Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une évaluation des connaissances basée sur les exercices de ce livret est prévue quelques jours après la rentrée afin d optimiser l efficacité de l accompagnement personnalisé. 1
Objectifs de ce livret : Orienter et aider les élèves volontaires de troisième dans leurs révisions et leur permettre d aborder l année de 2 nde en mathématiques dans de meilleures conditions. Présentation de ce livret : Ce livret est découpé en 8 chapitres qui reprennent une partie du programme de 3 ème et proposent des rappels de cours et des exercices d entraînement. Cet outil permettra de travailler les acquis indispensables pour assimiler le programme de seconde. Ce n est donc pas un banal cahier de vacances mais un livret adapté aux difficultés rencontrées par les élèves du bassin et aux attentes des enseignants du lycée d Honoré d Estienne d Orves. Contenu de ce livret 1. Opérations sur les nombres en écriture fractionnaire page 2 2. Puissances page 5 3. Développement & factorisation (avec application au calcul mental) page 7 4. Equations page 9 5. Pourcentages (coefficient multiplicateur) page 12 6. Notations et logique : numérique et fonctions page 14 7. Généralités sur les fonctions page 16 8. Notations et logique : géométrie page 23 A noter: Corrections disponibles courant août sur : https://sites.google.com/site/heomaths/home 2
Calcul fractionnaire I- Quotients égaux Propriété de deux quotients égaux: Soient a, b et c des nombres avec b et c non nuls. Un quotient ne change pas si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul : a b = a c b c II Addition, soustraction a b = a c b c a) Fractions ayant le même dénominateur a, b, c sont des nombres, c étant non nul. a c +b c = a+b c 1 2 = 1 3 2 3 = 3 6 ; 3= 6 2 12 16 = 12 4 16 4 = 3 4 a c b c = a b c 5 3 6 3 = 5 6 3 = 1 3 b) Fraction ayant un dénominateur différent a,b,c,d sont des nombres, c et d étant non nuls. a c +b d = ad cd +bc cd = ad +bc cd 5 1 7 = 5 1 1 7 = 5 7 1 7 1 7 = 35 1 = 34 7 7 III - Multiplication a, b sont deux nombres, c et d sont deux nombres non nuls : a c b d = a b c d Remarque: Le calcul est simplifié, si on simplifie avant d effectuer le produit des numérateurs et des dénominateurs. IV- Division a est un nombre et b, c et d trois nombres non nuls : a b c d = a b d c = a d b c 5 7 9 8 = 5 7 8 9 = 5 8 7 9 = 40 63 3
Exercice1 :Calculer et réduire au maximum : Exercices Exercice 2 :Calculer et donner la fraction réduite : Exercice 3 : Calculer et donner la fraction réduite : Exercice 4 :Pierre, Julie, Anne se partagent la fortune de leur père. Pierre reçoit le tiers, Julie les deux cinquièmes et Anne le reste. a. Quelle fraction de la fortune de son père reçoit Anne? b. Sachant que la fortune de leur père s'élève à 342 000 euros, calculer la somme que chacun recevra. 4
Rappels de cours : Puissances Définition : Soit un nombre et un nombre entier naturel supérieur à 1. Par définition : se lit : «a exposant n». Cas particulier : Convention : avec différent de 0. Propriétés : Soit et deux nombres et et deux nombres entiers relatifs : avec di érent avec b di érent de On utilise les puissances pour simpli ier l écriture des nombres. 1 000 000 000 000 000 000 = 0, 000 001= Exercices Exercice 1 : Ecrire à l aide d une puissance de 3 les nombres suivants : 5
Exercice 2 : Compléter : Exercice 3 : Problème : Echiquier On met un grain de blé dans la case a1, deux grains de blé dans la case b1, on double le nombre de grains de blé dans la case c1, ainsi de suite en reprenant en a2. 1) Combien de grains de blé met-on dans la case b2? (Puis donner le résultat à l aide d une puissance de 2) 2) Combien de grains de blé met-on dans la case f2? 6
Développement et factorisation 1) Vocabulaire : Développer un produit signifie le transformer en une somme. Factoriser une somme signifie la transformer en un produit de facteurs. 2)Distributivitéde la multiplication sur l'addition et la soustraction : Quels que soient les nombres a, b, c, det k: 3) Identités remarquables : Quels que soient les nombres a et b : Exercices 7
