Déterminants Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif 1 Applications et formes multilinéaires Soient E 1,, E p et F des espaces vectoriels sur K et ϕ une application de E 1 E p dans F Définition 1 Dire que ϕ est p-linéaire signifie que, pour tout i {1,, p}, pour tout x 1,, x i 1, x i+1,, x p ) E 1 E i 1 E i+1 E p, l application ϕ i de E i dans F définie, pour tout x E i, par ϕ i x) = ϕx 1,, x i 1, x, x i+1,, x p ) est linéaire Autrement dit, ϕ est linéaire par rapport à chacune de ses variables Si p = 2, on dit que ϕ est bilinéaire Si F = K, on dit que ϕ est une forme p-linéaire Remarque - Si ϕ est une application p-linéaire, alors, pour tout i {1,, p}, pour tout x 1,, x i 1, x i+1,, x p ) E 1 E i 1 E i+1 E p, on a ϕx 1,, x i 1, 0, x i+1,, x p ) = 0 Proposition 2 L ensemble des applications p-linéaires de E 1 E p dans F est canoniquement muni d une structure de K-espace vectoriel noté L p E 1,, E p ; F ) Si E 1 = = E p, on note cet espace L p E; F ) Théorème 3 On suppose que F est une somme directe de n sous-espaces vectoriels F i Alors n L p E 1,, E p ; F ) est isomorphe à L p E 1,, E p ; F i ) Démonstration : soit ϕ L p E 1,, E p ; F ) et soit p k la kème projection canonique de F sur F k Alors, pour tout k {1,, n}, l application p k ϕ est p-linéaire On considère l application δ : ϕ p 1 ϕ,, p n ϕ) Il est clair que δ est linéaire Montrons que δ est injective : soit ϕ L p E 1,, E p ; F ) telle que δϕ) = 0 Alors, pour tout k {1,, n}, p k ϕ = 0 Donc, pour tout x 1,, x p ) E 1 E p, p k ϕx 1,, x p ) = 0 Comme ceci est vrai pour tout k, on en déduit que ϕx 1,, x p ) = 0 puisque toutes ses projections sur des sous-espaces de F en somme directe sont nulles) On a donc montré que δ est injective n Montrons que δ est surjective Soit ϕ 1,, ϕ n ) L p E 1,, E p ; F i ) On définit une application ϕ par ϕ = ϕ 1 + + ϕ n On a bien ϕ L p E 1,, E p ; F ) De plus, ϕ est p-linéaire et p k ϕ = ϕ k pour tout k {1,, n} Donc δ est surjective On a ainsi construit un isomorphisme entre les deux espaces considérés Comme tout espace vectoriel de dimension finie peut être considéré comme une somme directe de sous-espaces vectoriels isomorphes à K, on n étudiera que les formes p-linéaires, c est-à-dire l espace L p E 1,, E p ; K) Théorème 4 dim L p E 1,, E p ; K) = p dim E k Démonstration : notons n i la dimension de l espace E i pour tout i {1,, p} Soit e i j ) 1 j r i une base de E i
Préparation à l agrégation interne UFR maths, Université de Rennes I On va construire un isomorphisme entre L p E 1,, E p ; K) et K n1 np Soit ϕ L p E 1,, E p ; K) et x 1,, x p ) E 1 E p Écrivons chacun des x i dans la n i base de E i : x i = x i j i e i j i On a alors j n1 ϕx 1,, x p ) = ϕ = j 1=1 j 1,,j p) Σ x 1 j 1 e 1 j 1,, n p j p=1 ) x np j p e np j p x 1 j 1 x p j p ϕe 1 j 1,, e p j p ) avec Σ = {j 1,, j p ) ; i {1,, p}, 1 j i n i } Donc, à tout ϕ L p E 1,, E p ; K), on a associé les éléments de K n1 np donnés par ϕe 1 j 1,, e p j p ) pour j 1,, j p ) Σ Notons ψ cette application Elle est bien linéaire par propriétés des fonctions Réciproquement, soit une famille d élément m j1,,j p avec j 1,, j p ) Σ L application ϕ de E 1 E p dans K définie, pour tout x 1,, x n ) E 1 