III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS

III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 1. L axiome des parallèles Définition 1.1. Un plan euclidien est un plan de Hilbert E dans lequel l axiome (E) est vérifié, ainsi que l axiome des parallèles, ou axiome de Playfair (mathématicien écossais qui fut le premier probablement à énoncer l axiome des parallèles de cette façon vers 18) : (P) Pour tout point P et toute droite d il existe au plus une droite passant par P et parallèle à d. Cet axiome garantit en particulier que les angles alterne-interne" sont congruents. En effet si α est un angle en P et Q un point sur l une des demi-droites définissant cet angle, il suffit de reporter l angle α en Q : Q c b a P α Supposons par l absurde que cette droite c coupe a en R (l unicité de la parallèle passant par Q est garantie par l axiome de Playfair et impliquera que les angles sont alterne-interne). On reporte alors le segment [QR] sur a de sorte à obtenir un triangle P QS congruent. On conclut alors que S se trouve aussi sur c car ce triangle possède des angles supplémentaires. Mais alors les droites a et c ont deux point en commun, donc égales. Absurde! Corollaire 1.2. Dans un plan euclidien, la seule droite parallèle à d et passant par un point P d, est la perpendiculaire à la perpendiculaire à d par P. 1

2 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS Cet arsenal d axiomes nous permet de comprendre les plus belles constructions d Euclide. Sans devoir mesurer ni les longueurs des segments, ni les valeurs des angles, ni l aire des surfaces, nous sommes à même de construire un triangle isocèle dont l angle au sommet est la moitié des angles de base (dans R 2 on dirait que l angle au sommet vaut π/5). (Un triangle d or) A partir de ce triangle, on peut construire le pentagone. On peut en fait montrer tous les résultats des quatre premiers livres d Euclide dans un plan euclidien arbitraire. Inspiré par l exemple du plan cartésien R 2, nous développons une géométrie d incidence K 2 à partir d un corps K arbitraire. Pour certains corps K, le plan K 2 peut être muni d une structure de plan de Hilbert ou même de plan euclidien. 2. Plans cartésiens Nous voulons maintenant retourner momentanément dans notre modèle favori, R 2. Nous allons montrer qu il forme un modèle de la géométrie euclidienne, c est-à-dire qu il forme un plan de Hilbert où (E) et (P) sont valides. Plus généralement, nous allons développer une géométrie dans des plans cartésiens sur d autres corps que R. Notre objet est de regarder si l on peut munir certains de ces plans d une structure de plan de Hilbert ou même de plan euclidien. Définition 2.1. Soit K un corps. Le plan cartésien Π = K 2 est l espace vectoriel K 2 dont les droites sont les ensembles qui satisfont une équation affine ax + by + c =, a avec. b Toute droite peut être écrite soit de la forme x = c, auquel cas on dit qu elle est verticale et que sa pente est infinie, soit de la forme y = mx + h, auquel cas on dit que la pente de la droite vaut m. Exemple 2.2. Le cas des corps finis. Soit p un nombre premier. On étudie le plan cartésien Π = (F p ) 2. C est une géométrie d incidence qui satisfait (P), comme c est le cas pour n importe quel plan cartésien K 2. Mais les droites étant constituées d un nombre fini de points, ce n est pas une géométrie d ordre. Remarquons aussi que le cas de caractéristique 2 est plus étrange que les autres puisqu il existe quatre points A, B, C, D (tous) dans (F 2 ) 2 tels que AB CD, AC BD et AD BC!

