MATRICES Quelques repères historiques (Voir le magazine «Tangente», HS N 44, janvier 2012) Les carrés «latins», ancêtres des Sudoku, sont connus depuis longtemps (on en trouve dans une légende chinoise qui date de plus de 2000 ans) Les tableaux de nombres apparaissent au début de notre ère en Chine où ils sont matérialisés par des baguettes, que l'on manipule pour résoudre des systèmes d'équations à deux ou trois inconnues. Une étude plus théorique de ces tableaux de nombres attendra la fin du 17éme siècle, toujours pour la présentation et la résolution de systèmes d'équations. Le mot «matrice» pour désigner ces tableaux de nombres n'apparaît que vers 1850 dans les travaux des britanniques Sylvester et Cayley qui développent une première théorie en les considérant comme de véritables objets mathématiques, un peu comme des nombres, et plus seulement une commodité d'écriture. Quelques utilisations actuelles des matrices Les matrices sont actuellement très utilisées en économie (tableaux d'échanges industriels), en Sciences Physiques (en particulier en électronique), en Sciences de la Vie (modèles proies-prédateurs), en Mathématiques (surtout en algèbre, géométrie et probabilités), dans le monde des assurances et de la finance (actuariat), dans le traitement d'images (matrice de convolution...)...
I MATRICES 1 Vocabulaire et notations : Soient m et n deux entiers naturels non nuls, une matrice de dimension (ou taille) mxn est un tableau de m lignes et n colonnes. La matrice a11 a12... a1n a21 a22... a2n........... am1 am2... amn sera notée : (a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n abrégé en............ a m1 a m2... a mn) (a ij ) i=1..m; j=1..n ou encore A Les nombres a ij sont les coefficients de la matrice, le nombre a ij est situé à l'intersection de la i ème ligne et de la j ème colonne. Égalité de deux matrices : Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même dimension et ont les mêmes coefficients aux mêmes places. 2 Cas particuliers : Soit A une matrice de dimension mxn, - si m = n, A est une matrice carrée d'ordre n, - si m = 1, A est une matrice ligne, - si n = 1, A est une matrice colonne. La matrice carrée d'ordre n ne comportant que des 0 est la matrice nulle d'ordre n, elle sera notée On. La matrice carrée d'ordre n ne comportant que des 1 sur sa diagonale principale et des 0 partout ailleurs est la matrice identité d'ordre n, elle sera notée In. Exemples : ( 1 0 0 1) 0 1 0 est 0 0 (1 1 0 4) est... ( 0 1 1) est... II OPÉRATIONS DANS L'ENSEMBLE DES MATRICES 1 Addition La somme de deux matrices A=(a ij ) i=1..m ; j=1..n et B=(b ij ) i =1..m; j =1..n de même dimension mxn est la matrice C de dimension mxn définie par C=(c ij ) i=1..m; j=1..n avec pour tout i entre 1 et m et tout j entre 1 et n, c ij =a ij +b ij Exemple : ( 1 2 4 5) 1 0 7 + 0 1 ( 1 1 0 1 6 1 0 1 1) =
Propriétés : Pour toutes matrices A et B de même dimension, A + B = B + A (on dit que l'addition des matrices est commutative) Pour toutes matrices A, B et C de même dimension et (A + B) + C = A + (B + C) qui sera plus simplement notée A + B + C. (on dit que l'addition des matrices est associative) 2 Opposé et différence La matrice opposée de la matrice A=(a ij ) i=1..m ; j=1..n est la matrice notée A=( a ij ) i =1..m ; j =1..n On a par définition A+( A)=O mn où O mn est la matrice nulle de dimension mxn. Ceci permet de définir la différence de deux matrices : Pour toutes matrices A et B de même dimension, A B= A+( B) 3 Produit par un nombre réel Soit A une matrice de dimension mxn et k un nombre réel quelconque, la matrice k.a est la matrice (b ij ) i=1..m ; j=1..n définie par : pour tout i entre 1 et m et tout j entre 1 et n, b ij =k.a ij Exemple : si A=( 1 2 4 1 0 7 0 1 5) et B=( 0 3 4 12 1 5 0 2 3) alors 3A= 2B= 3A 2B= 4 Produit de deux matrices a) Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne Soit A=(a ij ) i=1..n ; j =1..n une matrice carrée de taille n et B=(b i ) i=1..n une matrice colonne à n lignes, le produit A B est la matrice colonne à n lignes : C=(c i ) i=1..n où pour tout i entre 1 et n, c i =a i1 b 1 +a i2 b 2 +...+a i n b n exemple : ( 10 5 15 ) ( 3 8 5 10 2 = 0 1 5 1,5)