E p par ϕx 1,, x p ) = j 1,,j p) Σ x1 j 1 x p j p m j1,,j p est p-linéaire Donc ψ est surjective Il reste à montrer qu elle est injective Soit ϕ L p E 1,, E p ; K) telle que ψϕ) = 0 Alors il est clair que ϕ = 0 2 Formes p-linéaires alternées sur un espace vectoriel D après le théorème 4, si E est de dimension finie n, alors dim L p E; K) = n p Définition 5 Soit ϕ une forme p-linéaire sur E Dire que ϕ est alternée signifie que, si pour tout x 1,, x p ) E p, s il existe i, j) {1,, p} 2 avec i j et x i = x j, alors ϕx 1,, x p ) = 0 Proposition 6 L ensemble des formes p-linéaires alternées est un K-espace vectoriel noté A p E) On note S p l ensemble des permutations de {1,, p} Proposition 7 Soit ϕ L p E) Si ϕ est alternée, alors, pour toute transposition σ S p et pour tout x 1,, x p ) E p, on a ϕx σ1),, x σp) ) = ϕx 1,, x p ) Démonstration : soit σ la transposition échangeant i et j On a ϕx 1,, x i + x j,, x i + x j,, x p ) = 0 car la forme est alternée D où le résultat = ϕx 1,, x i,, x j,, x p ) + 0 + 0 + ϕx 1,, x j,, x i,, x p ) par linéarité = ϕx 1,, x i,, x j,, x p ) + ϕx σ1),, x σi),, x σj),, x σp) ) Remarque - On montre facilement que la réciproque est vraie si K est un corps de caractéristique différente de 2 Corollaire 8 Soit ϕ une forme p-linéaire alternée Alors, pour toute permutation σ de S p, pour tout x 1,, x p ) E p, ϕx σ1),, x σp) ) = εσ)ϕx 1,, x p ) où εσ) est la signature de σ 3 Déterminant 2
31 Définition Déterminants Nous allons d abord étudier l espace A n E) dans le cas où n = dim E et montrer que cet ensemble est non vide Soit e 1,, e n ) une base de E Soit x 1,, x n ) E n On pose x i = x i je j Définissons une application par : E n K x 1,, x n ) σ S p εσ)x 1 σ1) xn σn) L application ainsi définie est bien n-linéaire Vérifions qu elle est alternée Si K est un corps de caractéristique différente de 2, il suffit de vérifier que, pour toute transposition τ, si τ permute les indices i et j, on a x 1,, x i,, x j, x n ) = x 1,, x j,, x i,, x n ) Ce qui est clair par définition de Supposons maintenant que K soit un corps de caractéristique 2 Soit i j et x i = x j On a on note S + n l ensemble des permutations de signature égale à 1) : x 1,, x i,, x i,, x n ) = x 1 σ1) xn σn) σ S + n = x 1 σ1) xn σn) σ S n\s + n x 1 σ1) xn σn) x 1 σ τ1) xn σ τn) σ S + n σ S n\s + n où τ = τ ij car x i = x j Or l application σ σ τ est bijective de S n \ S + p dans S + p donc x 1,, x i,, x i,, x n ) = x 1 σ1) xn σn) x 1 σ 1) xn σ n) = 0 σ S + n σ S + n Donc est alternée Il reste à montrer que l application n est pas nulle Or e 1,, e n ) = σ S n εσ)δ 1,σ1) δ n,σn) = 1 où δ ij représente le symbole de Kronecker On a donc prouvé que A p E) est non vide Théorème 9 Soit E un K un espace vectoriel de dimension n si p > n, alors A p E) = {0} ; si p = n, alors dim A p E) = 1 Démonstration : soient e 1,, e n ) une base de E et x 1,, x p ) E p On pose x i = Soit ϕ A p E) En utilisant la p-linéarité de ϕ, on a ϕx 1,, x p ) = ϕ x 1 je j,, x p j e j) = x 1 i 1 x p i p ϕe i1,, e ip ) i 1,,i p) {1,,n} p 3 x i je j
