Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie par 2 et pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. Exercice La suite est définie par 0 et + pour tout entier naturel. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel. Exercice 4 La suite est définie par 0 et +2+2 pour tout entier naturel. a. Calculer, et. b. A-t-on + pour tout entier naturel? Justifier. Exercice 5 La suite est définie par 0 et +4 pour tout entier naturel. Montrer que 4 pour tout entier naturel. Exercice 6 Démontrer que est un multiple de 4 pour tout entier naturel. Exercice 7 Démontrer que, quel que soit l entier naturel, le nombre 0 est un multiple de. Exercice 8 Montrer par récurrence que +2 + + pour tout entier naturel. Exercice 9 Montrer par récurrence que 2+2 + 4+ ++ pour tout entier naturel. Exercice 0 Démontrer par récurrence que + +5 + +2 2 pour tout entier naturel. Partie B : Rappel sur les suites Exercice On considère la suite définie par 0, et pour tout, 7 +8. On considère la suite # définie par # + pour tout entier naturel. Montrer que # est géométrique et en déduire l expression de + en fonction de pour N. On considère la suite définie par ) Montrer que est majorée par. 2) En déduire qu elle est bornée. pour N.
Exercice On considère la suite définie par 2, et pour tout, 2. ) On pose ( pour tout entier naturel non nul. Quelle est la nature de (? 2) En déduire l expression de ( en fonction de pour N. ) Montrer par récurrence que ( +( +( + +( pour N. 4) En déduire l expression de en fonction de pour N. Exercice 4 On considère la suite définie par ) 2. 2 + pour N. ) Déterminer le réel / pour que la suite ( définie par ( +/ pour N soit géométrique. 2) Exprimer alors ( puis en fonction de pour N ) Calculer les sommes ( +( + +( puis + + +. Exercice 5 On considère la suite définie par 2 et pour tout entier naturel. ) On considère la suite ( définie par ( +4 pour N. Démontrer que ( est géométrique. 2) En déduire l expression de ( puis en fonction de pour N. ) Déterminer la limite de. Exercice 6 La suite est définie par 2 et pour tout entier naturel. ) Démontrer qu il existe un réel / tel que la suite ( définie sur N par ( +/ soit géométrique. 2) Exprimer en fonction de pour N. ) On considère la suite # définie sur N par # + + +. Déterminer l expression de # en fonction de pour N puis la limite de #. Exercice 7 Soit la suite définie par 2 et pour tout entier naturel, 2+5. On pose, pour tout entier naturel, (. ) Calculer de deux manières différentes # ( +( + +( pour N 2) En déduire l expression de en fonction de pour N. Exercice 8 Soit la suite définie par et pour tout entier naturel, +2 +. On considère la suite ( définie pour N, par (. ) Calculer de deux façons différentes # ( +( + +( pour N. 2) En déduire l expression de en fonction de pour N. Partie C : Limite d une suite : opérations et forme indéterminée Exercice Déterminer les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne les termes généraux. ) 4+6 2) +5 ) 4) 5) 5 6) 7) +
8) 9) 2+ 2 Dans chacun des cas suivants où on donne les termes généraux de deux suites, déterminer les limites éventuelles des suites ; ( ; +( ; ( et 2 4. ) + et ( 2) + et ( ) 2+ et ( 5 2 Partie D : Limite par comparaison Exercice On considère la suite définie par ) +2+. ) Etudier la monotonie de. 2) Démontrer que pour tout entier naturel, >. ) Quelle est la limite de la suite? 