Activités numériques sur 12 points Exercice 1 Le questionnaire à choix multiples Réponse A Réponse B Réponse C 1 Les nombres 49 et 64 sont premiers entre eux sont divisibles par 7 sont divisibles par 8 2 Les nombres 270 et 147 sont premiers entre eux sont divisibles par 3 sont divisibles par 9 3 24 et 20 ont exactement un diviseur commun deux diviseurs communs trois diviseurs communs 4 7 est un diviseur de 71 107 91 12 12 36 5 L image de 2 par la fonction f : x 3x² est 6 La solution de l équation 2x + 8 = 5x 4 est 4 0 7 g(4) = 2 se traduit par «4 est l image de 2» «2 a pour antécédent 4» «4 a pour antécédent 2» 12 7 8 Entre 18h45 et 19h, Paul a parcouru 30km ; sa vitesse est 60km/h 120km/h 30km/h Question 1 Les diviseurs de 49 sont 1 ; 7 ; 49 Les diviseurs de 64 sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 49 est divisible par 7 mais pas par 8 ; 64 est divisible par 8 mais pas par 7 Deux nombres sont premiers entre eux si leur unique diviseur commun est 1. 1 est l unique diviseur commun des nombres 49 et 64. Donc, Réponse A Question 2 2 + 7 + 0 = 9 9 est un multiple de 3 et de 9 1 + 4 + 7 = 12 12 est un multiple de 3 et pas de 9. Réponse B
Question 3 Les diviseurs de 24 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 : 8 ; 12 ; 24. Les diviseurs de 20 sont 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.. Réponse C Question 4 71 et 107 sont des nombres premiers (divisibles que par 1 et par eux-mêmes) 91 = 7 13 Réponse C Question 5 Réponse B Question 6 on retranche 5x aux deux membres de l égalité on retranche 8 aux deux membres de l égalité on divise par -7 les deux membres de l égalité d où Réponse C Question 7 g(4) = 2 «2 a pour antécédent 4» Réponse B Question 8 Entre 18h45 et 19h, Paul a parcouru 30km ; ce qui signifie qu en un quart d heure Paul a parcouru 30km. En une heure, Paul aura donc parcouru une distance 4 fois plus grande 4 30km = 120 km Réponse B Exercice 2 Les gousses de vanille Voici, pour la production de l année 2009, le relevé des longueurs de gousses de vanille d un cultivateur en Longueur en cm 12 15 17 22 23 Polynésie : Effectif 600 800 1800 1200 600
1. Quel est l effectif total de cette production? L effectif total de cette production est le nombre total de gousses de vanille. 600 + 800 + 1 800 + 1 200 + 600 = 5 000 2. Le cultivateur peut seulement les conditionner dans des tubes de 20 cm de long. Quel pourcentage de cette production a-t-il pu conditionner sans plier les gousses? Il faut tout d abord déterminer le nombre de gousses de vanille dont la longueur est inférieure à 20 cm de long (il faut prendre les effectifs qui correspondent à une longueur de 12cm, de 15cm et de 17cm et ensuite il faut les additionner) 600 + 800 + 1 800 = 3 200 Dans cette production de 5 000 gousses de vanille, il y a 3 200 gousses de longueur inférieure à 20cm. Soit la proportion 3. La chambre d agriculture décerne une récompense (un «label de qualité») aux agriculteurs si : - la longueur moyenne des gousses de leur production est supérieure ou égale à 16,5 cm ; - et plus de la moitié des gousses de leur production a une taille supérieure ou égale à 17,5 cm. Ce cultivateur pourra-t-il recevoir «ce label qualité»? Il faut tout d abord remarquer que le nombre de gousses de vanille dont la longueur est supérieure ou égale à 17,5 cm de long (il faut prendre les effectifs qui correspondent à une longueur de 22cm et de 23cm et ensuite il faut les additionner) 1 200 + 600 = 1 800 < 2 500 Donc, moins de la moitié des gousses de vanille de leur production a une taille supérieure ou égale à 17,5 cm ; par conséquent, le 2è critère pour l obtention du label n est pas vérifié. Remarque Le calcul de la moyenne des longueurs de gousses de vanille n était donc pas nécessaire! A titre indicatif, cette longueur moyenne correspond à un calcul de moyenne pondérée. La longueur moyenne des gousses est de 18cm donc le 1è critère pour l obtention du label est vérifié mais pas le second critère Pour obtenir ce label qualité, le cultivateur devait satisfaire aux deux critères!