Préparation à l agrégation interne UFR maths, Université de Rennes I Si p > n, alors deux termes parmi i 1,, i p ) sont égaux et comme la forme ϕ est alternée, ϕe i1,, e ip ) = 0 Donc A p E) = {0} Si p = n, il existe une unique permutation σ qui associe i 1,, i p ) à 1,, n) On a alors ϕx 1,, x p ) = ) εσ) ϕe1,, e p ) σ S p On en déduit que dim A p E) 1 Or cet espace est non vide donc il est de dimension 1 Définition 10 Soit B = e 1,, e n ) une base d un K-espace vectoriel E de dimension n Alors, d après ce qui précède, il existe une unique forme n-linéaire alternée, note Dét B telle que Dét B e 1,, e n ) = 1 Si x 1,, x n ) E n, Dét B x 1,, x n ) s appelle le déterminant du système de vecteurs x 1,, x n ) par rapport à la base B On a Dét B x 1,, x n ) = εσ)x 1 σ1) xn σn) σ S n avec x i = x i je j pour tout i {1,, n} 32 Premières propriétés Proposition 11 Dét B x 1,, x n ) = 0 si et seulement si le système x 1,, x n ) est lié Démonstration : si x 1,, x n ) est lié, alors l un des vecteurs est combinaison linéaire des autres On conclut ensuite en utilisant la p-linéarité du déterminant et le fait que ce soit une forme alternée Supposons que x 1,, x n ) forme un système libre et montrons que Dét B x 1,, x n ) 0 On aura alors montré la réciproque par contraposée Dans ce cas, B = x 1,, x n ) est une base de E Or A n E) est un espace vectoriel de dimension 1 Donc il existe λ 0 tel que Dét B = λ Dét B λ 0 car aucune des deux formes n est nulle) On en déduit que Dét B x 1,, x n ) = λ Dét B x 1,, x n ) = λ 0 Proposition 12 Soient B = e 1,, e n ) et B = e 1,, e n) deux bases d un K-espace vectoriel de dimension n Pour tout x 1,, x n ) E n, on a Dét B x 1,, x n ) = Dét B x 1,, x n ) Dét B e 1,, e n) Démonstration : d après la dimension de A n E), il existe λ K tel que Dét B = λ Dét B On applique cette égalité à e 1,, e n) et on obtient le résultat Corollaire 13 Pour toute permutation σ S n, on a Dét B x σ1),, x σn) = εσ) Dét B x 1,, x n ) NOTATION Soit B = e 1,, e n ) une base de E Pour tout x i E, on pose x i = x i je j et on écrit alors x 1 1 x n 1 Dét B x 1,, x n ) = x 1 n x n n c est-à-dire que l on a écrit dans la kème colonne les coordonnées dans la base B du vecteur x k Le déterminant dépend donc linéairement de chaque colonne Il est nul dès que 2 des vecteurs sont proportionnels et il ne change pas si on ajoute à l une des colonnes une combinaison linéaire des autres 4
Déterminants 33 Déterminant d un endomorphisme Théorème 14 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et u L E) Alors il existe un scalaire noté Dét u et appelé déterminant de l endomorphisme u) tel que ϕ A n E), x 1,, x n ) E n, ϕ ux 1 ),, ux n ) ) = Dét u) ϕx 1, ; x n ) Démonstration : si ϕ = 0, la relation est vraie Soit ϕ A n E) Posons ϕ u x 1,, x n ) = ϕ ux 1 ),, ux n ) ) Comme u est linéaire et que ϕ est une forme n-linéaire et alternée, il est clair que ϕ u est une forme n-linéaire alternée Comme dim A n E) = 1, il existe λ K tel que ϕ u = λ ϕ Montrons que λ est indépendant de ϕ Soit ψ A n E) Alors il existe k K tel que ψ = k ϕ On a alors On a donc ψ u = λ ψ ψ u x 1,, x n ) = ψ ux 1 ),, ux n ) ) = kϕ ux 1 ),, ux n ) ) = λ ψx 1,, x n ) = kϕ u x 1,, x n ) = λ k ϕx 1,, x n ) Corollaire 15 Soit u L E) et B = e 1,, e n ) une base de E Alors on a Dét u = Dét B ue1 ),, ue n ) ) Démonstration : il suffit de prendre ϕ = Dét B dans la définition de Dét u Corollaire 16 DétId n ) = 1 et Détλ Id n ) = λ n pour tout λ K Proposition 17 Soient u et v deux endomorphismes de E Détu v) = Dét u Dét v Démonstration : soit ϕ A n E) On a successivement ϕ u vx 1 ), u vx n ) ) = Dét u)ϕ vx 1 ),, vx n ) ) On en déduit donc que Détu v) = Dét u Dét v = Dét u)dét v)ϕx 1,, x n ) L application de GLE), ) dans K, ) est un morphisme de groupes Proposition 18 Soit u L E) u est bijectif si et seulement si Dét u 0 Démonstration : si u est bijectif, il existe v L E) tel que v u = Id E On a donc Dét u Dét v = 1, d où Dét u 0 Supposons maintenant que u ne soit pas bijectif Soit B = e 1,, e n ) une base de E ue1 ),, ue n ) ) est un système lié Donc Dét B ue1 ),, ue n ) ) = 0 = Dét u 34 Déterminant d une matrice Définition 19 Soit A M n K) On note a ij les coefficients de cette matrice On appelle déterminant de la matrice A le scalaire Dét A = σ S n εσ) a σ1)1 a σn)n Proposition 20 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n rapporté à une base B f L E) On note A la matrice de l endomorphisme f dans la base B On a Dét f = Dét A 5
Préparation à l agrégation interne UFR maths, Université de Rennes I Démonstration : on a fe j ) = a ij e i Donc Dét A = Dét B fe1 ),, fe n ) ) = Dét f Les résultats obtenus pour les endomorphismes deviennent alors Proposition 21 1 Dét I n = 1 et Détλ I n ) = λ n 2 DétAB) = Dét A Dét B 3 A est inversible si et seulement si Dét A 0 4 Détλ A) = λ n Dét A Proposition 22 Soit A M n K) Alors DétA) = Dét t A) Démonstration : par définition de la transposée d une matrice, Dét t A) = εσ) a 1σ1) a nσn) σ S n = εσ)a ) aρn)σ ρ1)σ ρ1) σ S n ρn) prenons pour chaque terme ρ = σ 1 = σ 1 S n εσ)a σ 1 1)1 a σ 1 n)n = σ S n εσ 1 )a σ 1)1 a σ n)n car σ σ 1 est bijective de S n sur S n = σ S n εσ )a σ 1)1 a σ n)n car εσ) = εσ 1 ) = Dét A ) Conséquence : pour le calcul d un déterminant, toute technique valable sur les colonnes est valable sur les lignes 4 Développement d un déterminant 41 Développement par blocs Soit 0 < p < n deux entiers naturels et M la matrice de M n K) de la forme M = ) A C 0 B avec A M p K), B M n p K) et C M p,n p K) Proposition 23 Dét M = Dét A Dét B Démonstration : on considère l application δ définie par M p K) M n p K) K ) δ : X C X, Y ) Dét 0 Y Pour Y fixé, l application X δx, Y ) est une forme p-linéaire alternée des colonnes de X) Comme A p K) est de dimension 1, il existe donc λ K tel que δx, Y ) = λ Dét X En posant X = I p, on obtient que λ = δi p, Y ) 6
Déterminants Or l application Y δi p, Y ) est une forme n p)-alternée par rapport aux colonnes de Y ) Donc il existe λ K tel que δi p, Y ) = λ Dét Y En posant Y = I n p, on obtient que λ = δi p, I n p ) Finalement, on a δx, Y ) = Dét X)Dét Y )δi p, I n p ) ) Ip C δi p, I n p ) est le déteminant de la matrice En faisant des combinaisons linéaires 0 I n p des p premières colonnes de cette matrice, on peut remplacer la matrice C par la matrice nulle donc δi p, I n p ) = 1 La proposition se prolonge au calcul du déterminant d une matrice triangulaire supérieure par blocs si les blocs diagonaux sont des matrices carrées) 42 Mineurs Définition 24 Soit A = a ij ) M n K) On appelle mineur relatif