Ch3 : configurations du plan - repérage d un point 1. Coordonnées d un point sur un plan : repère orthonormé 1 (O,I,J et repérage d un point distance de deux points - démonstration avec le théorème de Pythagore coordonnées du milieu d un segment 2. résoudre des problèmes en utilisant les propriétés 2 : du triangle : Théorème de Thalés, de Pythagore, droites remarquables, trigonométrie ; des quadrilatères : parallélogrammes, losanges et carrés ; cercles : cercle circonscrit, angles inscrits et angles au centre. Technique de calculs revues dans ce cours : remplacer une variable n o 6,11 p 250 développement n o 8 p 350 calcul sous radical ( intro calcul distances n o 9,10 p 350 1. utilisation d un repère orthogonal lors de l exécution d un problème 2. possibilité d utiliser la géométrie repérée Mme Bessaguet Page 1 sur 5 31 août 2015
I-A 2B- Ch3:configurations du plan et repérage Introduction : activités n o 1, 3 p 240 + révision collège : n o 18 p 250 Repère : définition I Repérage : On dit que le plan est muni d un repère lorsqu on a fixé dans ce plan deux axes gradués ; On dit que le repère est orthogonal si les axes sont perpendiculaires ; On dit que le repère est orthonormé s il est orthogonal et si l unité de longueur est la même sur les deux axes. I-B Application : caractériser chacun des repères ci-dessous et nommer-les 1 2 3 4 Repère : (...;...;... (...;...;... (...;...;... (...;...;... Nom : Ortho.............................................................................................. I-C Coordonnées d un point : a Méthode :pour repérer un point du plan dans un repère, on projette ce point parallèlement aux deux axes sur chacun des deux axes gradués du repère. Abscisse : graduation correspondante au projeté sur la première droite ; Ordonnée :graduation correspondante au projeté sur la deuxième droite ; b Convention : l ordre des points dans l écriture d un repère est fondamental. Soit le repère (O, I, J O :... (OI :... (OJ :... Définition :(O,I,J constitue un repère orthonormé si le triangle OIJ est un triangle rectangle isocèle en 0. c Lecture dans un repère : (i Repère (A, B, D A (...;... D (...;... B (...;... E (...;... C (...;... F (...;... (ii Repère (B,C, A A (...;... D (...;... B (...;... E (...;... C (...;... F (...;... Exercice : n o 14 p 250 G (...;... G (...;... II-A II Milieu et distance entre deux points Milieu d un segment Théorème :dans le repère (O,I,J orthonormé, soit deux points : A ( x A ; y A I milieu de [AB]donc x I = x A + x B 2 et y I = y A + y B 2 et B ( x B ; y B Mme Bessaguet Page 2 sur 5 31 août 2015
Etude 1 : milieux et parallélogramme Soient les quatre points suivants : A (1;4 B (4;2 C ( 3;0 D (0; 2 a Le repère (O,I,J étant orthonormé, complétez-le sur le graphique cicontre ; b Placez les 3 points B, C et D ; c Démontrez que ABDC est un parallélogramme. propriété du parallélogramme à utiliser : d Placez le point E (1;1. Calculez les coordonnées du point F tel que ABFE est un parallélogramme. Exercices : n o 15, 28, 32 p 251 II-B Distance entre deux points Etude 2 :démonstration Soient les deux points suivants : A ( x A ; y A B ( x B ; y B Objectif : calculer la distance AB en fonction des coordonnées des points A et B. a Construire un point H ( x H ; y H tel que ABH soit rectangle en H ; b Donner les distances AH et BH en fonction des coordonnées de A,B et H : AH =... HB =... c En choisissant le bon théorème, calculer AB 2 en fonction de AH 2 et de HB 2 : AB 2 =... =.... Compléter alors : AB =... Théorème :dans le repère (O,I,J orthonormé, soit deux points : A ( x A ; y A AB =... et B ( x B ; y B Mme Bessaguet Page 3 sur 5 31 août 2015
Etude 3 :distances et triangles Soient les quatre points suivants : A (1; 3 B (3; 7 C (3; 2 D (2; 1 a Placer ces points dans un repère orthonormé (O, I, J] ; b A partir de ces 4 points, conjecturer la présence d un triangle rectangle ; c Après avoir calculé les distances nécessaires, démontrer sa présence. Outil utilisé : d Faire de même avec un triangle isocèle. e Calculer la mesure de l angle ABC au dixième près. Calcul de ABC : III Propriété des triangles Etude 4 :cercles et triangles Dans un repère (O, I, J], on considère les points A ( 1; 2, B ( 0; 2 4 et C ( 4; 2 5. 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B ; 2. (a Préciser la position de M, centre du cercle circonscrit au triangle ABC et calculer ses coordonnées ; Outil utilisé : (b Montrer que les triangles MBC et MAB sont rectangles en M ; (c Calculer les coordonnées des centres respectifs P et Q des cercles circonscrits aux triangles MAB et MBC. IV Propriété des parallélogrammes Etude 5 :parallélogramme de Varignon Dans un repère (O, I, J], on considère les points : A (3;2 B (5; 1 C (8;3 D (0; 2. 1. Placer ces quatre points sur le graphique ci-contre, dans un repère à compléter ; 2. (a Placer les milieux respectifs I,J,K et L des côtés [AC], [BC], [BD] et [AD]. (b Conjecturer la nature du quadrilatère I J KL. 3. (a Calculer les coordonnées des points I,J, K et L. (b Démontrer la conjecture de la question précédente. Mme Bessaguet Page 4 sur 5 31 août 2015
Etude 6 :carré et tangente à un cercle Dans un repère (O, I, J], on considère les points : A ( 1;2 B (0; 2 C (3;3. 1. Après avoir placé ces points, calculer les coordonnées de M, milieu de [BC]. 2. (a Calculer les coordonnées du symétrique A du point A par rapport à M. (b Quelle est la nature du quadrilatère ABA C? Le justifier. (c Justifier que le cercle C circonscrit au triangle ABC a pour centre le point M. 3. Démontrer que la droite passant par B et T ( 5;1 est la tangente au cercle C. Définition de la tangente à un cercle : Etude 7 :problème ouvert ( ou... si on inventait un repère!!! Soit MNPQ un carré de centre O. I et J sont les milieux respectifs de [MN] et [OP]. Démontrer que le triangle IJQ est isocèle et rectangle. Exercices : n o 35, 39, 40, 45, 48 p 253 V Algorithmique :automatisation du calcul de la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées 1. Algorithme à compléter : 2. Traduction en langage machine : 3. Quels sont les limites de l efficacité de ce programme? Mme Bessaguet Page 5 sur 5 31 août 2015