I. Clculs vec des frctions : ce fcteur : ) Rppels : LE CALCUL ALGEBRIQUE b = b = b = b Exemple : 3 x = x 3 = 3x ( b ) c = ( bc ) = bc Exemple : ( 3x ) 5 = 3 ( 5x ) = 15x 1 = 1 = b) Signe moins dns une frction L chose suivnte est à retenir : Ainsi pr exemple, les frctions 7 2 Si b 0 lors ( 1) b = = b et b = b 7 2 sont égles. On dit que b est l'opposé de b. c) Simplifiction d'une frction Dns une frction, lorsque le numérteur et le dénominteur ont un fcteur en commun lors on peut simplifier pr Si m 0 lors m b m = b 231 Exemple : 105 = 21 11 5 21 = 11 11. On ne peut ps simplifier plus, on dit que l frction 5 5 On pourr ussi utiliser l clculette pour simplifier une frction : Avec une TI est irréductible. On donner toujours un résultt sous forme de frction irréductible. Rppel : 1 =. d) Eglité de deux frctions Si b 0 et d 0, b = c d équivut à d = bc ou Si b 0 et d 0, b = c d d = bc Exemple : 3 2 = x 4 x 2 = 3 4 2x = 12 x = 6 e) Addition de deux frctions Si d 0 Exemple : 3 2 + x 2 = 3 + x 2 15 10 + 2x 15 + 2x = 10 10 Si b 0 et d 0 d + b d = + b d b + c d + bc = d bd Exemple : 3 2 + x 5 = 3 2 x 2 = 3x 4 f) Multipliction de deux frctions Si b 0 et d 0 Si d 0 Exemple : 3 x 2 = 3x 2 c d = c d b c d = c bd Exemple :
g) Division de deux frctions 3 2 est l'inverse de 2 3 x 2 1 3 = x 6 x 2 3 = 2x 3 Si 0 et b 0 Si b 0 et c 0 1 b = 1 b = b b c = b 1 c = bc Si b 0 et c 0 b c = c b = c b On dit que b est l'inverse de b. Exemple : Exemple : x 2 3 = Exemple : x 3 2 = Si b 0 et c 0 et d 0 b c d = b d c = d bc Exemple : x 2 3 5 = x 2 5 3 = 5x 6
II. Clculs vec des puissnces entières : III. Clculs vec des rcines crrées :
IV. Développements et fctoristions : ) Reconnitre une somme ou un produit : Dns une expression, c'est l dernière opértion effectuée qui donne son nom à l'expression. Exemple : Si l derrnière opértion effectuée est une ddition ou une soustrction, on dir que l'expression est une somme. 5 ( 3 2 ) + 4 est une somme. Si l derrnière opértion effectuée est une multipliction ou une division, on dir que l'expression est un produit. ( 5 + 3) ( 3 2 ) est un produit. b) Développement : Lorsque qu'une expression se présente sous l forme d'un produit, dire qu'on l développe, c'est dire qu'on l trnsforme en somme. Produit Développer Somme 15 Pour effectuer un développement, on utilise certines formules: L distributivité ( b + c ) = b + c Exemples : 3 ( x + 2 ) = 3x + 2 ; ( 2x 3 ) 5 = 10x L double distributivité ( + b ) ( c + d ) = c + d + bc + bd Exemple : ( 3 4x ) ( x + 2 ) = 3x + 6 4x² 8x = 4x² 5x + 6 4 Les identités remrqubles ( + b )² = ² + 2b + b² Exemples : ( 3x + 2 )² = 9x² + 12x + ( b )² = ² 2b + b² Exemples : ( 3x 2 )² = 9x² 12x + 4 ( + b )( b ) = ² b² Exemples : ( 3x + 2 )( 3x 2 ) = 9x² 4 E = x x Exemples : Développer les expressions suivntes : A = b b C = x x D = ( x )² ( ) G = x ( ) x F = x ² B = x x c) Fctoristion : Lorsque qu'une expression se présente sous l forme d'une somme, dire qu'on l fctorise, c'est dire qu'on l trnsforme en Produit produit. Somme Fctoriser En seconde, seules deux méthodes de bse comptent. L'une est l mise en évidence d'un fcteur commun, l'utre fit intervenir les identités remrqubles. Plus on obtient de fcteurs, meilleure est l fctoristion. Exemples : E est une expression à fctoriser. Chercher un fcteur commun ux différents termes de E. E = 2 ( x 1 ) + 3 ( x 1 )² = ( x 1 ) [ 2 + 3 ( x 1 ) ] = ( x 1 ) ( 3x 1 ) E = ( y 3 )² 4 ( y 3 ) 3 ; E = ( 2x 5 ) x + 5 2x Chercher si E peut se fctoriser en utilisnt une identité remrquble. E = ( x 1 )² ( 2x + 3 )² = [ ( x 1 ) + ( 2x + 3 ) ] [ ( x 1 ) ( 2x + 3 ) ] = ( 3x + 2 ) ( x 4 )
