Chapitre 5.4 Le oteur linéaire Le coporteent physique d un oteur linéaire Le oteur électrique linéaire est un circuit électrique constitué d une pile d électrootance branchée à un rail en fore de U où il y a une tige conductrice de longueur l pouant glisser sur le rail qui fere le circuit. La résistance du circuit est égale à ce qui peret l écouleent d un courant par la loi d Oh : V l Lorsque le circuit est plongé dans un chap agnétique B perpendiculaire au plan du circuit, tous les côtés du circuit subissent une force agnétique : F l B Puisque seuleent la tige conductrice est obile, elle subit une accélération par la ièe loi de Newton : F a B a F L accélération peret à la tige de gagner de la itesse ce qui génère une électrootance uite (coe dans le cas d un générateur linéaire : Bl Selon la loi de Lenz, cette nouelle différence de potentiel s oppose à ce qui l a créé : la pile. insi, le courant diinue, la force agnétique diinue et l accélération diinue par la loi des ailles et la loi d Oh : B a F La tige conductrice atteint une itesse liite li lorsque le courant est nul. L électrootance uite est alors égale à l électrootance de la pile et la itesse liite peut être éaluée grâce à l expression suiante : V li Bl B li éférence : Marc Séguin, Physique XX Volue B Page 1 Note de cours rédigée par : Sion Vézina
Situation 1 : Un oteur linéaire. Un oteur linéaire est alienté par une pile dont l électrootance est égale à 1 V tel qu illustré sur le schéa ci-contre. La tige a une longueur de,4, une asse de, kg et une résistance de 3 Ω (le reste du circuit a une résistance négligeable. Un chap agnétique unifore de,5 T entre dans le plan du schéa. On désire déteriner le odule de l accélération de la tige au oent où on la lâche (itesse initiale nulle. On suppose que le frotteent entre les rails et la tige est négligeable et que la graité n influence par le oueent de la tige. E B F Éaluons le courant à partir de la loi d Oh : V ( 1 ( 3 4 Éaluons la force agnétique appliquée sur la tige : F lbsin( θ F ( 4(,4(,5 sin( 9 F,8 N Éaluons l accélération à partir de la ièe loi de Newton selon l axe x : F x a x F a x (,8 (, a x a x 4 /s Situation : La itesse liite de la tige du oteur linéaire. À la situation 1, on désire déteriner le odule de la itesse liite atteinte par la tige. (On suppose que le ontage s étend éfinient ers la droite. La itesse liite sera atteint lorsque l électrootance uite dans la tige s opposera coplèteent à l électrootance de la pile ( ce qui réduit la force agnétique à zéro (car. Éaluons la itesse liite à partir de l électrootance uite du générateur linéaire : B l ( Bl (,5(,4 ( 1 (eplacer aleurs nu. 6 /s (Éaluer éférence : Marc Séguin, Physique XX Volue B Page Note de cours rédigée par : Sion Vézina
L équation du oueent du oteur linéaire Le oueent d une tige d un oteur linéaire n est pas un oueent à accélération constante de type MU, car l électrootance uite qui nuit à l accélération de la tige dépend de la itesse de celle-ci. En considérant cet effet, on peut déontrer 1 que la itesse ( t de la tige en fonction du teps peut être éaluée grâce à l équation suiante : B a l F ( t li 1 + li 1 e où ( t : Vitesse de la tige (/s Preue : et / : Vitesse initiale de la tige (/s t : Teps écoulé dans le déplaceent de la tige (s : Électrootance de la pile qui pousse la tige (V B : Chap agnétique appliqué sur le oteur linéaire (T l : Longueur de la tige ( : ésistance du circuit (Ω : Masse de la tige du oteur linéaire (kg : Vitesse liite atteinte par la tige (/s li Considérons un oteur linéaire stiulé par la présence d une pile d électrootance dont la résistance du circuit est. La tige du oteur linéaire est d une longueur l et de asse. Nous allons négliger l auto-uction du circuit, car elle est négligeable. Éaluons le