INTERVALLES. INEQUATIONS I ) INTERVALLES DE R ) Intervlles ornés, fermés ou ouverts. On trouve 4 types d intervlles ornés. et sont deux réels tels que < Définition [ ; ] ex : [1 ; 3] x ] ; [ < x < Représenttion sur l droite des réels [ ] les nomres et sont dns l intervlle [ ;] donc les crochets «engloent» et ] [ les nomres et ne sont ps dns l intervlle ] ;[ donc les crochets «excluent» et ex :] 1; 3[ [ ; [ x < ex : [1 ; 3 [ ] ; ] < x ex : ] 1 ; 3 ] [ ; ] est fermé [ [ le nomre est dns l intervlle [ ;[ le nomre n est ps l intervlle [ ;[ donc les crochets «engloent» et «excluent» ] ] le nomre n est ps dns l intervlle ] ;] le nomre est dns l intervlle ] ;] donc les crochets «excluent» et «engloent» ] ; [est ouvert. Les intervlles [ ; [et ] ; ] sont semi- ouverts ou semi- fermés.
) Intervlles non ornés Sur l droite des réels le fit que les nomres ne «s rrêtent» jmis ni à droite (côté positif) ni à guche (côté négtif) est symolisé pr l infini, un «huit couché» - Moins l infini plus l infini Attention : - et ne sont ps des nomres!!! Définition [ ; [ x ex : [1 ; [ ] ; [ ex : ] 1 ; [ x > ] - ; ] ex : ] - ; 2] x ] - ; [ x < Représenttion sur l droite des réels [ les nomres qui sont dns l intervlle [ ; [ sont à droite de ] les nomres qui sont dns l intervlle ] ; [ sont à droite de et différents de - les nomres qui sont dns l intervlle ] - ; ] sont à guche de - les nomres qui sont dns l intervlle ] - ; ] sont à guche de et différents de ] [ ex : ]- ; 2 [
c)intervlles prticuliers : - L ensemle des réels se note R = ]- ; [ - L ensemle vide ne contient ucun élément : il se note - Un ensemle contennt un seul réel ou singleton se note {} ou [ ; ] Exercices 1. Compléter à l ide de l un des symoles et. 2. [1,4 ; 2, 0001 [.. ] 0 ; 1 ] c. -1..[-5 ; -1 [ d. -2..] - ; -3 ] 2. Recopier et compléter le tleu ci-dessous Intervlle x [-3 ; 7] x ]- ;-3] Inéglités -2 x 5 x > 3,2 3. Sur une droite grduée colorier chcun des intervlles suivnts. [-1 ; 3]. ]- ; 0] c. [ -2 ; ] II) Intersection et réunion d intervlles : étude d exemples Soit I et J deux intervlles de R. ) Définition Si x I et x J lors x I J ( on lit I inter J ) : c est l intersection de I et J Si x I ou x J lors x I J ( on lit I union J ) : c est l réunion de I et J ) Exemples 1. I = [ -1 ; 4 ] et J = [ 0 ; 5 ] : I J = [ 0 ; 4 ] METHODE : Pour s ider on représente les intervlles sur un schém et on repsse chque intervlle vec une couleur différente Pour trouver I J on DOIT RENCONTRER LES DEUX COULEURS EN MEME TEMPS -1 0 1 2 3 4 0 5 0 4
2. [ -1 ; 4 ] et J = [ 0 ; 5 ] : I J = [ -1 ; 5 ] METHODE : Pour s ider on représente les intervlles sur un schém et on repsse chque intervlle vec une couleur différente Pour trouver I J on DOIT PRENDRE «PARTOUT» OU IL Y A UNE COULEUR -1 0 1 2 3 4 0 5-1 5 Exercice :
III ) INEQUATIONS ) Résolution lgérique Tous les cs étudiés ci-dessous restent vris vec les signes <,, Cs 1 : x nomre > 0 équivut à x > nomre ttention u signe Cs 2 : x + nomre > 0 équivut à x > - nomre x nomre > équivut à x > nomre + x + nomre > équivut à x > - nomre + Cs 3 : nomrepositif x x > équivut à x > ATTENTION nomrenegatif x x > équivut à x <!"# Le nomre lui Ne chnge ps en chngent de côté ON CHANGE LE SENS DE L INEGALITE Exemples : 1. x 3 > 0 équivut à x > 3 2. x 4 > 6 équivut à x > 6 + 4 soit à x > 10 3. 5x > 2 équivut à x > 4. 6 x > 11 équivut à x < - $$ % Exercice 1. x + 7 0 équivut à. 2. x + 1 3 équivut à.. 3. 3x < 6 équivut à.. 4. 2x 12 équivut à
Rppel : Résoudre une éqution dns R c est donner l ensemle des réels qui vérifient cette inéqution Exemple : Résoudre les inéqutions suivntes dns R 1. x 3 > 0 équivut à x > 3 d où S = ] 3 ; [ 2. x 4 > 6 équivut à x > 10 d où S = ] - ; 10 [ 3. 5x > 2 équivut à x > d où S = ] ; [ 4. 6 x > 11 équivut à x < - $$ % Exercice d où S = ] - ; - $$ % [ Résoudre dns R les inéqutions suivntes 1. x + 7 0 équivut à. D où.. 2. x + 1 3 équivut à.. D où.. 3. 3x < 6 équivut à.. D où.. 4. 2x 12 équivut à D où.. ) Interpréttion grphique On trce l droite d éqution y = x 2 4 3 2 1 + x 2 0 ssi x 2 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5-1 _ -2-3 -4 x 2 = 0 ssi x = 2 x 2 0 ssi x 2-5 -6-7
On trce l droite d éqution y = -2x + 6 ATTENTION 8 7 6 5 4 3 2-2 -3-4 -5 + 1 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1 _ -2x + 6 0 ssi x 3-2x + 6 = 0 ssi x = 3-2x + 6 0 ssi x 3 ATTENTION c) Signe de x + SIGNE DE x + x - - / x + signe( - ) 0 signe( ) Ex : Donner à l ide d un tleu le signe sur R en fonction de x de : ) x 2 ) -2x + 6 x - 2 x - 2-0 + x - 3-2x + 6 + 0 - On retiendr donc que : Si POSITIF lors x - - & ' x + - 0 + Si NEGATIF lors x - - & ' x + + 0 -