Les droites affines... ) Rappels... ) Eemples... ) Tangente à une courbe... Les fonctions polynômes... ) Plan d étude... ) Tableau des dérivées utiles pour les fonctions polynômes... ) Fonctions du ème degré... Eercice... Eercice... Eercice... ) Les fonctions du ème degré... Eercice... Eercice... EXERCICE... partie A... Les fonctions rationnelles... ) Tableau des dérivées utiles pour les fonctions rationnelles... ) Calcul de la dérivée.... ) Eemple de fonctions rationnelles... Eercice... Eercice...
) Rappels Les droites affines Une fonction affine f est une fonction définie sur IR par f()=a + b. La représentation graphique d une fonction affine est une droite affine. L équation de cette droite est : y = a + b Le coefficient a est appelé coefficient directeur de la droite : a = y B y A B A Le coefficient b est appelé ordonnée à l origine de la droite. Il est égal à l ordonnée du point d intersection de la droite avec l ae des ordonnées. Une droite affine qui passe par l origine du repère est appelée droite linéaire. Son équation est : y = a Une droite affine horizontale a un coefficient directeur nul. ) Eemples Calculer les équations des droites suivantes : Droite (AB) avec A( ; ) et B( ; 8) Droite (d) parallèle à la droite d équation y = + et passant par M( ; ) droite (AB) avec A( ; ) et B( ; 8) a = 8 = Pour calculer b on utilise les coordonnées de A dans l équation y = a +b = + b b = L équation de (AB) est y = + - - y - - - 0 P A B a = - = La droite (AB) coupe l ae des ordonnées en P(0, ) b = Equation de cette droite : y = Cette droite est la représentation graphique de la fonction affine définie par : f() = droite (d) parallèle à la droite d équation y = + et passant par M( ; ) (d) étant parallèle à la ère droite leurs coefficients directeurs sont égau : Donc a = - On utilise les coordonnées de M dans y = + b = - + b b = L équation de (d) est y = - + ) Tangente à une courbe La tangente à une courbe est une droite affine qui a un point commun avec la courbe. Pour calculer l équation d une tangente en un point M d abscisse M, il faut : L epression de la fonction : f() L epression de la dérivée f () On calcule l ordonnée du point M : y M = f( M ) On calcule le coefficient directeur de la tangente : a= f ( M ) On est ensuite ramené à calculer l équation d une droite passant par un point de coordonnées connues et de coefficient directeur connu y 7 6 M - 0 Soit la fonction f dont on sait que : f() = f () = La tangente en M( ;) a pour équation : y = + b On remplace et y par les coordonnées de M = + b b = L équation de la tangente en M est y =
Les fonctions polynômes ) Plan d étude Calcul de la dérivée Si la dérivée est de degré supérieur à il faut la factoriser Rechercher d éventuelles solutions de f () = 0 Faire le tableau du signe de la dérivée et des variations de la fonction. Si la dérivée est négative dans un intervalle I alors la fonction est décroissante dans cet intervalle Si la dérivée est positive dans un intervalle I alors la fonction est croissante dans cet intervalle Si la dérivée est nulle pour une valeur o alors courbe admet une tangente horizontale au point ( 0 ; f( 0 ) Présenter un tableau de valeurs de la fonction Tracer la courbe ) Tableau des dérivées utiles pour les fonctions polynômes fonction dérivée fonction dérivée f() = c f () = 0 a U a U f() = f () = U + V U + V f() = ² f () = f() = f () = ² ) Fonctions du ème degré Fonction définie par f() = a² + b + c Les fonctions du ème degré ont pour courbe une parabole Eercice Etudier la fonction f définie sur [- ; 6] par f() = ² + Tracer sa courbe dans un repère orthonormé (unités cm) Courbes possibles des fonctions du ème degré Eercice Etudier la fonction f définie sur [- ; 6] par f() = ² 8 + Tracer sa courbe dans un repère (unités cm sur OX, ½ cm sur OY) Eercice Le nombre d objets produits et vendus chaque jour par une entreprise est noté. Le bénéfice, en euros, qu elle en retire est donné par la formule suivante : ² +90 00. On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 00] par f () = ² +90 00. Partie A : étude du bénéfice. Vérifier que f () = ( 0)(70 ).. Résoudre l inéquation : f () > 0 dans l intervalle [0 ; 00].. En déduire la quantité d objets à produire pour que l entreprise réalise un bénéfice.. Calculer f () où f désigne la dérivée de la fonction f.. étudier le signe de f () puis établir le tableau des variations de la fonction f sur l intervalle [0 ; 00]. 