les racines carrées : 1) Introduction : il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 4 c est 2. il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 9, c est 3. Existe il un nombre positif dont le carré est 2? Lorsqu on pose cette question, on doit sans doute préciser à l interlocuteur, ce qu on entend par nombre. a) Existe il un nombre décimal positif dont le carré est 2? Le dernier chiffre non nul de l écriture décimale de ce nombre serait 1,2,3,4,5,6,7, 8 ou 9. or si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 1 alors celui de son carré est 1. si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 2 alors celui de son carré est 4. si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 3 alors celui de son carré est 9 si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 4 alors celui de son carré est 6. si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 5 alors celui de son carré est 5. si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 6 alors celui de son carré est 6. si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 7 alors celui de son carré est 9. si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 8 alors celui de son carré est 4. si le dernier chiffre de l écriture décimale d un nombre est 9 alors celui de son carré est 1. conclusion : il n existe pas de nombre décimal dont le carré est 2. b) Existe il un nombre rationnel dont le carré est 2? Supposons que l on puisse trouver un nombre rationnel positif dont le carré est 2 et notons la fraction irréductible correspondante. On a donc : et. On déduit de cette deuxième égalité que : ce qui permet d affirmer que 2 divise donc que est un nombre pair. Comme le carré d un nombre impair est impair, est nécessairement pair et s écrit donc et p est divisible par 2. en remplaçant par dans, on obtient : soit aprés simplification par 2. Le raisonnement appliqué à p précédemment peut être appliqué à q donc q est lui aussi divisible par 2. bilan si il existait un nombre rationnel dont le carré est 2 on pourrait trouver : deux nombres entiers et tels que : soit divisible par 2 et soit divisible par 2 donc qui auraient comme diviseurs communs 2 or leur pgcd vaut 1.Ce qui est impossible conclusion : il n existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2. c) Recherche de valeurs arrondies de plus en plus précises. On suppose connu le résultat suivant :
Les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que ces nombres. Si un nombre positif dont le carré est 2 existe, il est compris entre 1 et 2 car il est compris entre 1,4 et 1,5 car il est compris entre 1,4 et 1,42 car il est compris entre 1,4 et 1,42 car. On admet que l on peut poursuivre ce processus avec autant de précisions que l on veut. 2) Théorème (admis) Etant donné un nombre positif, il existe un et un seul nombre positif dont le carré est. Ce nombre est noté. il est appelé racine carrée de a. on peut donc énoncer 3) Exemples : 4) Remarques : sur ces exemples on s aperçoit que : la racine carrée de a n est pas nécessairement un nombre inférieur à a. une racine carrée peut être un nombre entier. une racine carrée peut être un nombre décimal non entier. une racine carrée peut être un rationnel non décimal. 5) Règles de calculs sur les racines carrées : a) SOMME si et ne sont pas nuls exemple : et b) PRODUIT et désignent des réels positifs
preuve : est par définition le nombre positif dont le carré est. or est un nombre positif dont le carré est car. D après le théorème il existe un et seul nombre positif dont le carré est Applications : c) DIVISION : exercice 1 vrai ou faux a) l inverse de racine de 2 est égale à la moitié de racine de deux. VRAIE b) l inverse de racine de 3 est égale au tiers de racine de trois. VRAIE on rappelle que le nombre d or est c) l inverse du nombre d or est égal à ce nombre d or moins 1. VRAIE or d) il existe deux nombres entiers a et b tel que : FAUX e) il existe deux nombres rationnels a et b tel que VRAI et f) il existe un nombre irrationnel compris entre 1,5 et 1,6 : VRAI rappel : un nombre rationnel a une écriture décimale limitée ou illimitée et périodique un nombre irrationnel a une écriture décimale illimitée et non périodique exemple 1,5123456789101112131 obtenu en écrivant la suite des nombres après la virgule. + donc
g) il existe une infinité de nombres irrationnels entre 1,5 et 1,6 VRAI exercice 2 Affirmation 1 : Un nombre positif est toujours supérieur ou égal à sa racine carrée. FAUX car 2. Affirmation 2 : La fraction est irréductible.non car la somme des chiffres du numérateur et celle des chiffres du dénominateur est divisible par 3 3. Affirmation 3 : II existe au moins un nombre entier compris entre 11 000 et 12 000, dont le plus grand diviseur commun avec 2 180 est 545. OUI Si un tel nombre existe, Notons le N 545 divise N. N est égal à 11445 ou N=11990. Décomposons : 2180 en facteurs premiers. décomposons 11445 en facteurs premiers
or donc pgcd de (2190 ;11445)= vraie.