III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 3 3. Corps ordonnés Pour que le plan cartésien K 2 puisse vérifier les axiomes d ordre il faut que ce corps soit ordonné. Cela signifie qu il doit être muni d un sous-ensemble P d éléments dits positifs tels que (1) Si x, y P, alors x + y, xy P. (2) On a K = P {} P. On écrit a > b lorsque a b P. Ces corps doivent forcément être de caractéristique zéro et ils contiennent toujours Q (Exercice 2 série 3). Dans un corps ordonné K, nous pouvons définir la notion de produit scalaire. Définition 3.1. Un produit scalaire sur K 2 est une application, : K 2 K 2 K telle que pour tout u, v, w K 2, λ K, u, v = v, u (symétrie) ; λ u + v, w = λ u, w + v, w (bilinéarité) ; u, u et u, u = si et seulement si u = (définie positive). On remarque qu une droite d équation ax+by c = est l ensemble d v,c = {u K 2, v, u = c} a b where v =. On dit que v est un vecteur normal à la droite, et est un b a vecteur directeur. Proposition 3.2. Soit K un corps ordonné. L ensemble K 2 muni des droites définies ci-dessus forme une géométrie d incidence. Démonstration. Soit v K 2 non nul et c K. Montrons que la droite d v,c contient au c a + b a 2 +b 2 moins deux points. Remarquons qu elle contient c b a a 2 +b 2 et que si Y d v,c, alors Y +λ ( b, a) est aussi un point de la droite d v,c, par bilinéarité du produit scalaire. Une droite contient donc au moins autant d éléments que le corps!

4 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS x 1 Soit X = et Y = y 1 deux points distincts de K 2, et supposons qu il x 2 y 2 existe v = v 1 v 2 K 2 non nul et c K tels que X, Y d v,c. En particulier, v, X Y = c c =. Puisque X Y x 1 y 1 ou bien x 2 y 2. Sans perte de généralité supposons que x 1 y 1. On obtient que v 1 = v 2(x 2 y 2 ) x 1 y 1, et donc c = v 2(x 2 y 2 ) x 1 y 1 x 1 + v 2 x 2. On remarque que nous pouvons choisir v 2 = 1, pour obtenir une droite qui contient X et Y. Remarquons aussi que n importe quel autre choix de v 2 non nul nous donne la même droite, d où l unicité. 1 Pour terminer, les points, et ne sont pas alignés. En effet, si une 1 droite d v,c contenait ces trois points, alors l appartenance du premier point impliquerait que c =, tandis que l appartenance des deux autres points donnerait successivement v 1 = et v 2 =, une contradiction. Nous avons vu dans la preuve que si la droite d v,c = {u K 2, v, u = c} v 2 contient Y, alors elle contient aussi Y + λ pour tout λ K. En fait, tous les points de la droite sont de cette forme. En effet, si X d v,c, alors v, X Y =. Nous pouvons renverser le calcul que nous avons fait précédement, pour voir que si v 1, alors x 1 y 1 = v 2(x 2 y 2 ) v 1 et donc X Y = (x 2 y 2 ) v 1 même lorsque c est seulement v 2 qui est non nul. v 1 ( v 2, v 1 ). On peut procéder de Définition 3.3. Soient X, Y, Z des points alignés distincts. Alors on définit l ordre par X Y Z si et seulement si X Y, Z Y <. On remarque que ceci est vrai si et seulement si il existe λ < avec (Z Y ) = λ(x Y ). Proposition 3.4. Soit K un corps ordonné. Alors le plan cartésien Π = K 2 est une géométrie d ordre.

