4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle matrice à coefficients dans K à n lignes et p colonnes, toute application de [, n] [, p] à valeurs dans K On parle aussi de matrice (n, p ou matrice n p à coefficients dans K Les entiers n et p sont les dimensions de la matrice On note K n,p ou M n,p (K l ensemble des matrices n p à coefficients dans K Cette définition n est que la formalisation mathématique de la notion de tableau à n lignes et p colonnes, à coefficients dans K Comme pour les suites, on utilisera un double indice plutôt que la notation fonctionnelle pour représenter les éléments de la matrice : si A est une matrice n p, alors l élément de la i-ème ligne j-ème colonne est noté a i,j et on notera A = (a i,j i n j p ou bien A = a, a, a,j a,p a, a, a,j a,p a i, a i, a i,j a i,p a n, a n, a n,j a n,p On appelle i-ème ligne de A le vecteur (a i,, a i,,, a i,p de K p, j-ème colonne de A le vecteur (a,j, a,j,, a n,j de K n, que l on notera le plus souvent a,j a,j sous forme de colonne a n,j si n = on dit que A est une matrice ligne, si p = on dit que A est une matrice colonne La transposée de A, notée A t ou bien t A, est une matrice (p, n dont l élément générique b i,j est a j,i Elle est obtenue à partir de A en permutant les lignes et colonnes On a bien sûr (A t t = A Dans la pratique, pour alléger les notations, on omettra le plus souvent la virgule entre les deux indices et on écrira a plutôt que a, L éventuelle ambiguité sera levée par le contexte Pierre Puiseux
Chapitre 4 Matrices Fig Différentes régions d une matrice 4 Matrices carrées si n = p on dit que A est une matrice carrée Lorsque A est une matrice carrée, on dit qu elle est : triangulaire inférieure si (i, j, i < j a i,j = ; elle est de la forme : a, A = a n, a n,n triangulaire supérieure si (i, j, i > j a i,j = ; elle est de la forme : a, a,n A = a n,n diagonale si (i, j, i j a i,j = ; elle est de la forme λ A = λ n et on la note Diag (λ,, λ n Pour k [ n, n], la k-ème diagonale de A est le vecteur (éventuellement vide de coordonnées (a i,i+k max( k, i min(n k,p A est symétrique si et seulement si A est carrée et si A = A t ; A est antisymétrique si et seulement si A est carrée et si A t = A ; la matrice I n = Diag (,, K n,n est appelée matrice identité ; la matrice K n,n qui ne contient que des zéros est appelée matrice nulle ; On pourra démontrer à titre d exercice les propriétés suivantes : une matrice A est diagonale si et seulement si elle est triangulaire supérieure et triangulaire supérieure A est triangulaire supérieure si et seulement si A t est triangulaire inférieure
4 Opérations sur les matrices 3 la k-ème diagonale de A est également l ensemble des coefficients {a i,j, i n, j n, j i = k} 4 Addition de deux matrices 4 Opérations sur les matrices Définition Soient A = (a ij i n K n,p et B = (b ij i n K n,p deux matrices de mêmes j p j p dimensions On définit la somme C = A + B par Exemple ( 4 5 + ( 3 C = (c ij i n j p c i,j = a i,j + b i,j = ( 4 Produit de deux matrices Définition Etant données deux matrices et A = (a ik i m K m,n k n B = (b kj k n K n,p j p le produit A B est la matrice C = (c ij i m K m,p avec j p c ij = a ik b kj Remarque k n ( Comme on le fait pour le produit de deux réels, en l absence d ambiguïté, on notera AB ou AB au lieu de A B ( Pour pouvoir effectuer le produit de deux matrices A et B, il faut que les dimensions soient compatibles Un moyen efficace pour mémoriser la règle : le produit de deux matrices (m, n (n, p est une matrice (m, p, le produit «mange» la dimension intermédiaire, cette dimension doit être comestible! (3 Même si les deux produits sont définis, en général A B B A (4 Si A = (a i,k i m R m,n et X = (x i, i n R n,, alors en notant x i au lieu de x i, la i- k n ème coordonnée de X, le produit A X est la matrice A X = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n de R m, que l on peut confondre avec le vecteur de R m de même coordonnées (5 Pour des raison typographiques de commodité, les vecteurs colonne, c est à dire les éléments x de R n,, seront souvent notés X = (x, x,, x n T x plutôt que X = (6 Pratiquement, pour calculer le produit de deux matrices, on dispose les deux matrices de la manière suivantes : x n
