4e : Addition, soustraction et comparaison

Chapitre 1 4e : Addition, soustraction et comparaison 1.1 Addition de nombres décimaux 1 Calculer et rappeler les règles de calcul : -8+2 ;-3+(-5) ;7+(-2). 2 Compléter : + 9 6 5 7 3 12 20 3 Calculer et rappeler les règles de calcul : 3-6 ;12-3 ;-5-9. 4 Compléter : 6 15 20 17 12 24 35 11 5 Compléter : a b a + b (a + b) a a + b a b 5 7, 1 3, 2 9 8 2, 5 4 7, 5 1

2 CHAPITRE 1. 4E : ADDITION, SOUSTRACTION ET COMPARAISON 1.1.1... de même signe (+4, 5) + (+2, 3) = ( 5, 2) + ( 3, 4) = La somme de deux nombres de même signe est un nombre qui a : pour signe, le signe commun, pour distance à zéro (valeur absolue), la somme des valeurs absolues des deux nombres. 1.1.2... de signe contraire (+3, 4) + ( 2, 1) = ( 2, 7) + (+1, 8) = La somme de deux nombres de signe contraire est un nombre qui a : pour signe, le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue, pour distance à zéro (valeur absolue), la différence des valeurs absolues des deux nombres. 1.2 Soustraction de deux nombres ( 5) (+7, 2) = ( 5) + ( 7, 2) = ( 3) ( 5, 4) = ( 3) + (+5, 4) = Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. 6 ex 62 à 68 p 20 7 Calculer R = 1, 7 (2 6) 13+1+(7 9) et S = 2, 8 (5 9)+(3 17, 1)+3. 8 Calculer 6 a + b c pour a = 1, 7, b = 2, 3 et c = 5, 4. 9 Calculer (x 7) (3 x) pour x = 5, x = 1 puis pôur x = 7. 10 S = 1 2 + 3 4 + 5 6 + 7 8 + ± + 999 1000. Trouver une méthode pour calculer rapidement S. 11 Calculer a (b + c) quand a = 1, b = 1, 4 et C = 1, 8. 12 Compléter les 3 carrés magiques :

1.3. COMPARAISON 3 13 Déterminer a, b, c et d sachant que les quatre nombres alignés ont toujours la même somme : 14 a) Périclès, homme d état athénien, a vécu de -495 à -429. Quel âge avait-il à sa mort? b) Phidias, grand sculpteur grec chargé par Périclès de la décoration du Parthénon, est mort à 41 ans. Sachant qu il était né en -490, en quelle année est-il mort? c) Anaxagore, un philosophe, est mort en -428 à 72 ans. En quelle année était-il né? 15 La différence d un nombre et de 15,9 est égale à -56,6. Quel est ce nombre? 16 Calculer la somme de -7,81 et de la différence de 3,47 et de 9,6. 1.3 Comparaison Notation a < b a > b a b a b Lecture a est strictement a est strictement a est inférieur a est supérieur inférieur à b supérieur à b ou égal à b ou égal à b Signification a est plus petit que b a est plus grand que b a est plus petit que b a est plus grand que b et différent de b différent de b ou égal à b ou égal à b 16 Lire : a > 3, b 1, c 4 et 3 < d. 17 Compléter avec ou : a) 5, 43...5, 34. b) 3, 46... 3, 64. c) 3, 51...3, 52. d) 6...6. e) 0, 01...0, 1. f) 1, 3...0. 18 Ranger dans l ordre croissant : 3, 21; 2, 13; 1, 23; 3, 12; 2, 31; 1, 32. 19 Ranger dans l ordre décroissant : 10, 01; 11; 10, 1; 0, 101; 1, 101; 0, 011; 1, 1. 20 Dimathème 2007 : A,E p 98, 1 p 100, 46 p 108, 49,50,51 p 108, 52 p 108