au coefficient a ij et on note j i le déterminant d ordre n 1 de la matrice obtenue à partir de A en enlevant la ième ligne et la jème colonne Théorème 25 Soit A = a ij ) M n K) On a : Dét A = Dét A = 1) k+j a kj j k développement par rapport à la jème colonne) 1) k+i a ik k i développement par rapport à la ième ligne) Démonstration : a 11 a 1j a 1n a 1j a 11 a 1n Dét A = a i1 a ij a in = 1) j 1 a ij a i1 a in a n1 a nj a nn a nj a n1 a nn On a amené la jème colonne en première colonne sans changer l ordre des autres en utilisant j 1 transpositions On va maintenant utiliser la linéarité par rapport à la première colonne : 0 a 11 a 1n n Dét A = 1) j 1 a ij a i1 a in 0 a n1 a nn a n ij a 1j a jn 0 a = 1) j 1 1) i 1 11 a 1n 0 a n1 a nn La deuxième égalité est obtenue en utilisant i 1 transpositions pour placer la ième ligne en première ligne sans changer l ordre des autres En utilisant le produit par blocs, on en déduit que Dét A = 1) i+j a ij j i 7
Préparation à l agrégation interne UFR maths, Université de Rennes I Définition 26 Soit A = a ij ) M n K) On appelle cofacteur de l élément a ij le scalaire 1) i+j j i La matrice carrée d ordre n dont le terme i, j) est 1) i+j j i est appelée la matrice des cofacteurs ou comatrice de A et est notée coma 5 Quelques utilisations du déterminant 51 Inverse d une matrice Proposition 27 Soit A une matrice carrée d ordre n Alors t coma) A = A t coma) = Dét A)I n Démonstration : calculons le terme de la ligne i et de la colonne j : [ t coma)a ] n ij = [ t coma ] ik a kj = 1) k+i a kj j k Si [ i = j, alors, en développant le déterminant par rapport à la jème colonne, on trouve que t coma)a ] = Dét A ii Si i j, alors [t coma)a ] ij = 0 En effet, considérons la matrice A obtenue à partir de A en remplaçant la ième colonne par la jème colonne On a donc Dét A = 0 et en développant par rapport à la ième colonne, on obtient également Dét A = 1) j a kj j k Corollaire 28 Si A est inversible, alors A 1 = 1 t coma Dét A 52 Calcul du rang d une matrice Définition 29 Soit A M n,p K) On appelle matrice extraite de A toute matrice formée à partir de A en supprimant certaines lignes et certaines colonnes On appelle déterminant extrait tout déterminant d une matrice carrée extraite de A Théorème 30 Soit A M n,p K) de rang r Tout déterminant extrait de A d ordre strictement supérieur à r est nul et il existe un déterminant d ordre r non nul Réciproquement, si tout déterminant d ordre supérieur à r de la matrice A est nul et s il existe un déterminant d ordre r non nul, alors la matrice A est de rang r Démonstration : soit A M n,p K) une matrice de rang r On note V 1,, V p les vecteurscolonnes de la matrice ; ce sont des éléments de K n Ce système est de rang r ; on peut donc en extraire un système de r vecteurs linéairement indépendants Pour simplifier l écriture, supposons que ce soit le système V 1,, V r ) Notons A la matrice de M p,r K) dont les vecteurs-colonnes sont ces vecteurs V 1,, V r Cette matrice est de rang r Notons W 1,, W p les vecteurs-lignes de A On peut extraire du système W 1,, W p ) un système de r vecteurs linéairement indépendants Supposons qu il s agisse de W 1,, W r ) 8