4) Conjecturer l expression de en fonction de pour N puis démontrer la propriété conjecturée. En utilisant une méthode par comparaison, déterminer la limite éventuelle de chacune des suites suivantes. ) + 2) +2sin ) 9:; Exercice On considère la suite définie par 0 et 2 pour tout entier naturel. ) Calculer ; ; et à l aide de la calculatrice conjecturer le comportement de la suite (variations et limite éventuelle). 2) Démontrer par récurrence que 0 pour tout entier naturel. ) En déduire que. 4) Montrer que pour tout entier naturel,. 5) En déduire la limite de la suite. Partie E : Avec une suite géométrique Exercice Déterminer les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne le terme général. ) 2 2) ++ ) 5 2 4) En factorisant le numérateur par 2 et le dénominateur par, étudier la convergence de la suite définie par 2 +
Exercice On considère la suite définie par 0,5 et 2 pour N. ) On pose ( pour N. Montrer que ( est géométrique. 2) Exprimer ( puis en fonction de pour N. ) Etudier la convergence de ( et de. Exercice 4 On considère la suite définie par 2 et + pour tout entier naturel. ) Démontrer que la suite ( définie par ( pour tout entier naturel est géométrique de raison. 2) Déterminer l expression de ( puis de en fonction de. ) On définit # ( +( + +( pour tout entier naturel. Exprimer # en fonction de et en déduire sa limite. Exercice 5 On considère les suites et ( définies par 0 ; ( 2 et et ( 4 pour N. ) On considère la suite > définie par > +( pour N. Montrer par récurrence que > est constante. 2) On considère la suite? définie par? ( pour N. Montrer que? est géométrique. En déduire l expression de? en fonction de pour N. ) En utilisant les questions précédentes, déterminer l expression de et de ( en fonction de pour N. 4) Montrer que et ( convergent et déterminer leurs limites. Partie F : Croissance majorée et décroissance minorée Exercice On considère la suite définie par ) +4. ) Calculer,,,,. De quelle valeur A semblent se rapprocher les termes de la suite? 2) En étudiant la suite ( définie par ( A, démontrer que converge vers A. Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. On considère la suite définie par B;+ D et 2 pour N. ) est minorée par. 2) est monotone. ) Si B;2D, alors converge vers. 4) Si B;2D, alors converge vers 2. 5) Si B2;+ D, alors converge vers 2. Exercice On considère la suite définie par et pour N. ) Etudier les variations de la suite. 2) Montrer par récurrence que D0;B pour tout entier naturel. ) Montrer que converge et déterminer sa limite. Exercice 4 2 La suite est définie par E +.
) Montrer que est majorée par 6. 2) Montrer que cette suite est croissante. Que peut-on dire de la suite? ) Montrer que la suite ( définie par ( 6 est géométrique. En déduire la limite de. Exercice 5 On considère la fonction F:H H. On définit la suite par 0,7 et F pour N. ) Démontrer que ]0;[ pour tout N. 2) Démontrer que est décroissante. ) En déduire que converge et déterminer sa limite. Exercice 6 Soit J la fonction définie sur R par JH H +H. On définit la suite / en posant / J/ pour tout N et / 0,4. ) Démontrer que pour tout entier naturel, 0</ <. 2) Démontrer que / est croissante. ) La suite / converge-t-elle? Si oui, déterminer sa limite. Exercice 7 On considère la suite définie par et pour N. ) Montrer que cette suite est strictement positive. 2) Déterminer son sens de variations. ) En déduire que cette suite est bornée. 4) En conclure que converge et déterminer sa limite. Exercice 8 On considère la suite définie par pour N et. ) Prouver que si cette suite a une limite finie, alors cette limite est 0 ou. 2) On considère la suite ( définie par ( pour N. Démontrer que ( est géométrique. ) Déterminer l expression de en fonction de pour N. En déduire la limite de.