Exercice 3 Les places de cinéma Dans une salle de cinéma, les enfants paient demi-tarif et les adultes paient plein tarif. Deux adultes et cinq enfants ont payé au total 31,50. 1. Combien paiera un groupe composé de quatre adultes et de dix enfants? 4 prix adulte + 10 prix enfant = 2 (2 prix adulte + 5 prix enfant) = 2 31,50 = 63 31,50 d après l énoncé Quel est le prix payé par un adulte? On mathématise la situation par une équation dont la solution sera la réponse au problème. Notons x le prix payé en euro par un adulte. D après l énoncé, les enfants paient demi-tarif ; par conséquent, le prix payé par un enfant est euro. Etant donné que deux adultes et cinq enfants ont payé au total 31,50 ; cela se traduit par l équation suivante :. Activités géométriques sur 12 points Exercice 1 Géométrie dans l espace (des volumes) Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm. Le pot de glace au chocolat ayant la forme d un parallélépipède rectangle est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.
1) a) Montrer que le volume d un pot de glace au chocolat est 3600 cm 3. Le pot de glace au chocolat ayant la forme d un parallélépipède rectangle, son volume est donné par la formule suivante V pavé droit b) Calculer la valeur arrondie au cm 3 du volume d un pot de glace à la vanille. Le pot de glace à la vanille ayant la forme d un cylindre, son volume est donné par la formule suivante V cylindre π 2) Calculer la valeur arrondie au cm 3 du volume d une boule de glace contenue dans la coupe. Une boule de glace ayant la forme d une boule, son volume est donné par la formule suivante V 3 = V boule 3) Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille? Pour composer 100 coupes de glace, le restaurateur devra faire 100 boules de glace à la vanille et 200 boules de glace au chocolat. 100 boules de glace à la vanille représentent un volume de 3 900cm 3 et un pot de glace à la vanille a un volume de 2 309cm 3 ; il faudra donc 2 pots de glace à la vanille. 200 boules de glace au chocolat représentent un volume de 7 800cm 3 et un pot de glace au chocolat a un volume de 3 600cm 3 ; il faudra donc 3 pots de glace au chocolat.
Exercice 2 Géométrie plane 1 ) La construction Dans la figure ci-dessous, l unité est le centimètre On doit suivre le programme de construction suivant : Tracer un segment [AB] tel que AB = 3cm Tracer la perpendiculaire (Δ) au segment [AB] passant par B. Tracer le cercle ( ) de centre A et de rayon 8cm ; ce cercle recoupe (Δ) en deux points ; notons C l un de ces deux points. Tracer alors le triangle ABC. Placer le point E sur le segment [AB] tel que AE = 2,4cm et placer le point D sur le segment [AC] tel que AD = 6,4cm ; tracer le segment [ED]. 2 ) Montrer que (ED) est parallèle à (BC). Pour démontrer que les droites (ED) et (BC) sont parallèles, je vais utiliser la réciproque de la propriété de Thalès Si les quotients et sont égaux et si les points A, E, B et les points A, D, C sont alignés dans ce même ordre alors les droites (ED) et (BC) sont parallèles D une part, D autre part, = Donc, = Comme les quotients et sont égaux et comme les points A, E, B et les points A, D, C sont alignés dans ce même ordre alors je peux conclure que les droites (ED) et (BC) sont parallèles d après la réciproque de la propriété de Thalès.
3 ) Montrer que AED est un triangle rectangle. On sait que : (ED) // (BC) et (AB) (BC) Or, si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc, (ED) (ED) Par conséquent, le triangle AED est rectangle en E. Exercice 3 Triangle rectangle ou non On a dessiné et codé quatre figures géométriques. Dans chaque cas, préciser si le triangle est rectangle ou non. Figure 1 Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans un cercle de diamètre son plus grand côté. Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de centre O et de rayon OA mais aucun de ses côtés n est le diamètre de son cercle circonscrit. Le triangle ABC n est pas inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés. D après la réciproque de la propriété énoncée ci-dessus, on peut conclure que le triangle ABC n est pas rectangle. Figure 2 Si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle. D une part, AC² = (4,25cm = 18,0625c D autre part, AB² + BC² = (3,75 + (2cm = 14,0625c + 4 = 18,0625c Comme AC² = AB² + BC², alors je peux conclure que le triangle ABC est rectangle en B d après la réciproque de la propriété de Pythagore.