6. En déduire la quantité d objets à produire pour obtenir un bénéfice maimum. Préciser la valeur du bénéfice correspondant. Partie B : étude du coût total de production. Chaque objet est vendu 0 euros. On désigne par R() la recette réalisée par la vente de objets. Eprimer R() en fonction de.. On appelle C() le coût total de fabrication de objets. Vérifier que : C() = +0 + 00.. Calculer la dérivée C de C et en déduire que C est croissante sur [0 ; 00]. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : 0 0 0 0 0 0 60 70 80 90 00 C() 00 800 00 8 00 0 00 00 00. Sur un graphique, tracer la courbe représentative C de la fonction C. (Prendre cm pour 0 unités sur l ae des abscisses et cm pour 000 unités sur l ae des ordonnées.) Tracer également la droite δ représentative de la recette R. 6. Indiquer sur le graphique la quantité d objets à produire pour que l entreprise réalise un bénéfice (on fera apparaître les traits de construction nécessaires à la lecture).
) Les fonctions du ème degré Fonction définie par f() = a + b² + c + d Eercice Etudier la fonction f définie sur [ 6 ; 6] par : f() = 7 + Tracer sa courbe représentative dans un repère (Prendre cm pour unités sur l ae des abscisses et cm pour 0 unités sur l ae des ordonnées.) Eercice Etudier la fonction f définie sur [ ; ] par : f() = + Calculer l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 0 Tracer la courbe représentative et la tangente dans un repère (Prendre cm pour unités sur l ae des abscisses et / cm pour une unité sur l ae des ordonnées.) EXERCICE partie A On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 0] par : f() = + 60 + 000. On note f la dérivée de f. Calculer f () pour appartenant à [0 ; 0].. Vérifier que f () = 6 (0 ) pour appartenant à [0 ; 0], puis étudier le signe de f. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ; 0].. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : 0 0 0 0 f (). Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthogonal d'unités graphiques : - en abscisses : cm pour unités ; - en ordonnées cm pour 000 unités.. Tracer dans le même repère la droite (D) d'équation y = 0 + 00. 6. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de la courbe (C) et de la droite (D). - Partie B : Le club de théâtre du lycée LOUIS XIV a loué une grande salle de spectacle et organise une représentation de "Ubu Roi" d'alfred Jarry. Le pri de location de la salle est 00 euros Le club espère avoir un maimum de spectateurs parmi la population des environs, aussi il décide de faire passer des messages publicitaires sur la radio locale. Soit le nombre de jours de publicité. Pour compris entre 0 et 0, la recette prévue est donnée par f() où f est la fonction définie dans la partie A. Chaque jour de publicité est facturé 0 euros.. Montrer que les dépenses D() s écrivent : D() = 00 + 0. Quel est le bénéfice si on prévoit jours de publicité?. Combien de jours de publicité au minimum faut-il envisager pour que le bénéfice prévisible soit positif ou nul?
Les fonctions rationnelles Les fonctions rationnelle sont des fonction dont l epression algébrique a au moins un dénominateur variable Des fonctions définie par f()= + ; g() = + + sont des fonctions rationnelles ) Tableau des dérivées utiles pour les fonctions rationnelles fonction dérivée fonction dérivée V ² V V² U V U V UV V² ) Calcul de la dérivée. La dérivée d une fonction rationnelle doit être mise sous forme de fraction unique. Le dénominateur étant de la forme V² ne doit jamais être développé. Même s il a une forme complee, comme il est de la forme V², il faut se rappeler que le dénominateur est > 0. ) Eemple de fonctions rationnelles Eercice Etudier la fonction f définie sur [ ; 6] par : f() = + Calculer l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse Tracer la courbe représentative et la tangente dans un orthonormé d unités le cm Eercice Etudier la fonction f définie sur [ ; 6] par : f() = + Donner une valeur approchée des solution de f() = 0