Compétences: Tangentes Calcul de dérivées Dérivée et variations Probabilité Le 30 / 03 / 2006 classe :1 ES Devoir de mathématiques n 7. (sujet A) Exercice 1 : 5pts. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : a) u x =2 x 5 3 x b) v x = 3x 5 1 4x c) w x =x x Exercice 2 : 7pts. On considère la fonction f définie par x 3 6x 2 + 9x + 1. 1 / Déterminer la dérivée f ' de la fonction f. 2 / Déterminer le signe de f ' sur son ensemble de définition. 3 / En déduire le tableau de variations de la fonction f. Démontrer que T A et T B sont parallèles. Exercice 3 : 4pts. On considère un jeu de 32 cartes, dans lequel on tire une carte au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants : 1 / A : «la carte choisie est une dame». 2 / B : «la carte choisie est un trèfle». 3 / A B 4 / A B Exercice 4 : 4pts. Dans un établissement scolaire, on connaît la répartition de tous les élèves. seconde première terminale total filles 104 101 98 303 garçons 108 96 93 297 total 212 197 191 600 Si on choisit au hasard un élève de cet établissement, quelle est la probabilité des événements suivants : F : «l'élève est une fille». G : «l'élève est en terminale». H : «l'élève est une fille de terminale». I : «l'élève n'est ni une fille ni en terminale».
Correction du devoir de mathématiques n 7. (sujet A) Exercice 1 : a) La fonction u est définie et dérivable sur R et u ' x =10x 4 3 x 2 b) La fonction v est définie sur R\{1/4}. Soient f(x) = 3x+ 5 et g(x) = 1 4x, on a alors v x = f x g x. Les fonctions f et g sont définies et dérivables sur R avec f '(x) = 3 et g'(x) = - 4. On en déduit que v est dérivable sur R \{1/4}, et f ' x g x f x g' x 3 1 4x 4 3x 5 v ' x = = = 3 12x 12x 20 = 23 g 2 x 1 4x 2 1 4x 2 1 4x 2 c) La fonction v est définie sur R +. Soient f(x) = x et g(x) = x, on a alors w x = f x g x. Les fonctions f et g sont définies et dérivables sur R + avec f '(x) = 1 et g ' x = 1. 2 x On en déduit que v est dérivable sur R +, et w x = f ' x g x f x g' x = x x 2 x = 2x x 2sqrt x = 3x 2 x = 3x x 2x Exercice 2 : On considère la fonction f définie par x 3 6x 2 + 9x + 1. 1 / f est définie et dérivable sur R, et f '(x) = 3x² 12x + 9. 2 / Calcul du discriminent : = b² 4ac = 144 4 3 9 =144 108 = 36 Donc ce polynôme admet 2 racines : x 1 = b = 12 6 =1 et x 2a 6 2 = b 12 6 = =3 2a 6 On en déduit que f '(x) =3(x 1)(x 3) et que f '(x) est strictement positif à l'extérieur de ses racines c'est à dire sur ]- ; 1 [ U ]3 ; + [. Et f '(x) est négatif entre ses racines c'est à dire sur ]1 ; 3[ 3 /On a alors : x f '(x) f 1 3 0 0 5 1 T A a une équation réduite de la forme y = f '(0,5)(x 0,5) + f(0,5). T B a une équation réduite de la forme y = f '(3,5)(x 3,5) + f(3,5) Or f '(0,5) = 3(0,5 1)(0,5 3) = 3(-0,5)(-2,5) = 3,75 Et f '(3,5) = 3(3,5 1)(3,5 3) = 3(2,5)(0,5) = 3,75. On en déduit que T A et T B ont le même coefficient directeur et donc que T A et T B sont parallèles.
Exercice 3 : 4pts. Le fait que l'on tire une carte au hasard signifie que la loi de probabilité vérifie l'hypothèse d'équiprobabilité. favorable de dames 1 / P A = =nombre possible nombre de cartes = 4 32 =1 8 =0,125 La probabilité de choisir une dame est de 0,125. favorable de trèfles 2 / P B = =nombre possible nombre de cartes = 8 32 =1 4 =0,25 La probabilité de choisir un trèfle est de 0,25. favorable nombre de dames de trèfles 3 / P A B = = = 1 possible nombre de cartes 32 =0,0625 La probabilité de choisir une dame de trèfle est de 0,0625. 4 / P A B =P A P B P A B = 4 32 8 32 1 32 =11 32 11 La probabilité de choisir une dame ou un trèfle est de 32. Exercice 4 : P F = favorable de filles =nombre possible nombre d' élèves =303 600 0,505 La probabilité de choisir une fille est d'environ 0,505. P G = favorable d' élèves en terminale =nombre = 191 possible nombre d' élèves 600 0,318 La probabilité de choisir un élève de terminale est d'environ 0,318. P H = favorable de filles de terminale =nombre = 98 possible nombre d' élèves 600 0,163 La probabilité de choisir une fille de terminale est d'environ 0,163. P I =P F B =1 P F G =1 P F P G P F G =1 303 600 191 600 98 600 La probabilité de ne choisir ni une fille ni un élève de terminale est de 0,34. =1 396 600 =204 600 =0,34
Compétences: Tangentes Calcul de dérivées Dérivée et variations Probabilité Le 30 / 03 / 2006 classe :1 ES Devoir de mathématiques n 7. (sujet B) Exercice 1 : 5pts. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : a) u x =3 x 4 5 x b) v x = 5x 4 1 3x c) w x =x x Exercice 2 : 7pts. On considère la fonction f définie par -x 3 + 6x 2-9x + 3. 1 / Déterminer la dérivée f ' de la fonction f. 2 / Déterminer le signe de f ' sur son ensemble de définition. 3 / En déduire le tableau de variations de la fonction f. Démontrer que T A et T B sont parallèles. Exercice 3 : 4pts. On considère un jeu de 32 cartes, dans lequel on tire une carte au hasard. Calculer la probabilité des événements suivants : 1 / A : «la carte choisie est un carreau». 2 / B : «la carte choisie est un as». 3 / A B 4 / A B Exercice 4 : 4pts. Dans un établissement scolaire, on connaît la répartition de tous les élèves. seconde première terminale total filles 141 128 134 403 garçons 132 134 131 397 total 273 262 265 800 Si on choisit au hasard un élève de cet établissement, quelle est la probabilité des événements suivants : F : «l'élève est un garçon». G : «l'élève est en première». H : «l'élève est un garçon de première». I : «l'élève n'est ni un garçon ni en première».