II. Correction des exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang, c est-à-dire que ce qui est évident. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel strictement positif, la propriété est vraie, c est-à-dire. On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire +. Or +2+ +2++. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel strictement positif, Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang, c est-à-dire que et ceci est évident. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel strictement positif, la propriété est vraie, c est-à-dire. On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire. Or 2 2 2+ + +2 + Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel strictement positif,. Exercice Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang 0, c est-à-dire que 0 or 0 donc c est évident. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, la propriété est vraie, c est-à-dire. On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire + Or + M+N O + Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, Exercice 4 +2 0+2 2 ; +2+26 ; +4+22 Il semble bien que pour les premières valeurs de, on ait +. Démontrons cela par récurrence. Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang 0, c est-à-dire que 0 0+ or 0 donc c est évident. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, la propriété est vraie, c est-à-dire +. On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire ++2. Or +2+2++2+2 ++2 Et ++2 +2++2 +2+. Donc nous avons bien ++2. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, + Exercice 5 Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang 0, c est-à-dire que 4 or 0 donc c est évident. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, la propriété est vraie, c est-à-dire 4. On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire 4. Or 4 donc 2 et +4 6. Par croissance de la fonction racine carré sur D0;+ D, nous avons +4 6 ce qui signifie 4. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, 4
Exercice 6 Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang 0, c est-à-dire que est un multiple de 4, or 0 et 0 est bien un multiple de 4. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, la propriété est vraie, c est-à-dire est un multiple de 4. On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire est un multiple de 4. Or, comme est un multiple de 4, il existe un entier P tel que 4P ou encore 4P+. 4P+ 9 6P+9 6P+8 49P+2 Ce résultat est bien un multiple de 4 car 9P+2 est un entier. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, est un multiple de 4. Exercice 7 Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang 0, c est-à-dire que 0 est un multiple de or 0 0 qui est bien un multiple de. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, la propriété est vraie, c est-à-dire 0 est un multiple de. On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire 0 est un multiple de. Or, comme 0 est un multiple de, il existe un entier P tel que 0 P ou encore 0 P+. 0 0 0 0 P+ 00 0P+00 0P+99 0P+9 Ce résultat est bien un multiple de car 0P+9 est un entier. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, 0 est un multiple de. Exercice 8 Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang, c est-à-dire que or et donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel strictement positif, la propriété est vraie, c est-à-dire +2 + + + 4 On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire +2 + + ++ Or +2 + + ++ ++ + R ++S N O Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel strictement positif, nous avons bien +2 + + + 4 Exercice 9 Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang, c est-à-dire que 2 or 22 et 2 donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel strictement positif, la propriété est vraie, c est-à-dire 2+2 + ++ ++2 On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire 2+2 + +++++2 ++2+ Or 2+2 + +++++2 +++2 ++2R +S++2+ Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel strictement positif, 2+2 + 4+ ++ ++2.