Exercice 3 : Développer et réduire les expressions suivantes, pour tout nombre x: A = 6(x + 3) 2(x 5) B = 7 2x(5x 3) C = (2x 3)(5x 4) D = 3x (x 1) (x +7)(x 3) E = (4 x)² F = (3x + 1)² G = (6 + 7x)(6 7x) H = 5x (x 3)² I = 2(-3x 5)² (2x 1)² Exercice 4 :Factoriser les expressions suivantes, pour tous nombres x, u, t et a: A = x² + 2x B = 9u² + 3u C = 7x(x 4) + (x 4)² D = 2(3x 2)² (3x 2) E = x² 9 F = 49a² 42a + 9 G = 81 64t² H = 25t² 20t + 4 I = (x 1)² 16 Exercice 5 : Effectuer sans la calculatrice et astucieusement les calculs suivants (rédiger les intermédiaires) : A = 98 102 B = 999² C = 101² 8
Equations à une inconnue NOMBRES Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure une lettre représentant une valeur inconnue. Une solution de cette équation est une valeur de l inconnue qui rend l égalité vraie.(il peut y en avoir plusieurs!) Exercice 1 : Exercices -2x = 6 x 2 = 6 2 = -6-2x + 5 = 8 17 = 2 3x 2x 7 = 3x + 2 9
Exercice 2 : (-2x 5) (3x + 2) = 0 2x(3x 4) = 0 (x + 2)(x 5) = 0 x² = 50 x² + 4 = 0 3x² 7 = 0 Exercice 3 : 4x² 9 = 0 9x² 12x + 4 = 0 16x² 25 = 0 Exercice 4 : Lors d une rencontre parents pro esseurs, des chaises de la salle sont occupées par les parents, par les professeurs, et il reste pourtant quatre chaises vides. Combien y a-t-il de chaises dans cette salle? Coup de pouce : on pourr d bord c lculer l fr ction que représentent les ch ises vides, puis poser une équation Exercice 5 : On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre x Ajouter 3 Calculer le carré du résultat Soustraire 9 Noter le résultat obtenu 1) Montrer que, si on choisit le nombre 4, le résultat obtenu est 40. 2) Exprimer, en fonction de x, le résultat obtenu avec ce programme de calcul. En développant et réduisant cette expression, montrer que le résultat du programme de calcul est x² + 6x. 3) Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0? Justifier. 10
Exercice 6 : L unité de longueur est le cm et l unité d aire le cm². On considère un carré ABCD de côté 8. On enlève, comme indiqué sur la figure ci-contre, quatre petits carrés superposables de côté x ( 0< x < 4 ). On obtient ainsi une croix coloriée en gris, on appelle A(x) son aire. 1) Montrer que A(x)= 64 4x². x 2) Pour quelle valeur de x l aire de la croix grise vaut-elle 15 cm²? 11
Pourcentages I Calculer un pourcentage D une açon générale, une quantité partielle est une raction d une quantité totale que l on peut exprimer en pourcentage : Quantité partielle Pourcentage La quantité partielle représente p pour cent de la quantité totale : p QP QT 100 II Appliquer un pourcentage Quantité totale QP t Règles de calcul : Prendre les t % d une quantité revient à la multiplier par. 100 t Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par 1. 100 t Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par 1. 100 QT 100 P Exercice 1 : Exercices Dans une classe de 35 élèves, il y a 15 demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il? Exercice 2 : a) Un article vaut 125, il augmente de 8 %. Quelle est le montant de cette augmentation? b) Une chaîne stéréo coûte 2, son prix diminue de 7,5 % : quelle est le montant de cette baisse? Exercice 3 : Donner les coefficients multiplicateurs associés à : 1 ) une augmentation de 7% 2 ) une augmentation de 43% 3 ) une diminution de 12% 4 ) une diminution de 5% 5 ) une augmentation de 0,3% 6 ) une diminution de 0,25% 12
Exercice 4 : a) Dans le cas d'une hausse : un CD coûte 16,5 et augmente de 12 %. Calculer le prix inal et déterminer l unique opération permettant de passer du prix initial au prix inal. b) Dans le cas d'une baisse : Une veste coûte 135 et son prix diminue de 2 % : Calculer le prix inal et déterminer l unique opération permettant de passer du prix initial au prix inal. Exercice 5: a) Considérons la phrase suivante : "Augmenter trois fois de 10 % revient à augmenter une fois de 30 %" A l aide d un exemple pris au hasard démontrer que cette a irmation est ausse et trouver l unique taux qui correspond aux trois augmentations successives. b) Considérons la phrase suivante : "Une augmentation de 12 % suivie d une baisse de 12 %, cela ne change rien." La population d'un pays comptant 2 500 000 habitants augmente de 12 % puis diminue de 12 % : combien ce pays compte-t-il d'habitants après ces variations? Que peut-on en conclure pour la phrase énoncée? c) Considérons la phrase suivante : "Lorsqu on effectue deux remises successives de 7% et de 20 %, l ordre importe peu." A l'aide des résultats de la première partie, dire si cette phrase est juste ou fausse en justifiant votre réponse. Exercice 6: De quel pourcentage augmente un prix qui triple? 13
