Comment résoudre un problème d électrocinétique?

BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 707 Comment résoudre un problème d électrocinétique? par Jean-Noël BEUY Lycée Gustave Eiffel - 33000 Bordeaux Jean-Noel.Beury@wanadoo.fr ÉSUMÉ De nombreux étudiants se trouvent désemparés devant un montage simple d électrocinétique, ne sachant pas combien et quelles équations il faut écrire pour résoudre le problème. Nous nous proposons, dans cet article, de proposer une méthode simple basée sur la recherche des potentiels des nœuds d un circuit linéaire en écrivant la loi des nœuds en termes de potentiel (ou éventuellement le théorème de Millman). Cette méthode [1 est illustrée pour les circuits linéaires en courant continu et évidemment valable en régime sinusoïdal forcé à condition d utiliser les impédances et amplitudes complexes. 1. QUELQUES DÉFINITIONS Un circuit est linéaire s il est constitué de dipôles linéaires, c est-à-dire de dipôles dont la tension u et l intensité i sont liées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Exemples : résistance, bobine, condensateur, générateur de tension, générateur de courant. Dans la suite de l article, nous n étudierons que des circuits linéaires. Un nœud est un point qui est la borne de plus de deux dipôles. Une branche est un ensemble de dipôles en série et situés entre deux nœuds.. MISE EN PLACE DE LA MÉTHODE UTILISANT LA LOI DES NŒUDS EN TEMES DE POTENTIEL Nous cherchons à connaître l état électrique du circuit, c est-à-dire connaître les potentiels des différents nœuds (par rapport à un potentiel de référence choisi que l on appelle la masse et qui est l un des nœuds du circuit). Nous disposons des équations de Kirchoff : la loi des nœuds (cf. figure 1) traduit physiquement la conservation de la charge électrique ; la loi des mailles (cf. figure ) traduit l additivité des tensions. Il y a deux façons de poser le problème : aisonner sur les intensités des branches. Cette méthode est souvent compliquée car Vol. 95 - Avril 001 Jean-Noël BEUY

708 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Figure 1 : Loi des nœuds en A. Figure : Loi des mailles. il y a beaucoup d inconnues ; aisonner sur les potentiels des nœuds. Il y a toujours plus de branches que de nœuds. Cette méthode réduit le nombre d inconnues. Après avoir déterminé les potentiels de tous les nœuds, les intensités dans les branches s en déduisent immédiatement. Soit n le nombre de nœuds (la masse est considérée comme un nœud de potentiel nul) et b le nombre de branches du circuit. On peut montrer qu il y a (n 1) nœuds indépendants et (b {n 1}) branches indépendantes. Illustrons ces deux possibilités sur le circuit de la figure 3. Figure 3 Le point B est choisi comme masse. Ce circuit comprend deux nœuds et trois branches..1. echerche des intensités des branches Il y a trois inconnues (i 1, i, i 3 ). Il faut donc écrire un système à trois équations et trois inconnues : Deux nœuds. Il y a donc ( 1) = 1 nœud indépendant. La loi des nœuds en A donne : i1 i i3= 0 (1) Trois branches. Il y a donc (3 { 1}) = équations de mailles indépendantes. - 3i3 1i1- E1= 0 () - 3i3 i- E= 0 (3) Comment résoudre un problème d électrocinétique? BUP n o 833

BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 709.. echerche des potentiels des nœuds : loi des nœuds en termes de potentiel Il y a ( 1) = 1 nœud indépendant. La méthode consiste à écrire la loi des nœuds en termes de potentiel, c est-à-dire exprimer les intensités i 1, i, i 3 à l aide des potentiels des points A et B ( VB = 0). Nous obtenons : E1- VA E - VA 0 VA i1= ; i = ; i3= - 1 3 La loi des nœuds en A donne : i1 i i3= 0. La loi des nœuds en termes de potentiel s écrit donc : E1- VA E - VA 0 VA - = 0 1 3 Nous en déduisons donc immédiatement V A. Nous sommes donc ramenés à un système, à une équation et une inconnue. 3. MÉTHODE UTILISANT LA LOI DES NŒUDS EN TEMES DE POTENTIEL 3.1. Exposé de la méthode Soit un circuit linéaire comprenant n nœuds. Choisissons un potentiel de référence (masse souvent imposée par l énoncé). Il y a (n 1) nœuds indépendants. Méthode systématique pour obtenir les (n 1) équations S il y a un générateur de tension entre un nœud et la masse, le potentiel de ce nœud est connu. Il est inutile d écrire la loi des nœuds en ce point. Sinon écrire la loi des nœuds en A (cf. figure 4) : 1) Si dans une branche on a un générateur de courant J, l intensité dans la branche vaut J. ) Sinon écrire l intensité dans les branches sous la forme d une différence de potentiel entre deux nœuds en faisant intervenir des résistances (d où le nom de loi des nœuds en termes de potentiel). Considérons une partie d un circuit où on met en évidence les nœuds A, B, C, D et E. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiel au nœud A en introduisant les courants qui arrivent au nœud A : I1 I I3 I4= 0 Vol. 95 - Avril 001 Jean-Noël BEUY

710 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Figure 4 Calcul de I 1 : I1= J1. ( VC- VA) Calcul de I : I= J. Calcul de I 3 : il faut donc exprimer I 3 en fonction de V D, E 3, 3 et V A. VD- VA=- E3 3I3 ( VD E3 -VA) D où : I 3= 3 Calcul de I 4 : il faut exprimer I 4 en «termes de potentiel». VE- VA= E4 4I4 On en déduit immédiatement que : ( VE-E4 -VA) I 4 = 4 On a : I1 I I3 I4= 0 La loi des nœuds en termes de potentiel en A s écrit donc : ( VC- VA) ( VD E3 -VA) ( VE-E4 -VA) J1 J = 0 3 4 3.. Une conséquence de la loi des nœuds en termes de potentiel : théorème de Millman Nous n utiliserons le théorème de Millman qu avec des circuits comprenant des résistances (ou impédances en régime sinusoïdal forcé) et des générateurs de courant. Ce théorème découle directement de la loi des nœuds en termes de potentiel. Comment résoudre un problème d électrocinétique? BUP n o 833

BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 711 d où : Figure 5 I1 I I3 I4= 0 ( VB- VA) ( VC- VA) ( VD- VA) ( VE- VA) 1 3 4 VB VC VD VE 1 3 4 VA = 1 1 1 1 d 1 3 n 4 Ce résultat est très pratique pour les montages comprenant des amplificateurs opérationnels. Il existe un théorème de Millman généralisé pour des circuits comprenant des générateurs de courant mais il est préférable d utiliser directement la loi des nœuds en termes de potentiel où le sens physique des expressions apparaît clairement. Une erreur fréquemment commise est d appliquer le théorème de Millman avec des différences de potentiel. = 0 3.3. Exemple d application de la méthode : montage soustracteur Figure 6 On suppose l amplificateur opérationnel idéal en régime linéaire (rétroaction de la sortie sur l entrée inverseuse). Aucun courant ne rentre dans les entrées () et ( ) et : f = VB- VA= 0 Vol. 95 - Avril 001 Jean-Noël BEUY

71 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Dans certains montages, on ne représente pas la résistance u puisque comme on va le voir, la tension de sortie est indépendante de u. On introduira toujours S comme inconnue. Potentiel de référence (masse) : nœud M. Bilan des nœuds : quatre nœuds A, B, S et M. Équations : Il y a donc 4 1 = 3 nœuds indépendants. Pour résoudre le problème, il faut donc écrire trois équations : Z théorème de Millman en A [ théorème de Millman en B f = 0 (régime linéaire) \ Z V V V 1 1 e1 S A c m = V V 1 1 e [ B c m = VA= VB \ Ve La deuxième équation donne : VB = On en déduit que : VA= VB= Ve= Ve1 VS D où : VS= Ve-Ve1 La relation est valable à condition d être en régime linéaire. Il faut s assurer qu il n y a pas de saturation en tension ou en courant. emarques On ne peut pas appliquer la loi des nœuds à la masse (des courants qui ne sont pas représentés sur le schéma arrivent et partent de la masse par les alimentations indispensables au fonctionnement de l amplificateur opérationnel) et à la sortie de l amplificateur opérationnel car on ne connaît pas le courant de sortie qui ne peut pas être négligé. On peut appliquer le théorème de Millman en B car aucun courant ne rentre par l entrée non inverseuse. Il ne faut pas oublier la résistance entre B et la masse qui est un nœud. Cette méthode de résolution des problèmes s applique évidemment avec des amplificateurs opérationnels en régime de saturation. La troisième équation s écrit par exemple VS = Vsat. En régime linéaire, on peut prendre un modèle plus élaboré de l amplificateur opérationnel. Nous écrirons alors : x d S V V dt S = n 0 f. Comment résoudre un problème d électrocinétique? BUP n o 833

BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 713 3.4. Cas particuliers importants 3.4.1. Cas d un circuit ne comportant pas de nœud Considérons le circuit de la figure 7. Ce circuit série ne comporte qu une inconnue : v c par exemple. Dans ce cas simple, il suffit d écrire la loi des mailles. Figure 7 e () t = i L i v d d t c Or : dq dv i = = C c dt d t On a donc : d vc dvc 1 () dt L dt LC v 1 c = LC et 3.4.. Diviseur de tension On a un diviseur de tension (cf. figure 8) si le même courant circule dans les résistances 1 et. On a en effet : Figure 8 U= ( 1 ) I et : U1= 1I 1 On en déduit que : U1= U 1 Cette relation n est valable que pour des différences de potentiel. 3.4.3. Diviseur de courant On a un diviseur de courant (cf. figure 9) si on a la même tension aux bornes des résistances 1 et. Vol. 95 - Avril 001 Jean-Noël BEUY

714 BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS Figure 9 I U 1= 1 Il faut exprimer U en fonction de I. Le plus simple est de simplifier le circuit en remplaçant les deux résistances 1 et en parallèle par une résistance équivalente : 1 1 1 On a donc : U = I 1 D où : I1= I 1 4. COMMENT ABODE UN CICUIT ÉLECTIQUE? 4.1. Simplifier le circuit Utiliser les lois d association série, parallèle de résistances (attention aux simplifications abusives...). Le théorème de superposition [1 donne des résultats simples s il y a peu de nœuds dans le circuit sinon il faut refaire des calculs «compliqués» à chaque fois qu on éteint tous les générateurs indépendants sauf un. Le théorème de Thévenin ou de Norton [1 permet de réduire le nombre de nœuds du circuit. On peut dans certains cas simplifier le montage en utilisant la transformation Thévenin-Norton puis Norton-Thévenin. 4.. Écriture des équations Penser aux diviseurs de tension, ou de courant pour les cas simples. Pour un circuit série, écrire la loi des mailles. Pour un circuit comprenant plusieurs nœuds : Compter le nombre de nœuds (n) dans le circuit. Un des nœuds du circuit peut être choisi ou imposé comme masse. En travaux pratiques, il ne faut pas oublier que certains appareils tels que l oscilloscope, le GBF ont leur masse reliée à la terre. Écrire les (n 1) équations en écrivant la loi des nœuds en termes de potentiel aux dif- Comment résoudre un problème d électrocinétique? BUP n o 833

BULLETIN DE L UNION DES PHYSICIENS 715 férents nœuds du circuit (ou le théorème de Millman - voir paragraphe 3..). 4.3. Utilisation de la méthode Cette méthode s applique aux circuits linéaires en régime continu, variable et sinusoïdal forcé. Le cas des circuits non-linéaires est plus délicat. Il faut d abord faire des hypothèses de fonctionnement [1 pour se ramener à des zones de fonctionnement linéaire. A la fin des calculs, il ne faut pas oublier de vérifier les hypothèses pour s assurer de la cohérence des calculs. BIBLIOGAPHIE [1 BEUY Jean-Noël. L essentiel de l électrocinétique. Éditions Ellipses. Vol. 95 - Avril 001 Jean-Noël BEUY