DROITE DES MILIEUX EXERCICES Exercice 1. Soient C un cercle de centre O et [AB] l'un de ses diamètres ; le point M, distinct de A et de B, appartient au cercle ; le point I est le milieu de [AM]. Démontrer que (OI) est parallèle à (BM). Exercice 2. Soient C un cercle de centre O et [AB] l'un de ses diamètres ; le point M, distinct de A et de B, appartient au cercle ; la droite (d) parallèle à (BM) passant par O coupe [AM] en I. Démontrer que I est le milieu de [AM]. Exercice 3. Dans le triangle ABC rectangle en A, I est le milieu de [BC] et J celui de [AB]. Démontrer que les droites (IJ) et (AB) sont perpendiculaires entre elles. Exercice 4. Dans le triangle ABC rectangle en A, I est le milieu de [BC], J celui de [AB] et K celui de [AC]. Démonter que IJK est un triangle rectangle. Exercice 5. Dans le quadrilatère ABCD, I est le milieu de [AB]. La droite (d) parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J ; la droite (d') parallèle à (DC) passant par J coupe (AD) en K. Démonter que la droite (IK) est parallèle à (BD). Exercice 6. Tracer un trapèze ABCD, dont les bases sont [AB] et [CD] ; placer le milieu I de [AD] ; tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par I, elle coupe [BC] en J. Démontrer que J est le milieu de [BC] (Indication : tracer une diagonale du trapèze). Exercice 7. Construire le triangle ABC tel que : AB = 5cm ; AC = 4,8 cm ; BC = 3 cm. Placer I le milieu de [AB] et J celui de [BC]. Déterminer IJ. Exercice 8. Dans le triangle équilatéral ABC, I est le milieu de [AB], J celui de [AC] et K celui de [BC]. Démonter que IJK est un triangle équilatéral. Exercice 9. Dans le parallélogramme EFGH de centre K, le point L est le milieu de [FG]. Sachant que EF = 10 cm, déterminer KL. Exercice 10. Dans un cercle, [AB] et [AC] sont deux cordes telles que les points B et C soient diamétralement opposés. Le point I est le milieu de [AB] et J celui de [AC]. Démontrer que IJ est égal au rayon du cercle. Exercice 11. Soient C un cercle de centre O ; [AB] et [ED] sont deux diamètres distincts du cercle ; le point H est le symétrique de O par rapport à B ; le point G est le symétrique de O par rapport à D. Démontrer que (AE) est parallèle à (GH). Exercice 12. Deux cercles C 1 de centre O 1 et C 2 de centre O 2 se coupent, A est l'un des points d'intersection ; [AR] est un diamètre de C 1 et [AP] est un diamètre de C 2. Sachant que O 1 O 2 = 6 cm, calculer RP. 1
Exercice 13. Théorème de Varignon ( 1 ). Soient ABCD un quadrilatère non croisé quelconque, I le milieu de [AB], J celui de [BC], K celui de [CD] et L celui de [DA]. Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme (Indication : tracer une diagonale du quadrilatère). Exercice 14. ( 2 ) Объяснить, как, пользуясь свойством средней линии треугольника, можно определить расстояние между двумя точками A и В, одна из которых недоступна (черт. 152). Как должна быть выбрана третья точка (точка С)? Обязательно ли угол А должен быть прямым? Expliquer comment, en utilisant la propriété de la ligne des milieux d'un triangle, il est possible de déterminer la distance entre deux points A et B, dont l'un est inaccessible (schéma 152). Comment le troisième point (noté C) doit-il être choisi? L'angle en A doit-il être obligatoirement droit? Exercice 15. Dans le triangle ABC, D est le milieu de [BC] et M celui de [AD]. La droite (CM) coupe (AB) en F. La droite (d) parallèle à (CF) passant par D coupe (AB) en E. 1 ) Démonter que F est le milieu de [AE]. 2 ) Démonter que E est le milieu de [BF]. Exercice 16. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J celui de [AC] ; le point K est le symétrique de I par rapport à B ; la droite (KJ) coupe (BC) en L. Démonter que L est le milieu de [KJ] (Indication : que peut-on dire des droites (IJ) et (BL)?). 1 Pierre Varignon, mathématicien français, né à Caen en 1654 et mort à Paris en 1722. On trouve ce théorème énoncé au corollaire IV du théorème XXIX (page 62) des Elemens de mathematique de monsieur Varignon, Paris, 1731. 2 Exercice tiré de l'ouvrage : Никитин, Маслова, Сборник задач по геометрии для 6-8 классов, Москва, 1971 (Nikitin, Maslova, Recueil d'exercices de géométrie pour les classes 6-8, Moscou, 1971). 2