b) Cas général Soient A=(a ij ) i=1..m ; j=1..n une matrice de taille mxn et B=(b ij ) i =1..n ; j=1..p une matrice de taille nxp, le produit C= A B est la matrice de taille mxp telle que, pour tout i entre 1 et m et tout j entre 1 et p, le coefficient est le produit de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B. c ij exemple : R=( 2 5 7 5 8 5 3 2 1 0 2 2), S=( 2 5 5 3) =(3 1 et T 2 3 1 2 4 2) Remarque : S T T S la multiplication des matrices n'est pas commutative. III MULTIPLICATION DANS L'ENSEMBLE DES MATRICES CARRÉES D'ORDRE N 1 Définition C'est un cas particulier du produit défini au paragraphe précédent : Soient A=(a ij ) i=1..n ; j =1..n et B=(b ij ) i =1..n ; j=1..n deux matrices carrées de même ordre n, le produit A B est la matrice carrée d'ordre n dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par les colonnes de la matrice B : C=(c ij ) i=1..n ; j=1..n où pour tous i et j entre 1 et n, c ij =a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a i n b nj exemple : ( 1 2 3 4 5 6 ) 2 2 2 = 9) ( 1 1 1 7 8 3 3 3
2 Propriétés (admises) a) La multiplication des matrices est associative : pour toutes matrices carrées A, B et C de même ordre n, A ( B C)=( A B) C. Ce produit sera noté A B C b) La multiplication des matrices est distributive par rapport à l'addition : pour toutes matrices carrées A, B et C de même ordre n, A (B+C )= A B+ A C et (A+B) C =A C+ B C c) Pour toutes matrices carrées A et B de même ordre n et tout nombre réel k, A (kb)=(ka) B, ce produit sera noté plus simplement kab. d) Soit I n la matrice identité d'ordre n, pour toute matrice carrée A d'ordre n, A I n =I n A= A on dit que la matrice I n est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées. 3 Quelques mises en garde a) La multiplication n'est pas commutative : en général A B B A exemple : b) Il existe des matrices non nulles A et B telles que A B=0 exemple : Conséquence : une égalité du type A B= A C ne permet pas de conclure B=C IV MATRICE INVERSE D'UNE MATRICES CARRÉES 1 Matrice inversible Soit A=(a ij ) i=1.. n ; j =1..n une matrice carrée d'ordre n, on dit que A est inversible si et seulement si il existe une matrice B carrée d'ordre n, telle que A B=B A=I n. La matrice B est alors unique et appelée matrice inverse de A, on la note A 1. Par définition, lorsque la matrice inverse de A existe, on a A A 1 =A 1 A=I n. Exemples : vérifier les résultats suivants : la matrice A=( 6 5 est inversible et 4 5 A 1 5 6) 5 4) =( 2 4) la matrice B=( 1 2 n'est pas inversible
2 Cas des matrices carrées d'ordre 2 : Théorème : la matrice A=( a b c d) est inversible si et seulement si ad bc 0. Le nombre ad bc est appelé déterminant de la matrice carrée A. démonstration : si ad bc=0 et a=0 alors b=0 ou c=0 supposons b=0, alors A 2 =... d'ou on déduit A 2 da=... si ad bc 0 considérons la matrice B=( d b c a ), alors A B=... et B A=... Conséquence de la démonstration : si ad bc 0 alors A 1 = ad bc( 1 d b c a ) 3 Application à la résolution de systèmes linéaires : Exemple : le système linéaire de trois équations à trois inconnues x, y et z { x+2y+3 z=15 (S) : 4x+5y+8z=22 12 x+8 y+14 z= 7 peut s'écrire sous la forme A X =Y avec A=( 1 2 3 4 5 8 12 8 14), X = ( x y z) ( 15 et Y = 22 cette notation fait penser à une équation du premier degré à une inconnue X... 7) Ecriture matricielle d'un système : Tout système linéaire de n équations à n inconnues peut s'écrire sous la forme A X =Y où A=(a ij ) i=1..n ; j =1..n est une matrice carrée d'ordre n, Propriété : Si la matrice A est inversible, alors le système (S) a une unique solution X =A 1 Y.