4 Chapitre 4 Matrices Exemple ( ( 3 3 = ( ( 3 = (3 ( 3 4 5 5 6 5 7 3 3 = ( à comparer avec le résultat précédent ( ( 3 (4 Vérifier que AB BA : A = B = 3 4 4 (5 Soit D n (pour être complet il faudrait parler de D n (K l ensemble des matrices diagonales (à coefficients dans K et soient A D n et B D n Montrer que AB D n et que AB = BA Posons AB = C K n,n Pour i, j n, on a c i,j = k n a i,kb k,j Or les seuls termes a i,k [respb k,j ] non nuls sont ceux pour lesquels i = k [respk = j] Par conséquent, si i j alors au moins un des deux termes a i,k ou b k,j est nul donc c i,j = Si i = j, il ne subsiste dans la somme que le terme c i,i = a i,i b i,i D où le résultat (6 Soit T n (K (T n en abrégé l ensemble des matrices triangulaires supérieures (à coefficients dans K et soient A T n et B T n (a Montrer que AB T n (Difficile (b Donner un exemple montrant que la multiplication n est pas commutative dans T n (7 Le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique? Non car (AB t = B t A t = BA AB ( (8 Soit A = trouver une matrice B R,, non nulle, telle que AB = Calculer BA ( ( ( 4 La matrice B = convient car AB = et BA = 43 Produit d une matrice par un scalaire On dit que la multiplication est une opération interne sur Dn On dit que la multiplication des matrices est une opération commutative sur Dn
43 Propriétés 5 Définition Soit λ K et A = (a ij i m une matrice de K m,n Le produit du scalaire λ par la j n matrice A est la matrice λa = (λa ij i m j n Remarque Comme pour le produit de deux matrices, on notera souvent λa au lieu de λa Exemple = 43 Propriétés A, B et C désignent trois matrices quelconques dont les dimensions sont compatibles avec les égalités écrites λ et µ sont deux scalaires de K 43 Distributivité ( A (B + C = A B + A C, A R m,n, B et C R n,p ( (A + B C = A C + B C, A et B R m,n, C R n,p (3 λ (A + B = λa + λb, A et B R m,n (4 (λ + µ A = λa + µa, A R m,n 43 Associativité ( A + (B + C = (A + B + C, A, B et C R m,n ( A (B C = (A B C, A R m,n, B R n,p, C R p,q (3 A (λb = (λa B = λ (A B, A R m,n, B R n,p 433 Commutativité ( A + B = B + A, A et B R m,n ( A B B A, A R m,n, B R n,p 434 Elément neutre pour l addition m,n La matrice nulle m,n K m,n est la matrice ne contenant que des zéros Elle est élément neutre pour l addition des matrices dans K m,n, c est à dire A K m,n, A + m,n = m,n + A = A 435 Elément neutre pour la multiplication : I m,n ( La matrice identité, I n K n,n est élément neutre (à droite et à gauche pour la multiplication des matrices dans K n,n, c est à dire A K n,n, A I n = I n A = A ( Pour les matrices de K m,n : I n est élément neutre à droite et I m élément neutre à gauche pour la multiplication C est à dire : A K m,n A = A I n = I m A
6 Chapitre 4 Matrices 436 Divers ( Le produit de deux matrices diagonales D = Diag (d, d,, d n et D = Diag (d, d,, d n est la matrice diagonale D D = Diag (d d, d d,, d n d n ( Transposition (AB t = B t A t, A R m,n, B R n,p 437 L espace vectoriel (K m,n, +, Certaines propriétés de l ensemble des matrices K m,n peuvent être résumées en Théorème 4 (K m,n, +, est un espace vectoriel, c est à dire : (K m,n, + est un groupe commutatif ; le produit par un scalaire vérifie λ, µ K et A, B K m,n : λ (µa = (λµ A λ (A + B = λa + λb 438 L anneau des matrices carrées d ordre n Pour les matrices carrées d ordre n, les propriétés précédentes peuvent se résumer en : Théorème 4 (K n,n, +, est un anneau (unitaire, c est à dire : (K n,n, + est un groupe commutatif d élément neutre n La loi est interne, associative, et distributive par rapport à +, et elle admet un élément neutre I n 439 Matrice et application linéaire Définition 4 Une application u : R n R m est linéaire, si et seulement si X, Y R n, λ, µ R, u (λx + µy = λu (X + µu (Y Proposition 4 Toute application linéaire u : R n R m peut s écrire, pour tout X = (x, x,, x n T R n u (X = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n que l on peut condenser en u (X = AX avec A = (a ij i m j n Rm et X = (x, x, x n T Démonstration Admis Définition 4 La matrice A est appelée la matrice de l application linéaire u (sous entendu dans les bases canoniques de R n et R m Le «point» dans cette écriture correspond au produit matriciel On voit que les vecteurs colonnes de la matrice A sont les coordonnées des images des vecteurs de la base canonique de R n : pour e i = (δ ij j n, i-ème vecteur de la base canonique de R n, on a u (e i = (a i, a i,, a mi T qui est bien le i-ème vecteur colonne de A Théorème 43 Si u et v sont deux applications linéaires u : R n R m et v : R p R n de matrices A R m,n et B R n,p (dans les bases canoniques, alors l application linéaire u v : R p R m a pour matrice A B (dans la base canonique de R m,p