Exercice 0 Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie au rang, c est-à-dire que 2 or et 2 2 donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel strictement positif, la propriété est vraie, c est-à-dire + +5 + +2 2 On veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire + +5 + +2 +2+ 2+ + Or + +5 + +2 +2+ 2 +2+ 2 +2+2+ 2 +2+4 +4+ 2 +8 +2 +6+ 2 +8 + +6+ Et par ailleurs, 2+ + 2+ + 2 2 +2+ +2+ 2 2 +4 +6 +4+ 2 2 +8 + +6+ Donc nous avons bien + +5 + +2 +2+ 2+ + Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel strictement positif, + +5 + +2 2 Partie B : Rappel sur les suites Exercice Pour N # + 7 +8 + 8 + 8# Donc la suite # est géométrique de raison 8 et de premier terme # +. On a donc + 8 pour tout N ) Pour N, + + car +>0 ce qui est toujours vrai. Donc est bien majorée par. 2) Pour N, donc + + >0 On peut diviser par +>0 et on obtient :. Ceci montrer que est minorée par donc bornée. Exercice ) Pour N : ( 2 ( Donc ( est géométrique de raison et de premier terme (. 2) On a donc pour tout N, (. ) Par récurrence, nous allons montrer que la propriété U ( +( +( + +( est vraie pour N. Initialisation : on veut montrer que U est vraie, c est-à-dire que ( or ceci est évident par définition. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel strictement positif, U est vraie, c est-à-dire ( +( +( + +(. On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire ( +( +( + +( +(. Or ( +( +( + +( +( +( + Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel strictement positif,
( +( +( + +( 4) On a donc pour N : ( +( + +( + ( WX +2 [ ]+2 Exercice 4 ) ( est géométrique s il existe un réel P tel que ( P( pour tout N. ( P( +/P +/ 2 ++/P +P/ P2 Par identification, on peut donc choisir Y +/P/. Y P2 /. On trouve donc que ( + pour N et que ( est alors géométrique de raison 2. 2) Pour N, ( ( 2 2 De plus, ( donc 2 ) ( +( + +( ( XX 2 2048 64 + + + ( +( + +( ( +( + +( 64 60 Exercice 5 ) Pour N, ( +4 4 +4 4 ( 4+ 4 ( + 4 ( Donc ( est géométrique de raison et de premier terme ( +46. 2) Pour N,( ( 2 62 et ( 4 62 4 ) ( est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre et donc elle converge vers 0. Comme ( 4 pour N, converge donc vers 4. Exercice 6 ) ( est géométrique s il existe un réel P tel que ( P( pour tout N. ( P( +/ P +/ 2 +/ P +P/ P Par identification, E. E P. donc ( +6 pour N et ( est géométrique de raison +/ P/ / 6. 2) On a donc ( ( 2 avec ( +68 donc ( Z pour N et donc Z 6 ) Pour N : # + + + ( 6+( 6+ +( 6( +( + +( 6+ ( 2 6+ 6[ \ ^ 6+ 2 ] lim \ 2 ] 0 car < < ; lim 6+ donc par opération lim 2 # Exercice 7 ) Pour N : # ( +( + +( + + + + Par ailleurs, pour N, ( 2+5 donc ( est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme ( 5. Donc # 4 h 4 + + 5 + 2) On a donc 5 + pour tout N ou encore +D5 BD +B 2+6
Exercice 8 ) Pour N, # ( +( + +( + + + + Par ailleurs, ( 2 + donc Donc # 2 ++2 ++2 ++ +2 + ix ++2 ++ 2 + 2) On a donc 2 + pour N d où +2 + 2 + Partie C : Limite d une suite : opérations et forme indéterminée Exercice Déterminer les limites éventuelles des suites suivantes dont on donne les termes généraux. ) 4+6 lim 4 et par addition lim 2) +5 +5 \ + 5 ] lim lim 5 0 donc par addition lim + 5 lim + donc par produit lim + ) Par multiplication de limites de référence, on a lim + ; 4) 5) 5 lim 2++ donc par division lim 0 De la même manière qu'à la question précédente lim 6) 7) + 8) 2 2 +2 lim lim 5 lim +2 +2 2 + 0 donc par addition lim 5 0 donc par addition et division lim 2 0 et lim + donc par addition lim + 2+ + 2 + + 2 lim lim 0 donc par addition et division lim 9) 2+ 2 +2+ + +2+2 + + 2 2 + lim lim 2 lim 2 0 donc par addition lim ) + et ( Par addition lim + et lim ( Pour +(, on est devant une forme indéterminée mais +( + donc lim +( + De plus, lim (