{ x+2y+3 z=15 Exemple : résolution du système (a) : 4x+5y+8z=22 12 x+8 y+14 z= 7, on pose A=( 1 2 3 4 5 8 12 8 14) ( 15 et Y = 22 7) alors le système (a) est équivalent à l'équation (b) AX =Y la matrice A étant inversible, nous l'admettons puisque la calculatrice donne A 1 =( l'équation (b) a une unique solution : X =A 1 Y =( 2,5 44 23,5) Vérification : { 2,5+2 44+3 ( 23,5)= 2,5+88 70,5=88 73=15 4 ( 2,5)+5 44+8 ( 23,5)= 10+220 188=22 12 ( 2,5)+8 44+14 ( 23,5)=...= 7 3 2 0,5 20 11 2 14 8 1,5), Conclusion : S={(15; 22 ; 7)}
V SUITES RÉCURRENTES ET MATRICES Certaines suites définies par des relations de récurrence se ramènent à l'étude d'une suite de matrices colonnes (Xn) vérifiant une relation de récurrence du type Xn+1 = AXn + B où A est une matrice carrée et B une matrice colonne. Exemples : marches aléatoires, évolution d'une population, pertinence d'une page web... 1 Cas particulier : suites du type Xn+1 = AXn Propriété : Si (Xn) est une suite de matrices colonnes telle que pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn alors pour tout entier naturel n, Xn = A n X0 démonstration : 2 Convergence et état stable (Xn) est une suite vérifiant une relation de récurrence du type Xn+1 = AXn + B a) Définition : On dit que la suite de matrices colonnes (Xn) de taille k converge si les k suites formées par les coefficients de ces suites sont convergentes. La limite de cette suite est alors la matrice colonne formée par les k limites obtenues, par exemple si X n =( r n s n) avec lim r n =r et lim s n =s, alors lim X n =X avec X n + n + n + =( r s) Une suite qui ne converge pas est dite divergente. b) Théorème : Si une suite de matrices colonnes (Xn) qui vérifie une relation de récurrence du type Xn+1 = AXn + B est convergente, alors sa limite est une matrice colonne vérifiant l'égalité X = AX + B. (admis dans le cas général) c) Recherche d'un état stable : Propriété : Soit I la matrice identité d'ordre k, si la matrice I A est inversible, alors pour toute matrice B colonne d'ordre k, il existe une unique matrice X vérifiant l'égalité X = AX + B. démonstration :
Remarque : dans le cas où la matrice I A n'est pas inversible, soit il n'existe pas de matrice colonne solution de l'équation X = AX + B, ce qui prouve que la suite ne converge pas, soit il en existe une infinité, ce qui ne permet pas de conclure. Exemple : évolution d'une population (voir exercice 2 du sujet de bac blanc) Dans une grande ville, dont on suppose que la population reste globalement constante, on cherche à étudier les mouvements de population entre la banlieue et le centre-ville. On considère pour cela que si l'on choisit au hasard un habitant du centre-ville, il a une une probabilité de 0,07 de déménager en banlieue l'année suivante et si l'on choisit au hasard un habitant de banlieue, il a une probabilité de 0,03 de déménager au centre-ville l'année suivante. On note X n =( x n y n) l'état probabiliste d'un habitant choisi au hasard dans cette grande ville durant l'année n. En particulier, X 0 =( x 0 désigne l'état probabiliste initial (x0+y0 =1) y 0) on a pour tout entier naturel n, x n +1 =0,93 x n +0,03 y n et y n+1 =0,07 x n +0,97 y n ce qui peut s'écrire X n+1 = AX 0,93 0,03 n avec A=( 0,07 0,97), d'où pour tout entier n, X n=a n X 0 remarque : la matrice A est la transposée de la matrice de transition M du graphe probabiliste Recherche des éventuels états stables : X =AX X AX =0 (I A) X =0 or I 0,07 0,03 A=( 0,07 0,03 ) n'est pas inversible le système obtenu est en effet équivalent à l'équation 0,07 x 0,03 y=0 ou encore 7x 3y=0 on constate que X =( 0,3 0,7) est un état stable, est-ce le seul? 3 Application aux marches aléatoires On dit qu'une marche aléatoire est convergente si la suite (Xn) des matrices des états converge. Si la suite des états de la marche aléatoire vérifie une relation du type Xn+1 = AXn + B, alors une suite constante vérifiant l'égalité X = AX + B est appelée état stable de la marche aléatoire.