44 Inverse d une matrice 7 Démonstration X désignant les coordonnées du vecteur x dans la base canonique de R p, on a u v (x = u (v (x = u (B X = A (B X et par associativité de, on obtient le résultat Exemple 4 La matrice I n,n est la matrice de l application linéaire identité de R n : Id R n : X R n X R n { si i + j = n + La matrice A = (a ij i n définie par a ij = à l allure suivante A = j n sinon, elle est associée à la permutation u : R n R n (x, x,, x n (x n, x n,, x 43 Matrice d un système linéaire Un système d équations linéaires (ou plus simplement système linéaire à n inconnues x, x,, x n et m équations est une système d équations de la forme : ( a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m On peut écrire ce système u (X = B où u est une application linéaire de R n dans R m, de matrice a a a n a a a n A = Rm,n, où X est le vecteur colonne X = (x, x,, x n T a m a m a mn R n et B est le vecteur colonne B = (b,, b m T R m Le système linéaire ( s écrit donc matriciellement : AX = B 44 Inverse d une matrice Définition 43 Une matrice carrée A K n,n est dite inversible s il existe une matrice B K n,n vérifiant Si elle existe l inverse de A R n,n l ensemble R n,n AB = BA = I n est unique, elle est notée A, et appartient elle aussi à Démonstration Supposons que A admette deux inverses B et B alors AB = AB = I n En posant C = B B, et en utilisant les propriétés de distributivité, on obtient AC = n On multiplie cette équation à gauche par B et il vient B (AC = (BA C = n et comme (BA C = I n C = C on en déduit C = n c est à dire B = B, ce qui prouve l unicité
8 Chapitre 4 Matrices Exemple ( La matrice I n est ( inversible, elle est sa propre inverse car ( I n I n = I n ( La matrice A = admet pour inverse A = Proposition 4 Soient A R n,n une matrice, x = (x, x, x n T R n, et b = (b, b, b n T R,n deux vecteurs On considère le système linéaire de n équations à n inconnues Ax = b Si A est inversible, alors ce système admet la solution unique x = A b Démonstration Si Ax = b et A est inversible, alors A Ax = A b donc I n x = A b donc x = A b Réciproquement si x = A b alors Ax = AA b = I n b = b Proposition Une matrice A K n,n est inversible si et seulement si x K n, Ax = x = Une matrice diagonale D = Diag (d, d,, d n est inversible si et seulement si( ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, c est à dire d d d n Dans ce cas D = Diag d, d,, d n Démonstration admis Remarque Soit A R n,n une matrice inversible On se donne Y = y y n R n, quelconque Considérons l équation AX = Y dont l inconnue est la matrice X R n, Comme A est inversible, on peut écrire A (AX = A Y c est à dire, en utilisant l associativité de la multiplication : ( A A X = A Y soit finalement Y = AX X = A Y Donc si l on sait calculer une solution X de l équation AX = Y, cette solution dépend de Y, et cette dépendance fournit très précisément la matrice A comme le montre l équivalence ci dessus ( Exemple Soit A = ( A est inversible car ( Calculons son inverse : { x + x AX = = = x = ( = X = AX = Y { x + x = y x = y on en déduit que A = ( { x = y y x = y ( X = Y
44 Inverse d une matrice 9 ( ( ( (3 On vérifie (facultatif que l on a bien trouvé l inverse : = ( ( = Pour calculer l inverse d une matrice A R n,n, on résoud le système d équations linéaires AX = Y où Y = y R n, est quelconque La solution y n x est X = R n, dépend linéairement des y i, une dépendance de la x n forme matricielle X = BY On obtient alors A = B Méthode du pivot de Gauss pour le calcul de l inverse d une matrice : on écrit côte à côte la matrice carrée à inverser et la matrice identité Par des combinaisons linéaires de lignes, on introduit des dans la partie triangulaire inférieure de la matrice A On effectue les mêmes opérations sur la matrice identité On procède colonne par colonne Par exemple : ( (, on normalise les lignes l des deux matrices en les divisant par, de sorte à avoir sur la diagonale principale de A : ( (, on remplace la ligne l par l l dans les deux matrices, de sorte à mettre un zéro dans la première colonne de A : ( (, On continue à introduire des zéros sur toute la première colonne, puis sur la seconde colonne, dans la partie triangulaire inférieure de A Pour la colonne j, on utilise la ligne j, après l avoir normalisée, afin que le terme diagonal a jj soit égal à 3 On normalise la ligne l de A en la multipliant par 3 ( diagonale principale de A : ( A finir, 3 = 3 3 de sorte qu apparaisse un sur la