Notations et logique Partie numérique et fonctions Exercice 1 : Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses et justifier. 1) Si un nombre entier est un multiple de 3, alors c est un multiple de 9. 2) Le produit de deux nombres impairs est impair. 3) Si un nombre entier est un multiple de 2 et de 3, alors c est un multiple de 6. 14
Exercice 2 : 1) Numéroter les opérations à faire dans le calcul suivant, en respectant les ordres des priorités : 7,2 + (7 + 5 ) ( 1+ 8 ) 2) Décrire les expressions algébriques suivantes avec le vocabulaire adapté, en s inspirant des exemples suivants : ( 3)² est le carré de la différence de et de 3. est le quotient de 5 par la somme de 7 et du double de.......... 2 (7..... 7 + 2...... 7² +....... 3) Ecrire l expression algébrique qui correspond à chacune des phrases suivantes : Le triple de la somme de 9 et du quadruple de : Le quart de la différence du tiers de et de 8 :.. La moitié du carré de la somme de la racine carrée de et de sept dixièmes :.. Le quotient du produit de 8 par le cinquième de et de la différence du cube de la somme dont les termes sont et 7 et de 9 :. 15
Fonctions : généralités Une fonction est un processus qui, à chaque valeur du nombre x, associe un et un seul nombre noté f(x), appelé l image de xpar f. On écrit : On dit que xest un antécédent de ypar f lorsque y = f(x). La représentation graphique de f dans un repère du plan est l ensemble de tous les points de coordonnées (x, f(x)). Exemple 1: le graphique ci-contre définit une fonction f, qui, à chaque nombre x compris entre 0 et 10, associe le nombref(x) lu sur l axe des ordonnées. Ainsi (2) = 3, (1 ) = 2, (9,5) 2,5. Les antécédents de 3 par f sont 2 et 8. 1,5 n a qu un seul antécédent par f et 6 n a pas d antécédent par. Exemple 2: g : x x(2 x). On peut calculer précisément les valeurs des images voulues. Ainsi g(2) = 0, g( 50) = 2600. Les antécédents de 0 par g sont 0 et 2. Exemple 3 : le tableau de valeurs ci-dessous définit une fonction hqui, à chaque nombre de la 1 ère ligne, associe le nombre de la 2 ème ligne et de la même colonne. Ainsi h(-1) = 0, h(7) = -5,5. Les antécédents de 2 par h sont 3 et 0. Lorsqu une onction est dé inie par un tableau, on ne connaît qu un nombre déterminé de valeurs d images et d antécédents. Exercice n 1 : Exercices Exercice n 2 : 16
Partie A : Traduire par une égalité chacune des phrases suivantes : 1. L'image de 5 par la fonction f est égale à 4. 2. 5 est l'image de -3 par la fonction f. 3. 2 a pour image 0 par la fonction f. 4. Les images de 2 et de 4 par la fonction f sont nulles. 5. Les nombres qui ont pour image 5 par la fonction f sont -3 et 0. 6. 1 est l'image des nombres -2 et 1 par la fonction f. 7. Au nombre 8, on associe le nombre 17 par la fonction f. 8. f est une fonction qui au nombre -2 associe 3. 9. f est la fonction qui à tout nombre réel x associe son carré; 10. f associe à tout nombre réel x la somme de son carré et de son triple. 11. La fonction f fait correspondre, à la durée t d'un trajet, la distance d parcourue. Partie B : Traduire chaque égalité par une phrase en utilisant les mots "image" et/ou " antécédent". 1. f(-2) = 1 3. g(4) = 0 5. y = f(x) 2. f(x) = -2 4. b = g(0) 6. v = f(t) Exercice n 3 : Partie A:Traduire, si c'est possible, chacune des situations suivantes par une fonction. 1. On regarde l'aire d'un carré de côté x. 2. On s'intéresse à la taille d'un élève de x années. 3. On regarde le volume d'une sphère de rayon x. 4. On s'intéresse à la longueur d'un rectangle d'aire 12 cm 2 et de largeur x. 5. On s'intéresse au nombre de pneus usés par une voiture de x années. Partie B : Dire si les phrase suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) : a) La taille moyenne d un en ant dépend de son âge ; b) L aire d un disque est fonction de π ; c) Le périmètre d un cercle est fonction de son rayon ; d) La longueur l du ressort est fonction de la masse m de l objet que l on suspend à son extrémité ; e) Ma note au dernier contrôle de mathématiques est onction de celle que j ai obtenue à l avant-dernier. 17