Pour + donc lim ( ( ( 2) + et ( lim + et lim ( Pour +( +( + + donc lim +( lim ( Pour + ( ( + + donc lim 0 ( ) 2+ et ( 5 2 lim + et lim ( lim +( lim 2++5 2 lim 8 8 lim ( lim ( lim Partie D : Limite par comparaison Exercice 2+ 5 2 lim 2 22+ 2 lim 2+ ) Pour N, 2+>0 donc est croissante. 2 car lim lim 2) Par récurrence sur N, on a va montrer que U > est vraie. Initialisation : on veut montrer que U est vraie, c est-à-dire que >0 or donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire >. On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire >+. Or + +2+ 2 +2 est positif par hypothèse donc + est positif et >+. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, > ) 5 0 lim + donc par comparaison lim + ) ; +0+ 4 ; 4+2+9 ; 9+4+6 Il semble que + pour tout entier N. Nous allons démontrer par récurrence que t : + est vraie. Initialisation : on veut montrer que t est vraie, c est-à-dire que or donc c est vraie. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, t est vraie, c est-à-dire +. On veut montrer que t est vraie, c est-à-dire +2. Or +2++ +2+ +2++2+ +4+4+2 Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, + ) + Pour tout entier naturel : donc en multipliant par positif Et donc + De plus lim lim \ ]+ Donc par comparaison lim + 2) +2sin Pour tout entier naturel, sin donc +2sin 5 et en multipliant par positif : 5
lim + donc par comparaison lim + ) 9:; Pour tout entier naturel, sin donc lim + lim + car + est positif. 0 donc d'après le théorème des gendarmes, lim 0 Exercice On considère la suite définie par 0 et 2 pour tout entier naturel. 6) Calculer ; ; et à l aide de la calculatrice conjecturer le comportement de la suite (variations et limite éventuelle). 7) Démontrer par récurrence que 0 pour tout entier naturel. 8) En déduire que. 9) Montrer que pour tout entier naturel,. 0) En déduire la limite de la suite. Partie E : Avec une suite géométrique Exercice ) 2 2) ++ 0< 5 0< < donc lim 6 ) 5 2 < donc lim \ 5 ] 0 et par addition lim 0 et comme lim 6 5 2 5 x \ 2 5 ] y + + par addition lim + 4) lim \2 5 ] 0 car 0< 2 < donc par addition lim 5 \2 5 ] De plus lim 5 + car 5> donc par produit lim + 5 4 \5 8 ] donc lim 0 car 0< 5 8 < Pour N, 2 + 2 2+ 2 2 \ ] lim Exercice 0 ; lim 2 ) Pour N : 0donc lim + + ( 2 2 2( Donc ( est géométrique de raison 2 et de premier terme ( 0,5. ; lim \2 ] 0 car < 2 < donc lim 0
2) Pour N, ( ( 2 2 De plus, comme ( +, on a 2 ) Comme 2>, la suite ( géométrique de raison 2 diverge. lim 2 + donc lim ( De même lim Exercice 4 On considère la suite définie par et + pour tout entier naturel. ) Pour tout entier naturel : ( 5 + 4 5 5 5 5 5 ( Donc la suite ( est géométrique de raison et de er terme (. 2) Pour tout entier naturel, on a ( ( 2 et comme ( +, on a +. ) # est la somme des + premiers termes d une suite géométrique de raison donc : # ( 2 Comme 0< 5 2 5 4 x \ 5 ] y <, on a lim \ 5 ] 0 donc par opération lim # 5 4. Exercice 5 ) Nous allons montrer par récurrence que U > 2 est vraie pour tout N Initialisation : on veut montrer que U est vraie, c est-à-dire que > 2 or > +( 0+22. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire > 2. On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire > 2. Or > +( + 4 +( + 2+ + 2. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, > 2 2) Pour N? ( ( + + ( + 4 4 4 4? Donc? est une suite géométrique de raison et de premier terme? ( 2. On a alors, pour tout N,?? 2 22 +( 2 ) Pour N :{ ( 22. 2( 2+22 ( +2 2 2 22. 2. 4) Comme < <, on a lim \ 4 ] 0 donc lim ( et lim Partie F : Croissance majorée et décroissance minorée Exercice ) ; } ; ~ ; } Z Il semble que converge vers 2. ; Z ; } }~
2) On considère la suite ( définie par ( 2 pour N. ( 2 +4 2 ( +2+ 4 6 ( + 2 2 ( Donc la suite ( est géométrique de raison et de premier terme ( 2. Pour N, on a donc ( 2. Comme < <, ( converge vers 0. Ceci montre que converge bien vers 2. ) On considère la fonction J:H H 2 définie sur D;+ D. J est de la forme avec strictement positive sur ];+ D donc J est dérivable sur ];+ D et J H >0 Ceci montre que J est strictement croissante sur ];+ D. Par récurrence sur N, on peut montrer que U : est vraie pour N. Initialisation : on veut montrer que U est vraie, c est-à-dire que or c est vrai par définition de. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire. On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire. Or et la fonction J est croissante sur ];+ D donc J J d où. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, donc l affirmation est ƒ 2) er cas : alors on peut montrer par récurrence que en utilisant la croissance de J et dans ce cas, est croissante. 