Correction du devoir de mathématiques n 7. (sujet B) Exercice 1 : a) La fonction u est définie et dérivable sur R et u ' x =12x 3 5 x 2 b) La fonction v est définie sur R\{-1/3}. Soient f(x) = 5x - 4 et g(x) = 1 + 3x, on a alors v x = f x g x. Les fonctions f et g sont définies et dérivables sur R avec f '(x) = 5 et g'(x) = 3. On en déduit que v est dérivable sur R \{-1/3}, et f ' x g x f x g' x 5 1 3x 3 5x 4 v ' x = = = 5 15x 15x 12 = 17 g 2 x 1 3x 2 1 3x 2 1 3x 2 c) La fonction v est définie sur R +. Soient f(x) = x et g(x) = x, on a alors w x = f x g x. Les fonctions f et g sont définies et dérivables sur R + avec f '(x) = 1 et g ' x = 1. 2 x On en déduit que v est dérivable sur R +, et w x = f ' x g x f x g' x = x x 2 x = 2x x 2sqrt x = 3x 2 x = 3x x 2x Exercice 2 : On considère la fonction f définie par -x 3 + 6x 2-9x + 3. 1 / f est définie et dérivable sur R, et f '(x) = -3x² + 12x - 9. 2 / Calcul du discriminent : = b² 4ac = 144 4 (-3) (-9) =144 108 = 36 Donc ce polynôme admet 2 racines : x 1 = b = 12 6 =3 et x 2a 6 2 = b 12 6 = =1 2a 6 On en déduit que f '(x) = -3(x - 1)(x - 3) et que f '(x) est strictement négatif à l'extérieur de ses racines c'est à dire sur ]- ; 1 [ U ]3 ; + [. Et f '(x) est positif entre ses racines c'est à dire sur ]1 ; 3[ 3 /On a alors : x f '(x) f 1 3 0 0-1 -5 T A a une équation réduite de la forme y = f '(0,5)(x 0,5) + f(0,5). T B a une équation réduite de la forme y = f '(3,5)(x 3,5) + f(3,5) Or f '(0,5) = -3(0,5 1)(0,5 3) = -3(-0,5)(-2,5) = -3,75 Et f '(3,5) = -3(3,5 1)(3,5 3) = -3(2,5)(0,5) = -3,75. On en déduit que T A et T B ont le même coefficient directeur et donc que T A et T B sont parallèles.
Exercice 3 : 4pts. Le fait que l'on tire une carte au hasard signifie que la loi de probabilité vérifie l'hypothèse d'équiprobabilité. favorable de carreau 1 / P B = =nombre possible nombre de cartes = 8 32 =1 4 =0,25 La probabilité de choisir un carreau est de 0,25. favorable nombre d' as 2 / P A = = possible nombre de cartes = 4 32 =1 8 =0,125 La probabilité de choisir un as est de 0,125. favorable nombre d' as de carreau 3 / P A B = = possible nombre de cartes La probabilité de choisir un as de carreau est de 0,0625. 4 / P A B =P A P B P A B = 4 32 8 32 1 32 =11 32 11 La probabilité de choisir un as ou un carreau est de. 32 Exercice 4 : P F = favorable de garçons =nombre = 397 possible nombre d' élèves 800 0,496 La probabilité de choisir un garçon est d'environ 0,496. = 1 32 =0,0625 P G = favorable d' élèves en première =nombre = 262 possible nombre d' élèves 800 0,327 La probabilité de choisir un élève de première est d'environ 0,327. P H = favorable de garçons de première =nombre = 134 possible nombre d' élèves 800 0,167 La probabilité de choisir un garçon de première est d'environ 0,167. P I =P F B =1 P F G =1 P F P G P F G =1 397 800 262 800 134 800 La probabilité de ne choisir ni un garçon ni un élève de première est de 0,34. =1 525 800 =275 800 0,344