Exercice n 4 : y 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = x 2 x 6. Ci-dessous est donnée la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [-3;5]. 1. Déterminer graphiquement : a) f(0); b) l'image de 3 par la fonction f; c) les éventuels antécédents de - 4 par la fonction f; d) les éventuels antécédents de 10 par la fonction f; e) les éventuels antécédents de - 6 par la fonction f; f) l'ordonnée du point d'abscisse 5; g) l'ordonnée du point d'abscisse - 2; h) l'ordonnée du point d'abscisse 1; i) l'(les) abscisse(s) du(des) point(s) d'ordonnée 0; j) l'(les) abscisse(s) du(des) point(s) d'ordonnée -7. 2. Déterminer par le calcul les images de 1 2 la fonction f. et 2 par 1-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 x 3. Montrer que pour tout réel x : f(x) = (x - 3) (x + 2). -1-2 -3 4. Retrouver par le calcul les antécédents de 0 par la fonction f. -4-5 -6 5. Trouver par le calcul les antécédents de -6 par la fonction f. -7 18
Exercice n 5 : Répondre par "Vrai" ou "Faux". Dans tout l exercice est une onction et C est sa courbe représentative dans un repère (O ; I,J). 1. Si f(2) = 3 alors : a) 2 est l'image de par la fonction f : b) 2 a pour image 3 par la fonction f : c) 2 est un antécédent de 3 par la fonction f : d) 3 n'admet pas d'antécédent par la fonction f : e) Le point d'abscisse 3 de C a pour ordonnée 2 : f) 2 est l'abscisse d'un point de C d'ordonnée 3 : 2. Si f(x) = x 2 + 2 alors : a) 6 admet deux antécédents par la fonction f : b) L'image de -1 par la fonction f est 3 : c) Le point A(2;4) est un point de C : d) C ne coupe pas l'axe des abscisses : e) f(- 2 3 ) = 22 9 : Exercice n 6 : Un poids est suspendu à un fil de longueur L. Ecartons-le de sa position d'équilibre; il se met alors à osciller. On appelle T la "période" du mouvement, c'est-à-dire le temps nécessaire pour faire un aller-retour. T dépend (" est fonction ") de L, mais pas de la masse ni de l'amplitude (cette loi fut découverte par Galilée vers 1600). La façon dont T varie en fonction de L est représentée par le graphique ci-dessous (L est exprimée en mètres et T en secondes). 1.Remplir la deuxième ligne du tableau ci-dessous : L (en m) 0,1 0,2 0,4 0,5 0,8 1 1,5 1,7 1,9 T (en sec) T 2 19
2. Le doublement de la longueur entraîne-t-il le doublement de la période? 3. La période est-elle proportionnelle à la longueur? Etait-ce "prévisible"? (Justifier) 4. Déterminer la longueur L pour que la période T soit : de 1 seconde; de 2 secondes. 5. Finir de remplir le tableau. Qu'y a-t-il de " remarquable " sur la dernière ligne? 6. Exprimer T en fonction de L en admettant le résultat constaté. 7. Le pendule de Foucault avait une longueur de 67 mètres. Quelle était sa période? Exercice n 7 : Le numéro de sécurité sociale, autrement dit le numéro INSEE de chacun d entre nous, comporte 13 chi res, définis comme suit : Le premier chiffre donne le sexe : 1 pour masculin et 2 pour féminin ; Les deux suivants l année de naissance ; Les deux suivants le mois de naissance ; Les deux suivant le numéro de département de naissance ; Les trois suivants, le code INSEE de la ville dans ce département ; Les trois derniers l ordre d arrivée dans l année du bébé dans la commune. Voici quelques codes INSEE de villes : Besançon : 056 ; Toulouse 555 ; Limoges : 085 ; Albi : 004 ; Dieppe :217 et Bordeaux : 063. Voici un exemple de carte d assurance maladie (carte «Vitale) 1 ) Donner le numéro de Sécurité Sociale de Bernard né le 22 janvier 1972 à Besançon. C était la 25 ème naissance dans cette ville au mois de janvier. 2 ) Donner les caractéristiques de la personne dont le numéro de Sécurité sociale est : 2 98 11 33 063 057. 3 ) Si l on associe à chaque élève de votre classe son propre numéro de Sécurité Sociale, peut-on parler de fonction? Si oui, la dé inir comme onction d un ensemble A vers un ensemble B. Préciser A et B. 4 ) Sur la France entière, risque-t-on d avoir deux personnes distinctes ayant pourtant même numéro de Sécurité Sociale? Exprimer cela en termes de fonction. 20