2 ème cas : alors on peut montrer par récurrence que en utilisant la croissance de J et dans ce cas est décroissante. Dans tous les cas, est monotone donc l affirmation est ) 2 h h h h h h h h Comme ];2D, >0 et 2<0 donc >0. D après la question précédente, on aura donc croissante. De plus elle est majorée par 2 donc elle converge. J est continue car dérivable donc les seules limites possibles sont les solutions de JHH dans D;2] ƒ JHH H 2H H 2 H H H+2 0 H ou H 2 car H > 0. La seule limite qui convient ici est donc 2 et converge vers 2. L affirmation est donc ƒ ##. 4) D après la question précédente, l affirmation est ƒ 5) h h h h et comme 2, on a donc 2 0 et. D après la question, cela indique que la suite est décroissante. De plus, elle est minorée par donc elle converge. Les limites possibles sont et 2. Mais on peut aussi montrer par récurrence que 2pour N en utilisant la croissance de J. La seule limite qui convient est donc 2. Donc l affirmation est Exercice ) Pour N, 0 donc est décroissante. 2) On va montrer par récurrence que U 0 est vraie pour N. Initialisation : on veut montrer que U est vraie au rang 0, c est-à-dire que 0 or donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire 0 On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire 0. or 0 et 0 donc 0. ƒ Par ailleurs, + ; on peut donc étudier le polynôme J:H H +H Δ donc J est du signe de / donc négatif. Ce qui montre que. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, 0. ) est donc une suite décroissante minorée par 0 donc elle converge. On note A sa limite. Comme F avec F:H H H qui est continue sur D0;B, A est solution de
FAA : FAA A A A A 0 A0 Donc converge vers 0. Exercice 4 ) Par récurrence sur N, on va montrer que U : 6 est vraie. Initialisation : on veut montrer que U est vraie au rang 0, c est-à-dire que 6 or 2 donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire 6 On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire 6. Or 6 + 6 6 Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, 6 2) Pour N, + or 6 0 Donc 0 et est croissante. est donc une suite croissante et majorée par 6 donc elle converge. ) Pour N : ( 6 + 6 ( +6 ( + ( Donc ( est géométrique de raison et de premier terme ( 6 8. Comme < <, la suite ( converge vers 0 ce qui montre que converge vers 6. Exercice 5 ) Par récurrence sur N, on va montrer que U 0< < est vraie. Initialisation : on veut montrer que U est vraie au rang 0, c est-à-dire que 0< < or 0,7 donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire 0< <. On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire 0< <. Or 0< < et la fonction F est strictement croissante sur [0;] donc F0<F <F d où 0< <. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, ]0;[ 2) Par récurrence sur N, on va montrer que t : < Initialisation : on veut montrer que U est vraie au rang 0, c est-à-dire que < or 0,7 0,49 et 0,7 donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire < On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire <. Or < et la fonction F est croissante sur [0;] donc F <F d où <. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, < donc est décroissante. ) est décroissante et minorée par 0 donc elle converge. On note A sa limite. Alors, comme F est continue sur [0;], on a FAA ou encore A A0 ce qui donne A0 ou A. Comme est décroissante, la limite ne peut pas être donc A0. Exercice 6 ) L étude de la fonction J ne peut pas être utile car J n est pas monotone sur [0;]. Nous allons tout de même montrer par récurrence sur N que U :0</ < est vraie. Initialisation : on veut montrer que U est vraie au rang 0, c est-à-dire que 0</ < or / 0,4 donc c est vrai. Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire 0</ < On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire 0</ <. Or / / +/ : 0</ < 0< / < 0< / < car la fonction cube est croissante sur R En ajoutant terme à terme, on a : 0< / +/ Par ailleurs / / +/ / / / [ / ] / / + / / / 2 / avec / >0 ; / >0 et 2 / >0 donc / <0 et on a bien 0</ < Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, 0</ < 2) Pour N : / / / or / >0 donc / >0 et / est croissante.
