a) Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d un carré par 8. b) Montrer que tout entier de la forme 8k + 7 (avec k entier) n est pas la somme des carrés de trois entiers. a) Montrer par récurrence, que A = 2 n 1 est divisible par 9 si n est un multiple Spécialité Terminale S IE2 congruences S2 2015-2016 a) Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d un cube par 9. b) Montrer que tout entier de la forme 9k + 4 (avec k entier) n est pas la somme des cubes de deux entiers. c) Montrer par récurrence, que A = 2 n 1 est divisible par 9 si n est un multiple a) Cette condition étant supposée réalisée, montrer que A est divisible par 7. 1
a) Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d un carré par 8. b) Montrer que tout entier de la forme 8k + 7 (avec k entier) n est pas la somme des carrés de trois entiers. a) Les restes possibles d un entier dans la division euclidienne par 8 sont compris entre 0 et 7. x 0 1 2 3 4 5 6 7 x² 0 1 4 9 16 25 36 49 reste x² modulo 8 0 1 4 1 0 1 4 1 Les restes possibles sont donc : 0, 1 ou 4 b) D après le tableau précédent, les restes possibles dans la division euclidienne de la somme des carrés de trois entiers par 8 sont : 0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 1 = 1 0 + 1 + 1 = 2 1 + 1 + 1 = 3 0 + 0 + 4 = 4 0 + 1 + 4 = 5 1 + 1 + 4 = 6 Tous les restes compris entre 0 et 7 sont possibles sauf 7. Précisément, le reste dans la division euclidienne de 8k + 7 est 7. On en déduit que tout entier de la forme 8k + 7 (avec k entier) ne peut pas être la somme des carrés de trois entiers. a) Montrer par récurrence, que A = 2 n 1 est divisible par 9 si n est un multiple a) n 0 1 2 3 4 5 6 7 2 n 1 2 4 8 16 32 64 128 Reste module 9 1 2 4 8 7 5 1 2 Montrons par récurrence, que 2 n 1 est divisible par 9 si n est un multiple Soit P k la propriété : «2 6k 1 0 [9]» pour k entier > = 1» Initialisation : P 1 est vraie car 2 6 1 = 63 0 [9] 2 6k 1 est donc divisible par 9. Il existe donc un entier q tel que : 2 6k 1 = 9q 2
2 6(k+1) 1 = 2 6k 2 6 1 = (1 + 9q) 2 6 1 = 9 2 6 q + 2 6 1 = 9 2 6 q + 63 = 9 (2 6 q + 7) Donc 2 6(k+1) 1 est divisible par 9. Donc 2 6(k+1) 1 0 [9]. Donc 2 n 1 est divisible par 9 si n est un multiple de 6 b) Montrons par récurrence, que 2 6k 1 est divisible par 7 pour k 1. Soit P k la propriété : «2 6k 1 0 [7]» pour k entier > = 1» Initialisation : P 1 est vraie car 2 6 1 = 63 0 [7] 2 6k 1 est donc divisible par 7. Il existe donc un entier q tel que : 2 6k 1 = 7q 2 6(k+1) 1 = 2 6k 2 6 1 = (1 + 7q) 2 6 1 = 7 2 6 q + 2 6 1 = 7 2 6 q + 63 = 7 (2 6 q + 9) Donc 2 6(k+1) 1 est divisible par 7. Donc 2 6(k+1) 1 0 [7]. Donc 2 6k 1 est divisible par 7 pour tout entier k 1. 2 6 1 = 63 0 [21] 2 12 1 = 4095 0 [21] 2 18 1 = 262 143 0 [21] Montrons par récurrence, que 2 6k 1 est divisible par 21 pour k 1. Soit P k la propriété : «2 6k 1 0 [21]» pour k entier > = 1» Initialisation : P 1 est vraie car 2 6 1 = 63 0 [21] 2 6k 1 est donc divisible par 21. Il existe donc un entier q tel que : 2 6k 1 = 21q 2 6(k+1) 1 = 2 6k 2 6 1 = (1 + 21q) 2 6 1 = 21 2 6 q + 2 6 1 = 21 2 6 q + 63 = 21 (2 6 q + 3) Donc 2 6(k+1) 1 est divisible par 21. Donc 2 6(k+1) 1 0 [21]. Donc 2 6k 1 est divisible par 21 pour tout entier k 1. 3
