l œil est vu par celui-ci sous un angle de 3.0-4 radian. Quel est la taille du détail le plus fin de l œil que celui-ci est capable de distinguer? 4) On approche l œil de cm dans la direction du miroir. A quelle distance l œil doit-il accommoder? IV 33. Télescope. Un télescope est constitué de deux miroirs M et M placés en regard. Les rayons lumineux se réfléchissent successivement sur le miroir primaire M, un miroir sphérique concave de foyer F et de distance focale f, puis sur le miroir secondaire M, un miroir sphérique convexe de foyer F et de distance focale f. Une petite ouverture dans M permet de laisser passer au travers les rayons voisins de l axe. M ) Où se trouve et quelle est la grandeur de l image A B que donne le miroir M d un M objet situé à l infini et vu sous l angle α. ) Le miroir M donne de A B une image réelle A B située au niveau de M..a) Où peut se trouver un objet pour qu un miroir convexe en donne une image réelle?.b) En déduire un schéma qualitatif du système en indiquant les positions relatives des deux miroirs et de leurs foyers et le trajet d un rayon lumineux arrivant parallèle à l axe..c) On appelle distance focale φ du télescope la distance focale de la lentille qui donnerait d un objet à l infini une image de même taille que celle donnée par le télescope. Exprimer φ en fonction de f et du grandissement γ de M. 3) Pour le télescope du mont Palomar, φ 80 m et f 6,8 m. Calculer f et la distance e séparant les deux miroirs. 4) La Lune est vue à l œil nu sous l angle α 30 minutes d arc (un demi degré). Quelle est la taille de l image qu en donne le télescope du mont Palomar? 5) Pourquoi préfère-t-on observer les étoiles et galaxies très lointaines avec un télescope, utilisant deux miroirs, plutôt qu avec une lunette utilisant des lentilles? V 9. ) On veut que deux miroirs sphériques M et M équivalent à une lentille mince L. Soit un rayon réfléchi en I par M, puis I par M. Que peut-on dire sur ce rayon s il passe par le centre optique O de L? Montrer que les centres C et C des miroirs sont confondus. ) Montrer que les formules de conjugaison et de grandissement de la lentille équivalente sont vérifiées pour la lumière réfléchie successivement par les deux miroirs et déterminer le vergence de cette lentille en fonction de CS et CS. 3) On veut collecter la lumière émise par une étoile située dans la étoile C + R r R S S r r DS : miroirs sphériques, page
direction de l axe. Soit r le rayon d ouverture et R CS 0 m 0 le rayon de courbure du miroir primaire, le > rayon d ouverture et R CS 3R / 4 le rayon de courbure du miroir secondaire, r le rayon de l ouverture pratiquée dans le miroir primaire pour laisser passer la lumière réfléchie par le miroir secondaire. Quelles sont les valeurs optimales de r et r? 4) Où faut-il placer le récepteur de la lumière de l étoile? 5) Chaque miroir réfléchit 95 % de la puissance lumineuse et en absorbe 5 %. Quel est le rapport des puissances lumineuses reçues par le dispositif considéré et par un détecteur convenablement placé devant un miroir concave de rayon d ouverture r. 6) On observe aussi une autre étoile située dans une direction faisant l angle α 0 minutes d arc avec l axe. Quelle est la distance entre les images des deux étoiles? VI. Rétroviseur. Un rétroviseur est constitué par un miroir convexe de rayon de courbure R m et délimité par un cercle de rayon r 0, 05 m. L observateur est placé à m de ce miroir. Quelle est le rayon D du champ visible 00 m derrière l observateur? Réponses I. 0 m. II 4) CA + CA. CS III. ) f R / 0 cm ; ) α AB / f 0,rad ; 3) AB f α 003mm, ; 4) 99 cm. IV. ) dans le plan frontal de F ; AB focal ;.b) voir figure ;.c) fα ;.a) entre le miroir et son plan φf e 3,9 m ; f φ + f 3, 7 m ; φ γ f ; 3) 4) AB φα 0, 7 m ; 5) l avantage le plus important d un grand miroir est de collecter plus de lumière. V. ) V ; 3) ; r r ; 4) il faut placer le CS r r / /3 < < r CS / ( ) récepteur au foyer image F' de la lentille équivalente : CF ' 5 m ; 5) 0, 95 ( r / r ) 7, 5 % ; 6) CF. α 0,0436m. VI. D 5, m. r F F S M M DS : miroirs sphériques, page
Corrigé I. Le disque lumineux de diamètre AB 6cm est dans le plan focal du miroir. Son AB image, située à l infini, a pour grandeur α. Or, le plan à une distance D est f y Dd 000 0, 06 presque à l infini, donc α y y 0 m. D f 0, 5 Nous avons négligé le rôle du diamètre du miroir, car on regarde ce qui se passe entre plans presque conjugués. II. ) S il existe une image de A, elle doit être sur le rayon réfléchi SCA issu du rayon incident ACS. ) Utilisons les relations existant dans les triangles CAI et CA I : sin i sin( θ i) sin i sin( θ + i) R sin i sin( θ i) sinθ cosi sin i cosθ CA R sin i sin( θ + i) sinθ cosi + sin i cosθ CA Prenons la différence membre à membre : R sin i R sin i sin i cosθ CA CA cosθ CA 3) Si A a une image, c est A, dont la position ne devrait pas dépendre de θ, contrairement à la relation trouvée en ). θ 4) Pour θ petit, cosθ ; la position de A est stationnaire, elle ne varie que d un infiniment petit en θ par rapport au point A défini par CA + CA. CS F A f R / 0,5m III. ) L œil est dans le plan focal du miroir, à f R / 0 cm du miroir. ) Le miroir donne de l œil AB une image à l infini, vue sous l angle α AB / f cm/0cm 0, rad. 4 3 3) AB fα 0 cm 3.0 30. cm 0, 03 mm. 0 4) FA FA f FA 00 cm AA 00 99 cm. L œil accommode donc à 99 cm. IV. ) A B est dans le plan frontal de F ; sa taille est AB fα..a) L image est réelle si l objet est situé entre le miroir et son plan focal. Pour le montrer, orientons l axe vers l extérieur du miroir (figure). Démonstration. L image est réelle si SA > 0. Or +. D où SA SA SF > 0, soit SF SA SA < SF. Comme SF < 0, SA < 0, d où SF < SA < 0. Démonstration. L image est réelle si FA > FS. Comme FA FA FS, FS cette condition devient FA.b) Voir figure. > FS > 0, soit 0 < FA < FS B F A A' α S B' à l A F F S M M F DS : miroirs sphériques, page 3