) La suite / est croissante et majorée par donc elle converge. On note A sa limite. Comme J est continue sur R car dérivable, on a JA A. JAA A +A A A 0 A Exercice 7 ) Par récurrence sur N, on montre que U : >0 est vraie. Initialisation : on veut montrer que U est vraie au rang 0, c est-à-dire que >0 or Hérédité : on suppose que pour un entier naturel, U est vraie, c est-à-dire >0 On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire >0 Or >0 donc >0 et + >0 d où >0. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel, >0 2) Pour N : R S N O est positif, tout comme le dénominateur. Donc est du signe de +. On considère le polynôme H +H : Δ donc ce polynôme est du signe de /. Donc + est négatif tout comme donc est décroissante. ) Comme est décroissante, elle est majorée par et comme elle est minorée par 0, elle est bornée. 4) est une suite décroissante minorée par 0 donc elle converge. On note A sa limite. Comme la fonction J:H est continue sur R, A est solution de l équation JHH. JHH H +H H H H+H H H+H H H +H 0 HH H+0 H 0 ou H H+0 La seconde équation n a pas de solution donc A 0 Exercice 8 ) On suppose que a une limite finie et on note A cette limite. Comme J:H est continue sur R Y Š, A est solution de l équation JHH. JHH 5H H 4 H 5H H 4H H 9H 0 HH 0 H 0 ou H La limite de, si elle existe, est donc 0 ou. 2) Pour N : ( 5 4 4 4 +2 4 4 4 5 5 5 5 ( Donc ( est géométrique de raison et de premier terme ( h h 5 ) On a donc pour N, ( ( 2 5 2. Or ( ( ( 4 4 d où +52 Comme < 4 5 <, lim \ 4 5 ] 0 et donc lim
. III. Vu au bac Exercice : (extrait d Asie juin 2008) On considère la suite définie par. +,pour tout. ) Démontrer que la suite est majorée par. 2) Démontrer que est croissante. : (extrait de Polynésie française septembre 2008) On considère la suite ( définie sur N par : ( 6 et, pour tout entier naturel,(,4( 0,05(. ) Soit J la fonction définie sur R par JH,4H 0,05H. Etudier les variations de J sur D0;8B. 2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel, 0 ( <( 8. Exercice : (extrait de France septembre 2007) ) La suite est définie par : 2 et + pour tout entier naturel. } a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan en annexe la droite d équation H+ et le point ƒ de coordonnées 2;0. Construire sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la } suite. b. Démontrer que si la suite est convergente alors sa limite est Œ. Z c. Démontrer que pour tout entier naturel, on a :. Z d. Etudier la monotonie de la suite et donner sa limite. Exercice 4 : (extrait de Nouvelle Calédonie novembre 2004) On considère les deux suites et ( définies, pour tout entier naturel, par : ( 4 { +(. { ( 2 +( 2 ) Calculer ;( ; et (. 2) Soit la suite définie pour tout entier naturel par (. a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison. b. Exprimer en fonction de. ) On considère à présent la suite? définie, pour tout entier naturel, par? 4 a. Démontrer que la suite? est constante. b. En déduire une expression de et ( en fonction de. c. Déterminer la limite des suites et (..