E = x² + 16 25 ; E = x² + 2x + 1 ) ( x + 1 ) ] Fire ppritre un fcteur commun ux différents termes de E E = ( 2x 2 )² x² + 1 = 4 ( x 1 )² ( x² 1 ) = 4 ( x 1 )² ( x 1 )( x + 1 ) = ( x 1 ) [ 4 ( x 1 E = ( x + 1 ) 3 ( x² 1 ) ; E = ( 2t + 1 ) 3 ( 4t² + 4t + 1 ) = ( x 1 ) ( 3x 5 ) ensuite En désespoir de cuse, on peut être mené à développer, en espérnt une simplifiction qui permettr une fctoristion. E= x 3 ( x 2 ) ( x² + 1 ) 2 V. Les ensembles de nombres : ) Entiers nturels Les entiers nturels sont les entiers positifs et 0. Pr exemple, 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers nturels. Pr contre 45 n'en est ps un. Cet ensemble est noté IN comme nturel. On dit que ces entiers sont nturels cr ce sont ceux que l'on utilise nturellement dns l vie de tous les jours. Il existe une infinité d'entiers nturels. b) Entiers reltifs Tous les entiers qu'ils soient négtifs, positifs ou nuls, sont des entiers reltifs. Pr exemple, 45, 1, 0 et 56 sont des entiers reltifs. L'ensemble des entiers reltifs est noté Z. Ce symbole vient du mot llemnd "die Zhl" qui signifie le nombre. Tous les entiers nturels sont des entiers reltifs. On dit lors que l'ensemble est inclus dns l'ensemble : on écrit. c) Nombres décimux L'ensemble des décimux est l'ensemble des nombres dits "à virgule". Cet ensemble est noté. Pr exemple, -3,89 et 5,2 sont des décimux. Ils peuvent être négtifs ou positifs. Les entiers reltifs sont ussi des décimux. En effet : 2 = 2,0, 0 = 0,0 et 4 = 4,000 Les entiers reltifs étnt des nombres décimux, on dit lors que l'ensemble est inclus dns l'ensemble. On lors :. dns IQ. d) Nombres rtionnels Les nombres rtionnels sont les frctions de l forme p où p et q sont des entiers ( non nul pour q ). q Cet ensemble des rtionnels est noté IQ comme quotient. Pr exemple, 2 3 et 1 sont des rtionnels. 7 Tous les nombres décimux sont des nombres rtionnels : prenons pr exemple 1,59. C'est en fit le quotient des entiers 159 et 100 cr 159 100 = 1,59. L'ensemble des décimux (et pr conséquent celui des entiers nturels et celui des entiers reltifs) est donc inclus On résume cel pr : IQ. e) Nombres réels Tous les nombres utilisés en Seconde sont des réels. Cet ensemble est noté IR. On représente cet ensemble IR pr une droite grduée. Une telle droite est ppelée droite numérique. Ce qui donne pr exemple : points B et C. Sur ce dessin, le point A pour bscisse 3 lors que les nombres réels positifs 2 et sont les bscisses des Tous les rtionnels sont des réels. L'ensemble des rtionnels IQ est donc inclus dns l'ensemble IR.
D où : IQ IR f) Représenttion pr ensembles ( Digrmme de Wenn ) IQ IR 3 7 1 3 15 16 100² 1 0 10 574 13/2 1,078 1+ 3
g) Ecriture des réels : Les différentes pproximtions : Remrques : deux On dmet que les rtionnels qui ne sont ps des décimux ont une prtie décimle infinie et périodique. 1 31 Exemple : = 0,3 3 3 3 3 3... ; = 1,409 09 09 3 22 Certins nombres réels, pr exemple entiers reltifs : ce sont des nombres irrtionnels. On considère le nombre = 3,14159265359 Troncture à 6 décimles : 3,141592 Vleur pprochée à 10-2 près pr défut : 3,14 Vleur pprochée à 10-2 près pr excès : 3,15 Vleur rrondie à 10-4 près : 3,1416 Vleur rrondie à 4 chiffres significtifs : 3,142 h) Les intervlles réels : Les intervlles réels sont des prties de IR Dns le tbleu ci-dessous, et b sont deux réels tels que b. 13 ou ne peuvent ps s écrire comme le quotient de Nottion Représenttion sur l droite réelle Ensemble des réels x tels que [ ; b ] x b [ ; b [ x < b ] ; b ] < x b ] ; b [ < x < b ] ; b ] x b ] ; b [ x < b [ ; + [ x ] ; + [ < x Remrques : Le fit de dire qu'un intervlle est ouvert en b signifie que le réel b ne fit ps prtie de celui-ci. Pr contre, s'il y vit été fermé lors il en urit fit prtie. Les deux réels qui délimitent un intervlle sont ppelés bornes de l'intervlle. L nottion + se lit "plus l'infini". Les intervlles sont toujours ouverts du côté de ou +. IR = ] ; + [ Si un intervlle est réduit à un seul nombre réel on le note { }. L'ensemble vide se note. Réunion et intersection d'intervlles : On note I J l'intersection des deux intervlles I et J. Elle contient tous les nombres réels qui sont à l fois dns I et dns J. On note I J l réunion des deux intervlles I et J. Elle contient tous les nombres réels qui sont soit dns I soit dns J. Exemple : I = ] ; 5] et J = ] 2 ; 18 [ I J = ] 2 ; 5 ] et I J = ] ; 18 [.