III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 5 Démonstration. L axiome (O1) est vérifié par définition et symétrie du produit scalaire. Pour l axiome (O2), si X, Y sont distincts, alors X Y (2Y X), puisque le produit scalaire est défini positif. L axiome (O3) sera vérifié en exercice (Série 3). Pour l axiome de Pasche (O4), soit A, B, C trois points non alignés, et supposons qu une droite d v,c ne contient pas les trois points A, B, C et coupe le segment [A, B]. Cette situation est bien trop générale pour se traiter facilement. Nous allons utiliser des actions pour nous simplifier la vie. Soit GL 2 (K) le groupe des matrices 2 2 inversibles et à coefficients dans K. Le groupe agit naturellement par multiplication matricielle. (Les éléments de K 2 sont vus comme des vecteurs colonne). On remarque que l action préserve les droites. En effet, si A GL 2 (K), alors v, Ax = (v) t Ax = (A t v) t x = A t v, x. Ceci montre que x d v,c si et seulement si Ax d A t v,c, c est-à-dire si A d v,c = d A t v,c. De même, l action préserve l ordre des points alignés, par linéarité. v 1 v 2 Soit M la matrice inversible M =. On remarque que M t = 1 v 1 v 2 v1 v 2 v 2 +v2 2 1 v 2 v 1 et que w := M t 1 v =. Le fait que l action preserve l ordre des points alignés implique que le triangle A, B, C et la droite d v,c vérifient l axiome de Pasche si et seulement si le triangle M A, M B, M C et la droite M d v,c = d w,c vérifient l axiome de Pasche. Nous nous sommes ramenés à un cas plus simple, puisque maintenant la droite d w,c qui entre dans le triangle est horizontale! Nous pouvons encore utiliser une translation de vecteur pour nous ramener c au cas ou d est la droite des abscisses, et une autre translation pour que le point d intersection entre d et le segment [A, B] soit le point. Ceci implique en particulier que B = λ A pour un unique λ <. Supposons que b 2 c 2. Alors, la droite (BC) = {B + λ(c B) : λ K} coupe l axe des abscisse au point X = B + b 2 b 2 c 2 (C B). Ceci implique en particulier que

6 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS B X, C X = ( b2 (C B), 1 b ) 2 (C B) b 2 c 2 b 2 c 2 = b 2 c 2 B A, B A b 2 c 2 b 2 c 2 qui est du signe de b 2 c 2. Puisque b 2 = c 2 implique que la droite (BC) n intersecte pas l axe des abscisses, on a montré formellement que le segment [B, C] intersecte la droite d si et seulement si b 2 et c 2 ont des signes opposés. Or a 2 et b 2 ont des signes opposés. Donc l axiome de Pasche est vérifié, car c 2 a un signe différent de a 2 ou b 2 mais pas les deux. Pour le reste des axiomes, nous allons utiliser le théorème que nous avons vu la semaine passée et que vous utiliserez et démontrerez dans le travail dirigé, qui utilise des actions de groupes. Nous allons avoir besoin d un groupe qui agit sur K 2 d une excellente façon. Nous introduisons d abord le groupe Définition 3.5 (Matrice orthogonales). Une matrice A GL 2 (K) est dite orthogonale si A t A = I 2 = AA t, autrement dit si son inverse est égale à sa transposée. Proposition 3.6. L ensemble des matrices orthogonales 2 2 à coefficients dans K, que l on note O 2 (K) est un sous-groupe de GL 2 (K). Démonstration. En effet, si A, B O 2 (K), alors (AB) t AB = B t A t AB = B t B = I 2. De même pour l autre composition. Aussi, (A 1 ) t A 1 = (A t ) t A t = AA t = I 2. La composition et l inverse de matrices orthogonales est donc orthogonale. Remarquons aussi que Ax, Ay = x, A t Ay = x, y. En fait, les matrices orthogonales sont celles qui préservent le produit scalaire. Définition 3.7. On définit Isom(K 2 ) = {f Bij(K 2 ) : A O 2 (K), b K 2 tel que x K 2, f(x) = Ax + b}. Proposition 3.8. Isom(K 2 ) est un sous groupe des bijections de K 2. Démonstration. En effet, si f(x) = Ax + b et g(x) = A x + b, alors fg(x) = (AA )x + (Ab + b).