IV. Correction des exercices de bac Exercice : (extrait d Asie juin 2008) ) Démontrons par récurrence que la suite est majorée par, autrement dit que la propriété U 2 est vraie pour tout entier naturel supérieur à. Initialisation : on veut montrer que la propriété U est vraie or et. Hérédité : on suppose que U est vraie pour un entier naturel non nul, autrement dit. On veut montrer que la propriété U est vraie, c est-à-dire que. Or + + et donc. Conclusion : d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul. 2) Pour tout entier naturel non nul : Donc la suite est croissante. 5 + 2 5 2 5 4 5 Or 2 donc2 5 4 5 2 5 4 5 2 ce qui signi ie que 0 : (extrait de Polynésie française septembre 2008) ) J est une fonction polynôme donc est dérivable sur R et en particulier sur D0;8B avec J H,4 0,H. J H 0,4 0,H 0 H 4 Donc sur D0;8B, J est positive et J est strictement croissante. 2) Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel, la propriété U 0 ( <( 8 est vraie. Initialisation : On veut montrer que U est vraie, autrement dit que 0 ( ( 8 or ( 6 et ( 6,6 donc on a bien 0 ( ( 8. Hérédité : On suppose que la propriété U est vraie pour un entier naturel, c est-à-dire que 0 ( ( 8. On veut montrer que U est vraie, c est-à-dire que 0 ( ( 8. Or 0 ( ( 8 et comme J est croissante sur D0;8B, on a J0 J( J( J8. De plus, J00 ; J( ( ; J( ( et J88. Donc, 0 ( ( 8. Conclusion : d après le principe de récurrence, 0 ( ( 8 pour tout entier naturel. Exercice : (extrait de France septembre 2007) ) a. Voir la courbe ci dessous b. On suppose que la suite converge et on note Œ sa limite. Comme, pour tout N, +, en passant à la limite, nous obtenons : Œ Œ+. Or : } } Œ Œ+2 27 2 Œ 2 Œ 2 27 27 Œ 2 2 8 Donc, si est convergente alors sa limite ne peut être que. Z c. Par récurrence sur entier positif, nous allons montrer que. Z Initialisation : on veut montrer que la propriété est vraie pour 0, c est-à-dire que. Z Or 2 et 2> donc la propriété est vraie au rang 0. Z Hérédité : on suppose que la propriété est vraie au rang, c est-à-dire que et on veut montrer que la propriété est vraie au rang +, c est-à-dire que Z. Or : Z
2 8 2 8 + 2 27 2 54 +2 27 2 54 +2 2 54 Donc la propriété est vraie au rang +. 69 54 2 8 Conclusion, d après le principe de récurrence, pour tout entier naturel. Z d. Pour N : + 2 27 2 27 2 Or 2 8 et donc 2 2 2 8 ou encore 2 2 27 Et donc 0 et ceci montre que la suite est décroissante. La suite est donc décroissante, minorée par donc elle converge et d après la question, sa limite est. Z Z Exercice 4: (extrait de Nouvelle Calédonie novembre 2004) ) +( 7 ; ( 2 2 } +( +4 2 2 5 2 2 5 4 2) a. Pour tout N : ( +( +( 2 2 2 +( 2 Donc est une suite géométrique de raison. ) ; +( 2 } + 29 2 8 ( 59 6 + ( 2 2 +( 2 4 +( 4 2 4 ( 4 4 b. Pour N : 2 avec ( 4 donc : a. Pour N : 0? +2( + +( 2 +( +( +( Donc la suite? est constante et toujours égale à? h 4 h. b. Nous avons donc pour tout :( et 4 { ( ( + 4. 4 ( +2( +2 +2. \ 2 4 ]+ 4 4 \ 2. 4 ] +2(? soit +2(. Comme est strictement compris entre 0 et, la limite de est égale à 0 donc par opérations sur les limites : lim lim ( u 2 u 2 u 0