VI. Les résolutions d'équtions : ) Equtions simples Résoudre une éqution à une inconnue x dns IR, c est déterminer l ensemble des réels x vérifint l éqution. Cet ensemble est ppelé ensemble des solutions de l éqution. Il fut retenir les 5 principes suivnts : Lorsqu on joute un même réel ux deux membres d une éqution, on obtient une nouvelle éqution qui les mêmes solutions que l précédente. Soustrire, c est en fit jouter l opposé. Lorsqu on multiplie les deux membres d une éqution pr un réel non nul, on obtient une nouvelle éqution qui les mêmes solutions que l précédente. Diviser, c est multiplier pr l inverse. Dire deux équtions sont équivlentes équivut à dire qu'elles ont les mêmes solutions. Résoudre les équtions suivntes : 2x + 1 = x + 4 2x x = 4 1 x = 3 S = { 3 } x = x 15 x x = 15 0x = 15 ce qui n'est ps possible donc S = 2x + 3 = x + 5 (2 x ) 2x + 3 = x + 5 2 + x 0x = 0 ce qui est toujours vri donc S = IR. 8x 3 = 7 + x 7x = 10 x = 10 7 S = { 10 7 } b) Equtions se rmennt u premier degré : Les équtions-produits nuls du premier degré des fcteurs est nul = 0 équivut à X = 0 ou Y = 0. On sit résoudre une éqution qui n est ps du premier degré lorsqu on se rmène à un produit de fcteurs en utilisnt l propriété suivnte : Un produit de fcteurs est nul si et seulement si l un Pr exemple, intéressons-nous à l'éqution x² x ². Si on développe bêtement, on rrive à 24x² 48x + 18 = 0, qu on ne sit ps (encore) résoudre. C est à dire : X Y Or, 8x 2 18 + 4(2x 3) 2 = 0 2(4x 2 9) + 4(2x 3) 2 = 0 2 ( 2x 3 )( 2x + 3 ) + 4 ( 2x 3 )² = 0 ( 2x 3 ) ( 4x + 6 + 8x 12 ) = 0 ( 2x 3 ) ( 12x 6 ) = 0 2x 3 = 0 ou 12x 6 = 0 x = 3 2 ou x = 1 2 S = { 1 2 ; 3 2 } Résoudre l éqution x² 4 + ( x 2 )( x + 1 ) = 0 réels qui ne D(x) s nnule interdite. = 0 et D(x) 0 Les équtions quotients nuls Lorsqu on une éqution de l forme N x = 0 à résoudre, l première chose à fire, c est déterminer les D(x peuvent en ucun cs être solution de cette éqution, c est-à-dire les réels x pour lesquels (Vleur interdite, cr on ne peut ps diviser pr 0). Pr exemple, on veut résoudre l éqution : x x = 0 On cherche d bord pour quels réels x + 1 s nnule. x + 1 = 0 x = 1 on dir que 1 est l vleur Puis, on commence l résolution. Un quotient est nul si le numérteur est nul et le dénominteur non nul. N x D(x = 0 N(x)
x² 1 x + 1 = 0 x² 1 = 0 et x + 1 0 ( x 1 ) ( x + 1 ) = 0 et x 1 x = 1 ou x = 1 et x 1 Donc S = { 1 } Résoudre les équtions suivntes : x x = 0 x ² x x = 0
VII. Les résolutions d'inéqutions : Règles essentielles à l résolution des inéqutions. Lorsqu on joute un même réel ux deux membres d une inéqution, l inéqution qu on obtient, les mêmes solutions que l première. Lorsqu on multiplie les deux membres d une inéqutions pr un même réel non nul, l inéqution qui en résulte à les mêmes solutions que le première. Le fit de multiplier pr un réel négtif chnge le sens de l inéglité. Résolvons l éqution x x. On commence pr jouter 3 ux deux membres de l éqution : 5x 3 + 3 2x + 4 + 3 ce qui donne 5x 2x + 7. On joute 2x ux deux membres de l inéglité : 5x 2x 2x + 7 2.x ce qui donne 3x 7. Afin de fire disprître le 3 devnt le x, on multiplie les deux membres de l inéqution pr l inverse de 3, à svoir 1 3. Comme on multiplie pr un nombre positif, le sens est conservé. 1 3 3 x 1 3 7 ce qui donne x 7 3. En conclusion, l'ensemble des solutions est l'ensemble de tous les réels supérieurs ou égux à 7 3 ce qui s'écrit S = [ 7 3 ; + [ Résoudre l inéqution 7x < 5x + 3.