SOLUTIONS DES EXERCICES Exercice 1. Données. 1. O est le centre du cercle C. Exercice 2. Exercice 3. 2. [AB] est un diamètre de C. Propriété. Si un segment est un diamètre d'un cercle alors le centre du cercle est le milieu de ce segment. Conclusion. O est le milieu de [AB]. Données. 1. O est le milieu de [AB]. 2. I est le milieu de [AM]. Conclusion. (OI) est parallèle à (BM). Données. 1. O est le centre du cercle C. 2. [AB] est un diamètre de C. Propriété. Si un segment est un diamètre d'un cercle alors le centre du cercle est le milieu de ce segment. Conclusion. O est le milieu de [AB]. Données. 1. O est le milieu de [AB]. 2. (d) est parallèle à (BM) et passe par O. Conclusion. (d) coupe [AM] en son milieu. Données. 1. (d) coupe [AM] en son milieu. 2. (d) coupe [AM] en I. Conclusion. I est le milieu de [AM]. Données. 1. I est le milieu de [BC]. 2. J est le milieu de [AB]. Conclusion. (IJ) est parallèle à (AC). Données. 1. (IJ) est parallèle à (AC). 2. (AB) est perpendiculaire à (AC). Propriété. Si deux droites sont parallèles entre elles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors cette troisième droite est perpendiculaire à l'autre. Conclusion. (IJ) est perpendiculaire à (AB). 3
Exercice 5. 2. (d) est parallèle à (BC) et passe par I. Conclusion. (d) coupe [AC] en son milieu. Données. 1. (d) coupe [AC] en son milieu. 2. (d) coupe [AC] en J. Conclusion. J est le milieu de [AC]. Données. 1. J est le milieu de [AC]. 2. (d') est parallèle à (DC) et passe par J. Conclusion. (d') coupe [AD] en son milieu. Données. 1. (d') coupe [AD] en son milieu. 2. (d') coupe [AD] en K. Conclusion. K est le milieu de [AD]. 2. K est le milieu de [AD]. Conclusion. (IK) est parallèle à (BD). Exercice 6. Données. 1. I est le milieu de [AD]. 2. (d) est parallèle à (AB) et passe par I. Conclusion. (d) coupe [BD] en son milieu. Données. 1. (d) coupe [BD] en son milieu. 2. (d) coupe [BD] en K. Conclusion. K est le milieu de [BD]. Données. 1. (d) est parallèle à (AB). 2. (DC) est parallèle à (AB), comme bases d'un trapèze. Propriété. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Conclusion. (d) est parallèle à (DC). 4
Données. 1. K est le milieu de [BD]. 2. (d) est parallèle à (DC) et passe par K. Conclusion. (d) coupe [BC] en son milieu. Données. 1. (d) coupe [BC] en son milieu. 2. (d) coupe [BC] en J. Conclusion. J est le milieu de [BC]. Exercice 7. 2. J est le milieu de [BC]. Propriété. Si un un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle alors il est égale à la moitié du Conclusion. IJ = AC = 2,4 cm. Exercice 9. Données. 1. EFGH est un parallélogramme. 2. K est l'intersection des diagonales de EFGH. Propriété. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Conclusion. K est le milieu de [EG]. Données. 1. K est le milieu de [EG]. 2. L est le milieu de [FG]. Propriété. Si un un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle alors il est égale à la moitié du Conclusion. KL = EF = 5 cm. Exercice 10. 2. J est le milieu de [AC]. Propriété. Si un un segment joint les milieux de deux côtés d un triangle alors il est égale à la moitié du Conclusion. IJ = BC. 5
Exercice 11. Première partie Données. 1. H est le symétrique de O par rapport à B. Définition. On dit que deux points sont symétriques par rapport à un troisième lorsque ce troisième est le milieu du segment formé par ces deux points. Conclusion. B est le milieu de [OH]. De même D est le milieu de [OG]. Données. 1. B est le milieu de [OH]. 2. D est le milieu de [OG]. Conclusion. (BD) est parallèle à (GH). Données. 1. O est le centre du cercle C. 2. [AB] est un diamètre de C. Propriété. Si un segment est un diamètre d'un cercle alors le centre du cercle est le milieu de ce segment. Conclusion. O est le milieu de [AB]. Deuxième partie De même O est le milieu de [ED]. Données. 1. O est le milieu de [AB]. 2. O est le milieu de [ED]. Propriété. Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Conclusion. AEBD est un parallélogramme. Données. 1. AEBD est un parallélogramme. 2. [AE] et [BD] sont opposés. Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Conclusion. (AE) est parallèles à (BD). Troisième partie Données. 1. (AE) est parallèle à (BD). 2. (GH) est parallèle à (BD). Propriété. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Conclusion. (AE) est parallèle à (GH). 6