Déterminants Notons A la matrice de M r K) dont les vecteurs-lignes sont les vecteurs W 1,, W r On a Dét A 0 car W 1,, W r ) est un système libre On a donc construit un déterminant extrait de rang r non nul Soit maintenant un déterminant r+1 extrait de A d ordre r+1 Notons V 1,, V r+1 les vecteurscolonnes de ce déterminant Le système V 1,, V r+1 ) est lié Donc r+1 = 0 Définition 31 Soit A M n,p K) et soit un déterminant extrait de A On appelle bordant de tout déterminant d ordre r + 1 extrait de A dont est un déterminant extrait Théorème 32 Soit A M n,p K) une matrice de rang strictement supérieur à r Si r est un déterminant extrait non nul d ordre r, alors il existe un bordant de r non nul Démonstration : soit A M n,p K) une matrice de rang supérieur ou égal à r + 1 On suppose que r est un déterminant non nul extrait de A Notons V i1,, V ir les vecteurs-colonnes de la matrice correspondant aux colonnes de r colonnes prolongées puisque les V i K n ) Ces vecteurs sont linéairement indépendants Comme ranga) r + 1, il existe un vecteur-colonne V ir+1 de la matrice A tel que le système V i1,, V ir, V ir+1 ) soit libre On note A la matrice de M n,r+1 K) dont les vecteurs-colonnes sont V i1,, V ir+1 Soient W 1,, W n les vecteurs-lignes de M r+1 K) C est un système de rang r + 1 W 1,, w r ) est un système libre car r 0 Il existe donc i {r + 1,, n} tel que W 1,, W r, W i ) soit libre On a ainsi construit un bordant de r non nul Théorème 33 Soit A M n,p K) Pour A soit de rang r, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient vérifiées 1) il existe un déterminant r non nul d ordre r extrait de A 2) tous les bordants de r sont nuls 53 Orientation des espaces vectoriels réels Définition 34 Soit E un R-espace vectoriel de dimension n avec n 1) Soient B et B deux bases de E On dit que B et B sont de même sens respectivement de sens contraire) si Dét B B ) > 0 respectivement Dét B B ) < 0) Théorème 35 La relation B est de même sens que B est une relation d équivalence sur l ensemble des bases de E Cette relation d équivalence a exactement deux classes d équivalence Démonstration : la réflexivité et la symétrie sont évidentes La transitivité est une conséquence de la proposition 12 Il y a au plus deux classes et si e 1,, e n 1, e n ) est une base de E, e 1,, e n 1, e n ) est une base de E de sens contraire Choisir une de ces classes d équivalence, c est, par définition, orienter l espace E Proposition 36 Soit u GLE) Si Dét u > 0, alors u transforme toute base de E en une base de même sens On dit que u conserve l orientation Si Dét u < 0, u transforme toute base en une base de sens contraire, on dit que u change l orientation de l espace Démonstration : il suffit d écrire que Dét B ue 1 ),, ue n )) = Dét u Dét B B) = Dét u 9
DÉTERMINANTS 1 Applications et formes multilinéaires 1 2 Formes p-linéaires alternées sur un espace vectoriel 2 3 Déterminant 2 31 Définition 2 32 Premières propriétés 4 33 Déterminant d un endomorphisme 4 34 Déterminant d une matrice 5 4 Développement d un déterminant 6 41 Développement par blocs 6 42 Mineurs 7 5 Quelques utilisations du déterminant 8 51 Inverse d une matrice 8 52 Calcul du rang d une matrice 8 53 Orientation des espaces vectoriels réels 9 i