Spécialité Terminale S IE2 congruences S2 2015-2016 a) Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d un cube par 9. b) Montrer que tout entier de la forme 9k + 4 (avec k entier) n est pas la somme des cubes de deux entiers. a) Les restes possibles d un entier dans la division euclidienne par 9 sont compris entre 0 et 8. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 3 0 1 8 27 64 125 216 343 512 reste x 3 modulo 9 0 1 8 0 1 8 0 1 8 Les restes possibles sont donc : 0, 1 ou 8 b) D après le tableau précédent, les restes possibles dans la division euclidienne de la somme des cubes de deux entiers par 9 sont : 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 2 0 + 8 = 8 Les restes possibles sont donc : 0, 1, 2 ou 8. Le reste dans la division euclidienne de 9k + 4 est 4. 4 ne fait pas partie des restes possibles. On en déduit que tout entier de la forme 9k + 4 (avec k entier) ne peut pas être la somme des cubes de deux entiers. a) Comment choisir l entier naturel n pour que A = 2 n 1 soit divisible par 9? a) n 0 1 2 3 4 5 6 7 2 n 1 2 4 8 16 32 64 128 Reste module 9 1 2 4 8 7 5 1 2 Montrons par récurrence, que 2 n 1 est divisible par 9 si n est un multiple Soit P k la propriété : «2 6k 1 0 [9]» pour k entier > = 1» Initialisation : P 1 est vraie car 2 6 1 = 63 0 [9] 2 6k 1 est donc divisible par 9. Il existe donc un entier q tel que : 2 6k 1 = 9q 2 6(k+1) 1 = 2 6k 2 6 1 = (1 + 9q) 2 6 1 = 9 2 6 q + 2 6 1 = 9 2 6 q + 63 = 9 (2 6 q + 7) Donc 2 6(k+1) 1 est divisible par 9. Donc 2 6(k+1) 1 0 [9]. 4
Spécialité Terminale S IE2 congruences S2 2015-2016 Donc 2 n 1 est divisible par 9 si n est un multiple de 6 b) Montrons par récurrence, que 2 6k 1 est divisible par 7 pour k 1. Soit P k la propriété : «2 6k 1 0 [7]» pour k entier > = 1» Initialisation : P 1 est vraie car 2 6 1 = 63 0 [7] 2 6k 1 est donc divisible par 7. Il existe donc un entier q tel que : 2 6k 1 = 7q 2 6(k+1) 1 = 2 6k 2 6 1 = (1 + 7q) 2 6 1 = 7 2 6 q + 2 6 1 = 7 2 6 q + 63 = 7 (2 6 q + 9) Donc 2 6(k+1) 1 est divisible par 7. Donc 2 6(k+1) 1 0 [7]. Donc 2 6k 1 est divisible par 7 pour tout entier k 1. 2 6 1 = 63 0 [21] 2 12 1 = 4095 0 [21] 2 18 1 = 262 143 0 [21] Montrons par récurrence, que 2 6k 1 est divisible par 21 pour k 1. Soit P k la propriété : «2 6k 1 0 [21]» pour k entier > = 1» Initialisation : P 1 est vraie car 2 6 1 = 63 0 [21] 2 6k 1 est donc divisible par 21. Il existe donc un entier q tel que : 2 6k 1 = 21q 2 6(k+1) 1 = 2 6k 2 6 1 = (1 + 21q) 2 6 1 = 21 2 6 q + 2 6 1 = 21 2 6 q + 63 = 21 (2 6 q + 3) Donc 2 6(k+1) 1 est divisible par 21. Donc 2 6(k+1) 1 0 [21]. Donc 2 6k 1 est divisible par 21 pour tout entier k 1. 5