De plus, f 1 (x) = A 1 x A 1 b. III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 7 Nous avons donc construit notre action de groupe. Nous devons maintenant voir sous quelles conditions les axiomes (G1), (G2) et (G3) sont vérifiés. Définition 3.9. Le corps K est dit pythagoricien si pour tout a K, l équation a une solution dans K. x 2 (1 + a 2 ) = Proposition 3.1. Les axiomes (G1), (G2) et (G3) sont vérifiés si et seulement si le corps K est pythagoricien. Démonstration. Supposons d abord que (G1) est vérifié, et montrons qu alors le corps doit être pythagoricien. Soient a K Considerons les demi-droites d origine et de vecteurs directeur Alors, par (G1) il existe une matrice m 11 M = m 12 O 2 (K 2 ) m 21 m 22 1 et et b K 2 tels quel application f : K 2 K 2 définie par x Mx + b est telle que 1 f() = et f = λ 1 pour un λ >. La première condition implique que a m 11 b = et la seconde implique que le vecteur m = est tel que m = λ 1. m 12 a Or puisque M est orthogonale, m, m = 1 et donc λ 2 + λ 2 a 2 = 1. Autrement dit, 1 λ est une solution à l équation x 2 (1 + a 2 ) =. Par ailleurs, si K est pythagoricien, et v K 2 non nul, alors il existe toujours une 1 matrice orthogonale M v telle que M v = λv pour un λ >, autrement dit tel que M v [, (1, )) = [, v). En effet, on peut supposer v 1, (le cas v 1 = est très facile), construire w = 1 et résoudre l équation x 2 (1 + v2 2 ) = pour obtenir un x tel que si u = 1w, v v 2 2 1 x v 1 u, u = 1. 1 a.

8 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS En effet, on a alors 1 (1 + v2 x 2 1 ) = 1. v2 2 u 1 On remarque ensuite que la matrice M v = u 2 est une matrice orthogonale u 2 u 1 qui fait l affaire, et notons R v Isom(K 2 ) la fonction R v (x) = M v (x) pour tout x K 2. Soit [X, A) et [Y, B) deux demi-droites quelconques. Il existe v, w K 2 deux vecteurs non nuls qui sont des vecteurs directeurs de ces demi-droites. Soit t b Isom(K 2 ) : K 2 K 2 la "translation" de vecteur b, autrement dit, t b (x) = x + b pour tout x K 2. On remarque que φ = t Y R w (R v ) 1 t X est un élément de Isom(K 2 ) tel que en particulier φ X = Y, mais aussi φ([x, A)) = φ([y, B)). 1 De plus, si S est l application donnée par x alors φ = t Y R w S(R v ) 1 t X 1 est aussi une application qui envoie [X, A) sur [Y, B), mais avec les demis-plans inversés. L action de l axiome (G1) est donc transitive. Nous devons vérifier que les stabilisateurs sont triviaux. Pour cela, puisque l action est transitive, il suffit de consider le stabilisateur de la demi-droite {(x, ); x }, bordé du demi-plan contenant (, 1). Soit M O 2 (K 2 ) et b K 2 tels que l application φ(x) = Mx+b stabilise la demi-droite bordé du demi-plan. 1 Alors b =, et la première colonne de M doit être. Par conséquent, puisque M est orthogonale, la deuxième colonne peut-être ou bien. Mais puisque le 1 1 demi-plan est aussi fixé, φ(, 1) doit avoir une seconde coordonnée positive. Ceci montre que seule la deuxième option est possible pour la deuxième colonne de M, et donc que M est l identité. Pour l axiome (G2), et étant donné X Y deux points de K 2, alors l application φ = t + X+Y RX Y 1 SR X Y t 2 X+Y est la symétrie d axe la médiatrice du segment [XY ]. 2 (Vérifiez!). Avec une construction de symétrie similaire, on vérifie (G3). Corollaire 3.11. Les plans K 2 est un plan de Hilbert qui vérifie (P ) si K est pythagoricien.