Exercice n 8 (plus difficile): 1 ) Associer à chaque récipient R 1, R 2, R 3, R 4, R 5 et R 6 la courbe qui lui correspond (parmi les courbes 1,2,3,4,5 et 6 ci-dessous) : 2 ) Sachant que le diamètre du récipient cylindrique R 2 est de 16 cm, calculer la hauteur de ce récipient (arrondie au centimètre). 3 ) A l instant t, le récipient cylindrique R 2 est rempli aux deux tiers de sa hauteur. Calculer, au dixième de litre prés, le volume d eau V contenu dans le cylindre à cet instant précis. 4 ) On observe la hauteur d eau dans le récipient R 6 au moment où le récipient cylindrique R 2 est rempli aux deux tiers de sa hauteur. Est-elle plus ou moins haute que dans R 2? Justifier la réponse en utilisant les courbes ci-dessus. 21
Notations et logique Géométrie Exercice 1 : Compléter avec les bonnes notations, pour rendre vraies les propositions suivantes sur le plus grand ensemble de points possible : Si M appartient à AB, alors AB = AM + MB. Si M appartient à AB, alors MAB = 0. Si M appartient à AB, alors AMB = 180. Si M appartient à AB, alors A, M et B sont alignés. Si M appartient à AB, alors A appartient à MB, mais A n'appartient pas à MB. Exercice 2 : Pour chacune des propriétés suivantes (toutes vraies), la réciproque est-elle vraie? Si oui, énoncer cette réciproque. Si non, donner un contre exemple. Si M est le milieu de [AB], alors AM = MB. Si ABCD est un parallélogramme, alors [AC] et [BD] ont même milieu. Si ABCD est un rectangle, alors AC = BD. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB² + AC² = BC². Si (AB) (BC) et (BC) (CD), alors (AB) // (CD). 22
Exercice 3 : A la fin de l'heure, le professeur a écrit au tableau un programme de construction à réaliser pour le cours suivant. Pour gagner du temps, Joseph a fait un schéma à main levée dans son cahier de textes. Imaginer le texte du tableau. E On pourra choisir ses mots dans le glossaire élémentaire de géométrie plane suivant : A G F D Verbes : marquer, placer, tracer, mesurer, relever, reporter, construire, couper, passer par. Noms : point, segment, droite, demi-droite, cercle, triangle, quadrilatère, losange, rectangle, parallélogramme, carré, centre, rayon, diamètre, hauteur, médiane, médiatrice, bissectrice, diagonale, distance, longueur, largeur, aire, base, sommet, angle, côté, intersection. Adjectifs : rectangle, isocèle, perpendiculaire, parallèle, équilatéral, adjacent, opposé, aigu, obtus, plat, droit. B C AB = AC = 9 cm BC = 7,5cm 23
Exercice 4 : Voici un énoncé de problème : Compléter la démonstration suivante avec des mots de liaison adaptés au déroulement logique du raisonnement : O est le milieu de [BD]... ABCD est un parallélogramme de centre O. Pour montrer que O est aussi le milieu de [EJ],...montrer que le quadrilatère non croisé EBJD est un parallélogramme. Cette propriété sera bien vérifiée... EB = DJ et (EB) // (DJ). Montrons d'abord, par une suite d'égalités, que EB = DJ....dans le carré ABEF, les côtés sont égaux et donc EB = AB. On démontrerait...dans le carré DCIJ, que DC = DJ. Enfin,...dans le parallélogramme ABCD, AB = DC. Donc.... Montrons maintenant que (EB) // (DJ) : pour cela...que (AB) est parallèle à (CD)... ABCD est un parallélogramme.... ABEF et DCIJ sont des carrés, (DJ) (DC) et (EB) (AB).... (AB) // (DC),... (DJ) (AB)... "si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre". On en déduit bien que (EB) // (DJ) en...le théorème : "si deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite, elles sont parallèles". On a...que EBJD est un parallélogramme....le centre O du parallélogramme...est le milieu de [BD],... le centre du parallélogramme EBJD et le milieu de [EJ]. 24