4 CHAPITRE 1. 4E : ADDITION, SOUSTRACTION ET COMPARAISON 21 Encadrer par deux entiers consécutifs : 2, 1 puis 5, 7. 22 Donner la liste des entiers compris entre -3,99 et 4,99. 1.4 Troncature et arrondi a = 3, 65159 La troncature à l unité de a est 3 (le nombre entier qui lui est inférieur ou égal). La troncature au dixième de a est 3,6 (le nombre à 1 chiffre après la virgule qui lui est inférieur ou égal). La troncature au centième de a est 3,65. La troncature au millième de a est 3,651. L arrondi à l unité de a est 4 (le nombre entier qui lui est le plus proche). Remarque : Si le dixième est 0,1,2,3,4 alors on arrondit à l entier inférieur. Si le dixième est 5,6,7,8,9 alors on arrondit à l entier supérieur. L arrondi au dixième de a est 3,7 (le centième est 5 alors on arrondit au nombre à 1 chiffre après la virgule qui lui est supérieur). L arrondi au centième de a est 3,65. L arrondi au millième de a est 3,652. 23 Dimathème 2007 : 26,27,30,31,32 p 17, ex 105 p 22 24 Dimathème 2007 : 28,29 p 17, ex 106,107 p 22 25 Compléter le tableau : Nombre Troncature à l unité arrondi à l unité arrondi au dixième Troncature au centième 6, 578 25, 384 7, 913 0, 294

Chapitre 2 Triangles 2.1 Théorème des milieux Avec le fichier : 4eTheoremeDesMilieux.ggb : On crée 3 points A, B, C puis les segments [AB], [AC] et [BC]. On trace le milieu I (resp J) de [AB] (resp. [AC]) et la droite (IJ). On affiche les longueurs IJ et BC. On fait bouger un des 3 points A, B ou C. Que remarque-t-on pour (IJ) et (BC)? pour IJ et BC? COURS : Tracer le triangle ABC, les milieux I et J. Construire le symétrique M de J par rapport à I. ICKA est un parallélogramme car J est le milieu de [IJ] et [AC]. (AI) et (MC) sont parallèles et AI = MC car ICMA est un parallélogramme. (BI) et (MC) sont parallèles et BI = MC car [BI] = [IA]. IBCM est alors un parallélogramme car il a 2 côtés opposés égaux et de même longueur. On a donc (IJ] parallèle à (BC) car J est sur (IM). Si K est le milieu de [BC], expliquer pourquoi (IK) est parallèle à (AC). En déduire que IJCK est un parallélogramme et que donc IJ = KC = BC/2. 5

6 CHAPITRE 2. TRIANGLES Théorèmes : T1 : Si une droite passe par les milieux de deux côté d un triangle alors elle est parallèle au 3e côté de ce triangle. T2 : Si un segment a pour xtrémités le milieu de 2 côtés d un trianglealors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du 3e côté de ce triangle. 1 Dimathème 2007 : ex 1, 2,3,4,6,7 p 163, ex 32,33,36,38,39,45, 46 p 168, ex 60 p 171. Tracer un triangle, le milieu et la parallèle au 2e côté passant par ce millieu : T3 : Si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle est est parallèle à un 2e côté alors elle coupe le 3e côté en son milieu. 2 Dimathème 2007 : ex 35, 37, 40,41, 42,43, 44 p 168 2.2 Deux parallèles activité page 161 (AVEC CALCULATRICE pour les calculs) Théorème : Dans un triangle, si on coupe 2 côtés par une parallèle au 3e côté alors on obtient 2 triangles qui ont des côtés proportionnels : AM AB = AN AC = MN BC 3 Dimathème 2007 : ex 10, 11, 12, 13 & 14, p 165, ex 47, 48, 49 & 50, 51,52,53,54,55, 56, 57p 169 4 Dimathème 2007 : ex 58,59 p 170, ex 62 p 171, 64, 65 à 70, 71,72 p 173