courant qui circule dans le circuit à partir de la loi des ailles en incluant une électrootrice uite s opposant à la circulation du courant : V (Loi des ailles li Bl (soler Éaluons l expression de la force agnétique appliquée sur la tige : F l Bsin( θ F l B F ( Bl ( θ 9, replacer ( Bl 1 l est iportant de noter que cette équation ne considère par l auto-uction du oteur linéaire (notion explorée dans le chapitre 5.6, car elle est négligeable si le chap agnétique constant est très fort. éférence : Marc Séguin, Physique XX Volue B Page 3 Note de cours rédigée par : Sion Vézina
ppliquons la ièe loi de Newton à notre tige et éaluons notre équation différentielle afin de déteriner l expression de la itesse ( t de la tige : F a F a (Force agnétique d d Bl ( a d d t (Séparer d et d t Bl ( Bl a ( F ( Bl ( 1 d (Factoriser Bl / Bl d (Siplifier / Bl t t t d / Bl d / Bl 1 - Bl (Poser l intégrale t ( d t t 1 ln / Bl ( x x C d ln + + x + ln / Bl ln / Bl (Éaluer les bornes / Bl t ln / Bl ( ( ( t ln ln B ln B e / Bl / Bl (ppli.l expo., ( ln e x x ( / Bl e / Bl (etirer le dénoinateur Bl + ( / Bl e (soler / / Bl 1 + 1 e (Factoriser / Bl / Bl ( t li 1 + li 1 e ( li / Bl et < li éférence : Marc Séguin, Physique XX Volue B Page 4 Note de cours rédigée par : Sion Vézina
Situation 3 : La itesse liite en présence d une force externe. À la situation 1, on désire déteriner le odule de la itesse finale liite de la tige lorsqu elle subit une force externe constante de, N orientée (a ers la gauche; (b ers la droite. Dans la situation présente, la force agnétique appliquée par le courant débité par la pile de 1 V est orienté selon l axe x positif. appel des aleurs : L,4 B,5 T 3 Ω E B F (a Éaluons la force agnétique appliquée sur la tige à l équilibre (donc à la itesse axiale à partir de la ièe loi de Newton selon l axe x aec une force externe orientée selon l axe x négatif : x F + F ext F F + (, B F ext F F, N Pour que la force agnétique soit orientée dans le sens positif de l axe x, le courant doit circuler ers le bas de la tige. Éaluons le courant qui circule dans le circuit pour générer la force agnétique : F lb sin( θ (, (,4(,5 sin( 9 1 Éaluons l électrootance uite dans le circuit à partir de la loi des ailles et de la loi d Oh. l est iportant de rappeler que l électrootance uite est de sens contraire à l électrootance de la pile : V pile ( 1 ( 3( 1 B F ext F 9 V Éaluons la itesse liite à partir de l électrootance uite du générateur linéaire : Bl ( 9 (,5(,4 45 /s éférence : Marc Séguin, Physique XX Volue B Page 5 Note de cours rédigée par : Sion Vézina
(b Éaluons la force agnétique appliquée sur la tige à l équilibre (donc à la itesse axiale à partir de la ièe loi de Newton selon l axe x aec une force externe orienté selon l axe x positif : x F + F ext F F + (, F B F ext F, N Pour que la force agnétique soit orientée dans le sens négatif de l axe x, le courant doit circuler ers le haut de la tige. Éaluons le courant qui circule dans le circuit pour générer la force agnétique : F lb sin( θ (, (,4(,5 sin( 9 1 Éaluons l électrootance uite dans le circuit à partir de la loi des ailles et de la loi d Oh. l est iportant de rappeler que l électrootance uite est de sens contraire à l électrootance de la pile : V + pile ( 1 + ( 3( 1 B F F ext 15 V Éaluons la itesse liite à partir de l électrootance uite du générateur linéaire : Bl ( 15 (,5(,4 75 /s En conclusion : Lorsque la force externe est dans le êe sens que la force agnétique générée par le courant de la pile augentation de la itesse liite (partie b Lorsque la force externe est dans le sens contraire à la force agnétique générée par le courant de la pile diinution de la itesse liite (partie a éférence : Marc Séguin, Physique XX Volue B Page 6 Note de cours rédigée par : Sion Vézina