TRIANGLE RECTANGLE - REVISIONS I- Cercle circonscrit à un triangle rectangle: 1) Propriété 1: Soit ABC un triangle rectangle en A. Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre le point I milieu de [BC] On peut donc énoncer la propriété: Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse ou encore: Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse 2) Propriété 2 : Soient C un cercle, [BC] un diamètre de ce cercle, A un point de ce cercle. Alors le triangle ABC est rectangle en A On peut donc énoncer la propriété: Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle 1
3) Exemples d'utilisation: Exemple 1: Soit DEF un triangle, H le pied de la hauteur issue de D. Montrer que H appartient au cercle de diamètre [DE] Puisque [DH] est une hauteur, le triangle DHE est rectangle en H. Donc le cercle circonscrit au triangle DHE.est le cercle ayant pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle, c'est à dire [DE]. Donc H appartient au cercle de diamètre [DE]. Exemple 2 : Soit RST un triangle. Le cercle de diamètre [RS] coupe [ST] en H et [RT] en K. [RH] et [SK] se coupent en I. 1) Montrer que I est l'orthocentre du triangle RST 2) Montrer que (TI) est perpendiculaire à (RS) 1) Les triangles RHS et RKS sont inscrits dans un cercle ayant pour diamètre l'un de leurs côtés. Donc ce sont des triangles rectangles (respectivement en H et en K). Donc [RH] et [SK] sont deux hauteurs du triangle RST. I étant le point d'intersection de deux hauteurs est donc l'orthocentre du triangle 2) Comme I est l'orthocentre du triangle RST, (TI) est la troisième hauteur de ce triangle. Donc (TI) est perpendiculaire à (RS) 2
II- Propriété de Pythagore et réciproque: 1) Propriété: Si ABC est un triangle rectangle en A, alors: BC 2 = AB 2 + AC 2 2) Réciproque: Inversement: Si BC 2 = AB 2 + AC 2, alors le triangle ABC est rectangle en A 3) Exemples d'utilisation: Exemple 1 : RS = 2, 5 cm; RT = 4,6 cm Calculer ST (arrondi au millimètre) D'après la propriété de Pythagore : Exemple 2 : IJ = 3,7 cm; JK = 5, 3 cm Calculer IK (arrondi au millimètre) D'après la propriété de Pythagore: Exemple 3 : EF = 3,9 cm; EG = 5,2 cm; FG = 6,5 cm Montrer que le triangle EFG est rectangle en E FG 2 = 6,5 2 = 42,25 EF 2 + FG 2 = 3,9 2 + 5,2 2 = 15,21 + 27,04 = 42,25 FG 2 = EF 2 + FG 2 Donc, d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E 3
Exemple 4 : LM = 4,2 cm; MN = 5,6 cm; LN = 7,1 cm Le triangle LMN est il rectangle? LN 2 = 7,1 2 = 50,41 LM 2 + MN 2 = 4,2 2 + 5,6 2 = 17,64 + 31,36 = 49 LN 2 LM 2 + MN 2 Attention: on ne peut pas appliquer la réciproque de la propriété de Pythagore. En effet, celle-ci annonce la conclusion que l'on peut tirer s'il y a égalité entre le carré d'un côté et la somme des carrés des deux autres côtés, mais elle n'annonce rien pour le cas où il n'y a pas égalité. Il faut donc impérativement rédiger de la façon suivante: Si le triangle LMN était rectangle en M, on aurait: LN 2 = LM 2 + MN 2 (d'après la propriété de Pythagore). Comme LN 2 LM 2 + MN 2, alors le triangle LMN n'est pas rectangle. III- Exercices: Exercice 1 : BC = 4, 8 cm; CD = 3,6 cm; BD = 6 cm 1) Montrer que le triangle BCD est un triangle rectangle 2) Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle BCD. Préciser la position de O (Justifier). Exercice 2 : Soit C un cercle de diamètre 7 cm, [HI] un diamètre de ce cercle, et J un point de ce cercle tel que HJ = 5,8 cm. 1) Montrer que le triangle HIJ est un triangle rectangle. 2) Calculer IJ (arrondi au mm) 4
TRIANGLE RECTANGLE - REVISIONS CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1 : BC = 4, 8 cm; CD = 3,6 cm; BD = 6 cm 1) Montrer que le triangle BCD est un triangle rectangle 2) Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle BCD. Préciser la position de O (Justifier). 1) BD 2 = 6 2 = 36 BC 2 + CD 2 = 4,8 2 + 3,6 2 = 23,04 + 12,96 = 36 BD 2 = BC 2 + CD 2 Donc, d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en C 2) O est le milieu de [BD] car le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse Exercice 2 : Soit C un cercle de diamètre 7 cm, [HI] un diamètre de ce cercle, et J un point de ce cercle tel que HJ = 5,8 cm. 1) Montrer que le triangle HIJ est un triangle rectangle. 2) Calculer IJ (arrondi au mm) 1) Le triangle HIJ est rectangle en J car il est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés. 2) D'après la propriété de Pythagore: 5