Théorème de Pythagore C H A P I T R E 6 Énigme du chapitre. Objectifs du chapitre. Tom veut rejoindre l école le plus rapidement possible. Il doit traverser une rivière de 1 mètre de large. Où faut-il construire le pont pour avoir le chemin le plus court entre la maison de Tom et l école du village? Caractériser le triangle rectangle par l égalité de Pythagore Calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle à partir de celles des deux autres. M 20 m 10 m 15 m 1 m 4 m E Bonus : Quelle est la longueur du chemin le plus court?
I/ Introduction : racines carrées d un nombre positif Activité A. Racines carrées 1. Calculer 5 2 et ( 5) 2. 2. Quel est le nombre positif dont le carré est 25? On dira que ce nombre est la racine carrée de 25 et est noté 25. 3. (a) Recopier et compléter le tableau suivant : x 6 1,5 5 1 0,7 25 x 2 (b) En déduire les valeurs des nombres 36 ; 2,25 ; 25 ; 1 ; 0,49 ; 625. 4. On souhaite trouver la longueur AB, telle que AB 2 = 40. (a) Calculer 6 2 et 7 2. (b) En déduire un encadrement de la longueur AB par deux entiers consécutifs. (c) Avec la calculatrice, donner une valeur approchée au dixième près de la longueur AB. Définition Soit x un nombre positif. Le nombre positif dont le carré est x est appelé la racine carré de x et se note x. Exemples 25 = 5 0,0121 = 0,11 40 6,32 Faire les exercices 1 2 3
II/ Egalité de Pythagore Activité B. À la découverte de l égalité de Pythagore, TICE GeoGebra Partie A : Conjecture 1. Construction de la figure (a) (b) Créer un segment [AB] Créer un point C appartenant à cette droite. (c) Créer les segments [AC] et [BC]. (d) Masquer la droite (AC) (cliquer sur le point vert à côté de b dans la partie «Algèbre» (à gauche) du logiciel) (e) Marquer l angle BAC. 2. Vérifier bien, dans la fenêtre «Algèbre», que le segment [AB] correspond au segment a, le segment [AC] au segment c et le segment [BC] au segment d. 3. Quelques calculs : (a) Afficher la fenêtre tableur. (b) Dans les cellules A1 et B1, entrer les titres BC 2 et BA 2 + AC 2. (c) Dans les cellules A2 et B2, entrer les calculs d 2 et a 2 + c 2. (d) Comparer les résultats dans les cellules A2 et B2. 4. Déplacer les points A, B et C et comparer les résultats affichés dans les cellules A2 et B2. Que peut-on conjecturer? Partie B : Démonstration La figure KLOP, représentée ci-dessous, est composée de deux triangles rectangles KLM et MOP identiques dont les côtés mesurent a, b et c. Les points L, M et O sont alignés.
P K a c c b L O b M a 1. En vous aidant de la propriété des angles dans un triangle rectangle, démontrer que l angle KMP est droit. 2. Démontrer que les droites (KL) et (P O) sont parallèles. 3. (a) Exprimer en fonction de a et b l aire du trapèze KLOP (b) Déterminer l aire des triangles KLM, MOP et KMP en fonction des longueurs a, b et c. (c) En déduire une autre expression de l aire du trapèze KLOP. 4. (a) Développer et réduire le produit (a + b)(a + b). (b) En déduire que c 2 = a 2 + b 2. Cette égalité est appelée l égalité de Pythagore. Propriété Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle ABC est rectangle en A alors BC 2 = AB 2 + AC 2. Définition L égalité BC 2 = AB 2 + AC 2 est appelée égalité de Pythagore. Exemple Soit MUR un triangle rectangle en U tel que MU = 10 cm et UR = 6 cm. On veut calculer la longueur du côté [MR].
R 6 cm M U 10 cm On sait que le triangle MUR est rectangle en U. Or, si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés. On a donc l égalité : MR 2 = MU 2 + UR 2. D où MR 2 = 10 2 + 6 2 = 100 + 36 = 136. On obtient MR = 136 cm, soit MR 11,7 cm. L hypoténuse [MR] mesure environ 11,7 cm. Faire les exercices 4 5 6 7 8
III/ Triangle rectangle? 1) Démontrer qu un triangle est rectangle Activité C. Démontrer qu un triangle est rectangle Soit un triangle ABC tel que AB = 7,4 cm ; AC = 2,4 cm et BC = 7 cm. 1. Construire le triangle ABC. 2. Quel est le côté le plus long dans ce triangle? 3. Écrire l égalité de Pythagore que doivent vérifier les côtés du triangle pour qu il soit rectangle. 4. (a) Calculer AB 2, AC 2 et BC 2. (b) Vérifier si l égalité de Pythagore énoncée à la question 3 est vraie dans ce triangle. 5. Conclure sur la nature du triangle ABC. Propriété Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle est égal à la somme des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si, dans un triangle ABC, on a : alors le triangle ABC est rectangle en A. BC 2 = AB 2 + AC 2 Remarque Les propriétés de la section II et III-1) sont réciproques l une de l autre Exemple Soit ABC un triangle tel que BC = 17 cm, AB = 15 cm et AC = 8 cm. On veut vérifier si ce triangle est rectangle. D une part : D autre part : BC 2 = 17 2 = 289. AB 2 + AC 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289. Donc BC 2 = AB 2 + AC 2. L égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle ABC est rectangle en A.
2) Démontrer qu un triangle n est pas rectangle Activité D. Démontrer qu un triangle n est pas rectangle Soit un triangle DEF tel que DE = 5,5 cm ; DF = 4,7 cm et EF = 7,3 cm. 1. Construire le triangle DEF. Quelle semble être sa nature? 2. Quel est le côté le plus long dans ce triangle? 3. Écrire l égalité de Pythagore que doivent vérifier les côtés du triangle pour qu il soit rectangle. 4. (a) Calculer DE 2, DF 2 et EF 2. (b) En déduire que l égalité de Pythagore énoncée à la question 3 n est pas vraie dans ce triangle. 5. Conclure sur la nature du triangle DEF. Propriété Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle n est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n est pas rectangle. Autrement dit, si, dans un triangle ABC tel que [BC] est le plus grand côté, on a : alors le triangle ABC n est pas rectangle. BC 2 AB 2 + AC 2 Exemple Soit le triangle ABC tel que BC = 6 cm, AB = 5 cm et AC = 3 cm. On veut vérifier si ce triangle est rectangle. D une part : D autre part : BC 2 = 6 2 = 36. AB 2 + AC 2 = 5 2 + 3 2 = 25 + 9 = 34 Donc : BC 2 AB 2 + AC 2. L égalité de Pythagore n est pas vérifiée, donc le triangle ABC n est pas rectangle. Faire les exercices 9 10 11 12 13 Problèmes : Faire les exercices 14 15 16 17 18 19 20