Chapitre 3 Multiplication et division de nombres décimaux 3.1 Multiplication 9, 5 ( 1) =, 3, 4 ( 1) = Le produit d un nombre a par ( 1) est égal à son opposé, noté a. Propriétés : Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. La distance à zéro du produit est égale, dans les 2 cas, au produit des distances à zéros. 3.2 Division a et b sont 2 nombres décimaux avec b 0 : Définition : Le quotient de a par b se note a b. Propriétés : a est égal à a/b. b Le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. La distance à zéro du quotient est égale, dans les 2 cas, au quotient des distances à zéros. Remarque : Lorsqu un quotient n est pas un nombre décimal, on peut seulement donner une valeur approchée : 2/3 vaut 0, 666 noté 2 0, 66. 3 7

8 CHAPITRE 3. MULTIPLICATION ET DIVISION DE NOMBRES DE CIMAUX

Chapitre 4 Théorème de Pythagore 4.1 Égalité Tracer 2 carrés de 10 par 10 (1 bleu et 1 vert). Découper 8 triangles rectangles (a = 3 cm, b = 7 cm et c est la longueur de l hypothénuse). En plaçant 4 triangles dans le 1er carré, il reste une zone bleue d aire c 2. En plaçant 4 triangles dans le 2e carré, il reste une zone verte d aire a 2 + b 2. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l hypothénuse vaut la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés : BC 2 = AB 2 + AC 2 9

10 CHAPITRE 4. THÉORÈME DE PYTHAGORE 1 Dimathème 2007 : ex 1,2,3 p 181, ex 40,42,44,47 p 186 2 Dimathème 2007 : ex 64, 66*, 69, 70 p 188 4.2 Réciproque a = 6, 5, b = 6 et c = 2, 5. Calculer les carrés. Comparer a 2 avec... Construire un triangle dont les dimensions sont a, b, c. Propriété : Si dans un triangle rectangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des 2 autres longueurs, alors ce triangle est rectangle. 3 Dimathème 2007 : ex 6,9,10,43,45 p182, ex 63.68.71 p 188

Chapitre 5 Calculs avec des fractions 5.1 Égalité de quotients 5.1.1 Propriété On ne change pas le quotient de 2 nombres en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre relatif non nul. ex : 7 5 = 7 4 5 4 = 28 20. 24 18 = 24 : 6 18 : 6 = 4 3. En particulier : 7 5 = 7 5 = 7 5. 1 Dimathème 2007 : ex 1,2,3,4,5 p 32, ex 6,7,8 p 32, ex 72,73,74,75,76,77,78,79 p 38 5.1.2 Produits en croix 104 152 =...0, 4706... 221 323 =... On conjecture qu ils sont égaux. 104 323 = 33592 = 221 152. a b = c d a d b d = c b ad d b bd = bc ad = bc. bd Propriété : a, b, c, d avec b et d non nuls. a b = c ad = bc d 2 Dimathème 2007 : ex 9,10,11,12 p 33, ex 80,81,82 p 38 11

12 CHAPITRE 5. CALCULS AVEC DES FRACTIONS 5.2 Multiplication des fractions Pour a, b, c, d avec b et d non nuls : a b c d = a c b d. 3 Dimathème 2007 : ex 14,15,16,17,18,19,20 p 34, ex 83,86 p 38 5.3 Division des fractions Pour a, b avec a et b non nuls ; L inverse de a b est b ( a ) 1 a. On note : b = b a ou 1 a = b b a. Propriété : Diviser revient à multiplier par l inverse. ex : 5 3 : 2 7 = ; 3 8 7 5 = 15 56. 3 8 7 =. 3 8 7 =. 4 Dimathème 2007 : ex 21, 22, 23, 24 p 34, ex 88, 89,30, 91, 92, 93 p 39 5.4 Addition et soustraction des fractions c est non nul. Propriété : a c + b c = a + b et a c c b c = a b. c Si les dénominateurs sont différents, on commence par écrire les termes avec un même dénominateur : on déduit que l on réduit au même dénominateur. ex : 5 3 + 7 6 = ; 3 8 7 10 = 5 Dimathème 2007 : ex 25, 26, 27, 28, 29 p 34, ex 95, 96,97 p 39, ex 106 p 40 6 Dimathème 2007 : ex 30, 31, 32, 33, 34 p 35, ex 98, 99,100 p 39, 7 Dimathème 2007 : ex 107, 108, 109, 112, 113, 115, 116, 117, p 40