.c) AB γ AB. Or AB φα. Donc φ γ f. 3) Exprimons à l aide des formules de Descartes que F et S sont conjugués par rapport à M : SS e φ φ f 80 6, 8 γ e 3,9 m SF f e f φ + f 80 + 6, 8 + + f 3, 7 m f SF SS 3,9 6, 8 3,9 Le signe négatif de f est conforme à ce que M est convexe. π 4) AB φα 80 0,5 0,7 m qui est trop grand ; pratiquement, on ne peut observer qu une partie de 80 la Lune. 5) On sait faire des miroirs de 5 à 0 mètres de diamètre d ouverture, alors que celui d une lentille ne peut excéder mètre. L avantage le plus important d un grand diamètre d ouverture est de collecter plus de lumière : un télescope à miroir permet d observer des astres peu lumineux. En outre, la limitation du pouvoir séparateur par la diffraction est améliorée par une plus grande ouverture. La combinaison de deux miroirs est semblable à la combinaison de deux lentilles par le téléobjectif, elle réduit l encombrement de l appareil. Cette réduction est aussi due au repliement par les miroirs du faisceau lumineux. Un autre avantage des miroirs sur les lentilles est l absence d aberration chromatique. V. x I ) Pour une lentille, un rayon qui passe par le centre optique n est pas dévié. Supposons que ce rayon soit le rayon xi I I x' de la figure. Alors, I x a pour support la même droite que I x, donc que I I. Comme I x et I I ont même support, ce support doit x' être perpendiculaire au miroir primaire : il contient le centre C du miroir primaire ; comme I I et I x' ont même support, ce support contient également le centre C du miroir secondaire. Si C et C, ne sont pas confondus, il n a qu un rayon qui pesse par ces deux points, alors qu il faut que tous les rayons passant par O passent par C et C. Donc C et C sont confondus. Remarque : toute droite passant par le centre commun C des miroirs est axe de révolution des miroirs ; l axe de la lentille équivalente est donc indéterminé ; en pratique, cet axe est déterminé par les rayons utilisés, car l approximation de Gauss est d autant mieux vérifiée que les rayons sont proches de l axe. ) Soit AB un objet, A B l image qu en donne le miroir primaire et A'B' l image que le miroir secondaire donne de A B. D après les formules des miroirs sphériques avec origine au centre : + et + donnent par différence. CA CA CS CA CS CA CS CS A B CA A B γ et γ donnent par produit AB CA A B CA γ γ γ A B AB CA. Ce sont les formules d une lentille de centre optique C et de vergence V. Son CS CS 3R / 4 R R foyer image F' est distant de C de f CF 3 R / 5m. 3) Soit B l objet situé dans le plan frontal de C et tel que CB r. Comme le grandissement est au niveau du centre, le miroir primaire en donne une image B symétrique de B par rapport à C ; le miroir secondaire donne de B une image B' symétrique de B par rapport à C, donc confondue avec B ; ceci est en accord avec l idée que le plan frontal de C contient la lentille équivalente, dont le grandissement est + au niveau de cette lentille. La figure ci-contre montre que le rayon issu de l étoile et le plus éloigné de l axe, après réflexion sur le miroir primaire, frappe le miroir secondaire à une distance de l axe /. Les autres rayons r 3 le frappent plus près de l axe, donc l optimum de r est r r / ; si le miroir secondaire est plus grand, sa face arrière intercepte davantage de la lumière émise par l étoile. Cette même figure montre que le rayon après deux réflexions passe dans le plan du miroir primaire à une distance r / 3 de l axe, donc que l optimum est r > r / 3. Enfin pour que tous les rayon non arrêtés par la face arrière du miroir secondaire atteignent le miroir primaire, il faut que r < r /. B C B DS : miroirs sphériques, page 4 F F'
4) Il faut placer le récepteur au foyer image F' de la lentille équivalente : CF ' 5 m. 5) Avec un seul miroir, on recueille 95 % de la lumière reçue par un disque de rayon. πr πr Avec ce dispositif, on recueille la fraction 0,95 de cette puissance. πr Le rapport de la puissance recueillie par ce dispositif à celle recueillie par un seul miroir est donc 0, 95 ( r / r ) 0, 95 / 7, 5 %. ( ) ( ( ) ) 6) Comme un degré vaut 60 minutes d arc et comme π radians valent 80,dix minutes d arc valent 0 0 π 0 π rad. La distance entre les images est égale à C F. α 5 0,0436 m. 60 60 80 60 80 VI. Considérons des rayons faisant le trajet inverse de l œil au spectacle observé. L image de l œil dans le rétroviseur est situé en A' tel que + SA m. D où le champ tel que SA SA SF 3 0, 5 D 0, 05 D 5, m. 00 + + / 3 / 3 D r A DS : miroirs sphériques, page 5