III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS 9 Remarque 3.12. Il existe un sous-corps pythagoricien de R qui est strictement contenu dans R : il s agit des nombres constructibles à la règle et au compas! Ce sous-corps contient toutes les racines carrées d entiers naturels, mais pas toutes les racines cubiques, les nombres transcendants comme π ou e... 4. Plans cartésiens euclidiens Pour terminer nous nous intéressons à l axiome (E) d intersection des cercles. Nous allons voir que cette propriété est liée à l existence de racines carrées dans K. Définition 4.1. Un corps ordonné K est euclidien si tout nombre positif a K admet une racine carrée. Théorème 4.2. Soit K un corps ordonné euclidien. Alors le plan cartésien Π = K 2 est un plan de Hilbert qui vérifie (E) et (P), c est un plan euclidien. Démonstration. Si K est euclidien, alors K est en particulier pythagoricien. Donc par le théorème précédent, il suffit de vérifier (E). Considérons deux cercles dans Π, donnés sous forme cartésienne par les équations (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 et (x c) 2 + (y d) 2 = s 2 Remarquons que les éléments r et s sont des éléments du corps K puisque les rayons au carré" ont une racine! Supposons que r s et effectuons une translation pour emmener le centre du premier cercle à l origine, si bien que son équation est à présent x 2 +y 2 = r 2. Appelons C = c a et D = d b. Par hypothèse le second cercle n est pas entièrement à l extérieur du premier si bien que C 2 + D 2 r + s, mais pas non plus entièrement à l intérieur, et dans ce cas C 2 + D 2 r s. Développons ces équations et soustrayons l une à l autre pour éliminer les carrées des inconnues : 2Cx + 2Dy = r 2 s 2 + C 2 + D 2 x = r2 s 2 + C 2 + D 2 2Dy 2C où nous avons exprimé x en fonction de y. Comme x 2 + y 2 = r 2, nous en déduisons que (1 + D2 C 2 )y2 D(r2 s 2 + C 2 + D 2 ) C 2 y + (r2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 4C 2 r 2 = (C 2 + D 2 )y 2 D(r 2 s 2 + C 2 + D 2 )y + (r2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 C 2 r 2 = 4

1 III. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE ET PLANS CARTÉSIENS La formule de résolution d une équation du second degré donne une solution dans un corps euclidien si et seulement si le discriminant est positif. Il reste donc à calculer : = D 2 (r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 (C 2 + D 2 )[(r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 4C 2 r 2 ] = 4C 2 r 2 (C 2 + D 2 ) C 2 (r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 Ce nombre est positif si et seulement si 4r 2 (C 2 + D 2 ) (r 2 s 2 + C 2 + D 2 ) 2 ou encore 2r C 2 + D 2 r 2 s 2 + C 2 + D 2. Or [r 2 2r C 2 + D 2 + C 2 + D 2 ] s 2 = ( C 2 + D 2 r) 2 s 2 = ( C 2 + D 2 (r + s))( C 2 + D 2 (r s)) ce qui conclut la démonstration. Ouf. Exemple 4.3. Le corps des nombres réels R est euclidien, si bien que le plan réel R 2 est un plan euclidien. Pour terminer ce chapitre de géométrie axiomatique, faisons une petite excursion en théorie des corps et regardons ce que nous avons appris en raisonnant en termes d axiomes plutôt qu en termes de modèle standard (le plan cartésien réel). On dit qu un corps ordonné est archimédien si pour tout a >, il existe un entier n avec n > a. Tout corps ordonné archimédien est un sous-corps de R. On peut aussi construire un corps ordonné pythagoricien contenant R(t) de la façon suivante : les éléments du corps sont des séries de Laurent formelles i n a i t i, où n Z. Il existe aussi un corps euclidien et non archimédien contenant le corps des fractions rationnelles réelles R(t). Les plan cartésiens sur de tel corps sont des plans de Hilbert, et même un plan euclidien dans le deuxième cas, mais sa géométrie est très différente de notre idée préconçue de la géométrie euclidienne puisqu il existe des segments tellement longs" qu on ne les dépasse jamais en additionnant des segments de longueur 1! L analogie de cette géométrie que propose Hartshorne est de s imaginer que nous vivons dans un monde non archimédien, mais que bien sûr ce que nous voyons et ce que nous pouvons atteindre se trouve à une distance finie et nous n avons aucun moyen de savoir s il y a quelque chose qui se trouve plus loin que n kilomètres pour tout n!