Chapitre 6 Pyramides-Cônes 6.1 Pyramides Déf 1 : Une pyramide est un solide : dont une face est un polygône appelée base. dont les autres faces sont des triangles appelées faces latérales. Les faces latérales ont un sommet commun appelé sommet S. Si H est le point de la base tel que [SH] soit perpendiculaire à la base, SH est la hauteur de la pyramide. Rem : Il y a autant de faces latérales que la base a de côtés. Un patron est constitué de la base et des faces triangulaires. Il y a plusieurs patrons possibles. Pyramide.png 1 Dimathème 2007 : ex 2,3 p 228, 5,6,7,8 p 235, ex 39 p 240, ex 59, 62 p 243 6.2 Perspective cavalière Dans une représentation en perspective cavalière : 2 segments parallèles et de même longueur sont représentés par 2 segments parallèles et de même longueur. les segments verticaux sont représentés par des segments verticaux dont les longueurs sont les vraies longueurs. les arêtes cachées sont représentées en pointillés. un angle droit n est pas forcément représenté par un angle droit. Cette perspective ne représente pas ce qui peut être vu mais donne seulement des informations. 13

14 CHAPITRE 6. PYRAMIDES-CÔNES 6.3 Cônes de révolution Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d un des côtés de l angle droit : base=disque, sommet, surface latérale 2 Dimathème 2007 : ex 6 p 230, ex 17 p 237. 6.4 Volumes V = B h 3 3 Dimathème 2007 : ex 9,10,11 p 236, ex42 p 240, ex 47,45*,61 p 241 4 Dimatèmes 2007 : ex 13, 15 (1ab2ab), 46 p 241, ex 63,65 p 243

Chapitre 7 Calcul littéral 7.1 Expression littérale C est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombre sont désignés par des lettres. ex : A = 5x + 7 avec x = 2 puis x = 1. ex 2 : B = x 2 3x + 2 avec x = 2 puis x = 1. ex 3 : C = 3a 2b + 3 avec a = 2 et b = 1. 1 Dimathème 2007 : ex 1,2,3,4,5,6 p 67, ex 7 p 67? 7.2 Distributivité ex : a = 8, b = 5 et c = 2 a 4(b + c) = ; a 4b + 4c= et a 4b 4c =. Règle : k, a, b 3 relatifs. k(a + b) = ka + kb. ex : 2(3 + 5x) = et 3(x 1). 2 Dimathème 2007 : ex 36,37,38,39,40,42 p 69 ; ex 13,14,19,22 p 68 ; ex 108,109,111 p 73 7.3 Règle de suppression des parenthèses Qd + précède une parenthèse, on supprime les parenthèses et on conserve les signes à l intérieur. 15

16 CHAPITRE 7. CALCUL LITTÉRAL Qd - précède une parenthèse, on supprime les parenthèses et on change les signes à l intérieur. ex : 2 + (5 3x) = et 2 (5 3x) =. 3 Dimathème 2007 : ex 90,91,92,93,94 p73 ; ex 41,43,44 p69 ; 4 ex 15,16,17,18,20,21,23,24,25,26,27,28,29,30 5 ex 102 p 73 ; ex 95,96,97,98,99,100,101,104,105,106,107 p 73. 7.4 Réduction d une expression L écrire avec le moins de terme possible. ex : 3x + 4x = et 2x 2 x + x 2 4 3x + 1 =. 4 Dimathème 2007 : ex 9,10,11 p 236, ex42 p 240, ex 47,45*,61 p 241 5 Dimatèmes 2007 : ex 13, 15 (1ab2ab), 46 p 241, ex 63,65 p 243 7.5 Double distributivité