V PUISSANCES D'UNE MATRICE 1 Cas des matrices diagonales Définition : Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur la diagonale principale sont nuls. Exemples : A=( 0,93 0 0 0,97) ( est une matrice diagonale d'ordre 2, B= 0 1 n'est pas diagonale. 2 0) pour tout entier naturel n, I n et O n sont des matrices diagonales Propriété : Soit D une matrice diagonale, pour tout entier naturel non nul n, D n est la matrice diagonale obtenue en élévant à la puissance n chacun des coefficients de D. démonstration dans le cas k = 2 : 2 Cas des matrices triangulaires Définition : Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure (resp inférieure) si tous ses coefficients situés au dessous (resp. au dessus) de la diagonale principale sont nuls. Une matrice est strictement triangulaire si elle est triangulaire avec des coefficients diagonaux tous nuls. Exemples : Propriétés : i) Les puissances d'une matrice triangulaire sont de même forme. ii) Les puissances d'une matrice strictement triangulaire d'ordre n sont nulles à partir de l'exposant n. démonstration dans le cas d'une matrice d'ordre 3 : i) propriété préliminaire : le produit de deux matrices triangulaires supérieures est de même forme. 1 b 1 c 1 Soit T 1 =(a 0 d 1 e 1) 1 et 0 0 f b2 c2 T 2 =(a2 0 d 2 e 2) 2 alors 0 0 f T 1 T 2 =... conséquence : =( 0 a b 0) =( ii) Soit M 0 0 c, on a M 2 0 0 alors, si n>3 on a M n =..............................) et M 3 =(........................)
3 Diagonalisation d'une matrice carrée d'ordre 2 Définition : Une matrice carrée A est dite diagonalisable s'il existe une matrice carrée P inversible et une matrice diagonale D telles que A = P D P -1. Propriété : Si la matrice A est diagonalisable alors pour tout entier naturel non nul n, A n = P D n P -1 démonstration : Cas des matrices carrées d'ordre 2 (résultat admis) Une matrice carrée A d'ordre 2 est diagonalisable si et seulement si il existe deux réels et et deux matrices colonnes V et W non nulles et non proportionnelles telles que AV = V et AW = W. Les réels et sont alors appelés les valeurs propres de la matrice A. La matrice carrée P dont les colonnes sont V et W est inversible et vérifie A= P( 0 0 ) P 1. exemple : A=( 0 8 2 0) AX = X on cherche et X tels que AX = X { 0x+8y= x 2 x+0y= y { x 8 y=0 2 x y=0 ce système a au moins une solution : (0 ; 0), pour qu'il ait au moins une solution non nulle, il faut que sont déterminant soit nul, soit 2 16=0 pour =4 on obtient : AX =4X { 4 x 8y=0 2 x 4 y=0 x=2y donc V = ( 2 1 ) convient pour = 4 on obtient : AX = 4X 4 x+8 y=0 { 2 x+4 y=0 ( x= 2y donc W = 2 1 ) convient les colonnes V et W ne sont pas proportionnelles, posons alors P=( 2 2 1 1 ) dét (P )=4 0 donc P est inversible et P 1 = 1 4( 1 donc A est diagonalisable et A= P( 4 0 0 4) P 1 Conséquence : A =P( n 4n 0 P 1 0 ( 4) n) 1 2 2 ) =(1 4 1 2 1 ) 4 1 2