Figure 3 Dans un triangle, si la longueur de la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté alors ce triangle est rectangle. D après le codage, D est le milieu du côté [AB] donc [CD] est la médiane relative au côté [AB] et CD = AB/2 Dans le triangle ABC, la médiane [CD] relative au côté [AB] mesure la moitié de ce coté [AB]. D après la propriété énoncée ci-dessus, on peut conclure que le triangle ABC est rectangle. Figure 4 Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180. = 180 - = 180-49 - 36 = 95 90 Etant donné que le triangle ABC ne possède aucun angle droit, le triangle ABC n est pas rectangle Problème sur 12 points 1 ère Partie : des lectures de documents de l annexe 1 1. Est-il vrai que le «London Eye» est plus de deux fois plus haut que la grande roue installée à Paris en août 2010? 2. Quelle est la différence de hauteur entre le «London Eye» et la grande roue de Pékin? 3. Combien de temps dure un tour complet de la roue dans le «London Eye»?
4. Combien de personnes au maximum peuvent se trouver ensemble dans le «London Eye»? (32 cabines ) ( 25 personnes par cabine ) = 800 personnes 2 ème Partie : Le tour de roue d une cabine du «London Eye» 1. Une cabine du «London Eye» quitte le sol à 14 h 40. À quelle heure y reviendra-t-elle après avoir fait un tour? Vu qu un tour complet de la roue se fait en 30minutes, l heure de retour au point de départ est 14h40min + 30min = 15h10min 2. Pour cette question, on utilisera le graphique donné dans le document 3 de l ANNEXE 1. a. Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine cinq minutes après son départ du sol. Voir le tracé rose du graphique ci-dessus b. Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine dix minutes après son départ du sol. Voir le tracé rouge du graphique ci-dessus
c. Au cours des quinze premières minutes de la montée, la hauteur à laquelle se trouve la cabine est-elle proportionnelle au temps écoulé depuis son départ du sol? Etant donné que les points du graphique (au cours des quinze premières minutes) ne sont pas alignés alors la hauteur à laquelle se trouve la cabine n est pas proportionnelle au temps écoulé depuis son départ du sol On peut aussi dire : «si on double une durée (au cours des quinze premières minutes) alors la hauteur de la cabine n est pas doublée! (on peut le remarquer avec les questions 2a. et 2b.) OU d. Donner une estimation de la durée pendant laquelle la cabine sera à plus de 100 m de hauteur par rapport au sol pendant un tour. Voir les tracés verts du graphique ci-dessus 3. Calculer le périmètre de la roue. Donner le résultat arrondi au mètre près. P roue P roue 4. La roue tourne à une vitesse constante. Est-il exact que la cabine se déplace à moins de 1 km/h?
3 ème Partie - Calcul de la hauteur de la cabine par rapport au sol La roue ne s arrête pas pour laisser monter et descendre ses passagers. Elle tourne à une vitesse très faible et constante. Sur le schéma, le point C représente la cabine. Quand la cabine se trouve en bas, le point C est confondu avec le point D. Pendant que la roue tourne, on admet que l angle est proportionnel au temps écoulé depuis que la cabine a quitté le sol. 1. Compléter les schémas de l ANNEXE 2, en plaçant le point C où se trouve la cabine à l instant précisé. On considère qu au départ, la cabine est en bas. 2. a. Quelle est la mesure de l angle cinq minutes après le départ? En cinq minutes, la roue a effectué d un tour complet (360 ) D où = b. Quelle est alors la nature du triangle COD? Les segments [OC] et [OD] sont des rayons du cercle de centre O donc OC = OD Par suite, le triangle OCD est isocèle en O (qui est alors son sommet principal!) On sait que = 60 (question précédente 2a.) et que le triangle COD est isocèle en O. Or, Si un triangle isocèle a un angle à 60 alors ce triangle est équilatéral. Donc, le triangle COD est équilatéral. c. Retrouver par le calcul la hauteur exacte à laquelle se trouve la cabine cinq minutes après qu elle a quitté le sol. Dans le triangle équilatéral COD, la hauteur issue de C est aussi la médiatrice de [OD] et coupe donc le segment [OD] en son milieu K. La hauteur exacte à laquelle se trouve la cabine, cinq minutes après qu elle a quitté le sol correspond à la longueur du segment [KD]. KD = Après cinq minutes, la cabine se trouve exactement à 33,5m du sol.