Vecteurs Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Notion de vecteur Coordonnées 3 1.1 Définitions................................................. 3 1.2 Égalité de deux vecteurs......................................... 3 1.3 Coordonnées d un vecteur........................................ 4 2 Sommes de deux vecteurs Coordonnées 5 2.1 Somme de deux vecteurs......................................... 5 2.2 Coordonnées de la somme........................................ 6 3 Multiplication d un vecteur par un réel Coordonnées 7 3.1 Définition Construction........................................ 7 3.2 Coordonnées de k u............................................ 8 4 Colinéarité Applications 8 4.1 Colinéarité, alignement et parallélisme................................. 8 4.2 Expression de la colinéarité dans un repère.............................. 9 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1
TABLE DES FIGURES TABLE DES FIGURES Table des figures 1 Une translation.............................................. 3 2 Notation u................................................ 3 3 Vecteurs égaux............................................... 4 4 Longueurs égales mais vecteurs non égaux................................. 4 5 Coordonnées d un vecteur........................................ 5 6 Relation de Chasles........................................... 5 7 Somme de deux vecteurs de même origine............................... 6 8 Multiplication d un vecteur par un réel Cas 1.............................. 7 9 Multiplication d un vecteur par un réel Cas 2.............................. 7 10 Multiplication d un vecteur par un réel Exemple 1........................... 7 11 Multiplication d un vecteur par un réel Exemple 2........................... 8 12 Vecteurs colinéaires............................................ 8 13 Vecteurs non colinéaires.......................................... 9 2
1 NOTION DE VECTEUR COORDONNÉES Activités : Activités 1 et 2 (fp) 1 1 Notion de vecteur Coordonnées 1.1 Définitions Définition 1 : Soient A et B deux points du plan. À tout point M du plan on associe par la translation qui transforme A en B, l unique point M tel que [AM ] et [BM] ont le même milieu (voir figure 1). Figure 1 Une translation Remarque : Pour construire M, il suffit donc de construire le parallélogramme (éventuellement aplati) ABM M. Définition 2 : On dit alors que les points A et B (pris dans cet ordre) et que les points M et M (pris dans cet ordre) représentent le même vecteur u. On note alors : Remarque : Sur la figure 2, AB = CD= EF. u = AB = MM Figure 2 Notation u Le vecteur de translation qui transforme A en B, C en D et E en F peut être noté indifféremment AB, CD ou EF. Plus généralement, on le note u, notation indépendante des points d application. 1.2 Égalité de deux vecteurs Différentes façons d exprimer l égalité AB = CD, où A et B sont deux points non confondus ( voir figure 3) : 1. Grâce à une transformation : D est l image de C par la translation de vecteur AB. 1. Des translations aux vecteurs 3
1.3 Coordonnées d un vecteur 1 NOTION DE VECTEUR COORDONNÉES Figure 3 Vecteurs égaux 2. Par une figure connue : ABDC est un parallélogramme. 3. En termes de milieux : [AD] et [BC] se coupent en leur milieu. 4. Par les caractéristiques des vecteurs : (AB) (CD), c est-à-dire que les vecteurs ont même direction ; on va de A vers B comme de C vers D, c est-à-dire que les vecteurs ont même sens ; AB = CD, c est-à-dire que les vecteurs ont même longueur ou norme. Remarque : 1. L égalité AB = CD (égalité de longueur), ne suffit pas pour avoir AB = CD. Figure 4 Longueurs égales mais vecteurs non égaux Dans la figure 4, AB = AC mais AB AC (les vecteurs n ont pas même direction). Il est donc très important de ne pas oublier les «flèches» sur les vecteurs. 2. Que dire du vecteur AA ou BB? C est le vecteur nul, noté : 0. Il n a pas de direction (donc pas de sens) et sa longueur est nulle. 3. Que dire des vecteurs AB et BA? Ils ont même direction, même longueur et sens contraire. On dit qu ils sont opposés et on note BA = AB. Exercices : 1, 2, 3 page 231 2 [TransMath] 1.3 Coordonnées d un vecteur Définition : Dans un repère (O ; I ; J), les coordonnées d un vecteur u sont celles du point M tel que OM = u (voit figure 5). Remarques : 2. Vecteurs égaux. 4
2 SOMMES DE DEUX VECTEURS COORDONNÉES Figure 5 Coordonnées d un vecteur 1. En particulier, les coordonnées du vecteur nul 0 sont (0 ; 0). 2. Pour éviter de confondre les coordonnées des points ( et ) des vecteurs, on notera les coordonnées des vecteurs en colonnes, sous la forme suivante : x u. y Propriété ( 1 ): On se( place) dans un repère (O ; I ; J). { Si a u et b a v b, u = a = a v si et seulement si b = b Remarque : En effet, les vecteurs u et v sont alors égaux au même vecteur OM. Propriété 2 (admise) : On se place dans un repère (O ; I ; J). Si A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ) alors ( ) xb x AB A y B y A Exercices : 13, 14, 16, 17 page 235 et 76 page 243 3 [TransMath] 2 Sommes de deux vecteurs Coordonnées 2.1 Somme de deux vecteurs Définition : La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur s résultant de l enchaînement de la translation de vecteur u suivi de la translation de vecteur v (voir figure 6). On note : s = u + v Figure 6 Relation de Chasles Remarque : Si l image de A par la translation de vecteur u est B, et si l image de B par la translation de vecteur v est C, alors C est l image de A dans la translation de vecteur s = u + v. 3. Coordonnées de vecteurs. 5
2.2 Coordonnées de la somme 2 SOMMES DE DEUX VECTEURS COORDONNÉES Propriété 1 : En conséquence : AB + BC = AC Cette relation est appelée relation de Chasles. Elle est valable pour tous les points A, B, C du plan. Remarque : L égalité de longueurs AB+BC = AC est en général fausse. Dans la figure 4, on a : AB+BC > AC. Propriété 2 : Soit AB = u et AD = v. (voir figure 7) Le point C tel que AC = u + v est le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. Figure 7 Somme de deux vecteurs de même origine Remarques : 1. La propriété 1 permet de construire une somme de vecteurs en les mettant «bout-à-bout» (l extrémité du premier vecteur est l origine du second). 2. La propriété 2 permet de construire la somme de deux vecteurs de même origine. Définition : On rapelle que deux vecteurs opposés ont même direction, même longueur et sens opposé. On note : AB = BA. Soustraire un vecteur à un autre, c est additionner son opposé. C est ainsi que l on définit une soustraction de vecteurs. Exercices : 5, 6 page 232 et 43, 44, 45 page 241 4 7, 8 page 232 et 48, 50 page 241 5 [TransMath] 2.2 Coordonnées de la somme Propriété ( (admise) ) (: On) se place dans un repère (O ; I ; J). ( ) Si a u et b a v b, les coordonnées de u + a + a v sont b + b Exercices : 15 page 234 et 24, 25 page 235 6 [TransMath] 4. Construction de la somme de deux vecteurs. 5. Relation de Chasles. 6. Coordonnées de la somme de deux vecteurs. 6
3 MULTIPLICATION D UN VECTEUR PAR UN RÉEL COORDONNÉES 3 Multiplication d un vecteur par un réel Coordonnées 3.1 Définition Construction Définition : A et B désignent deux points distincts et k un nombre réel non nul. Si AC = k AB, alors C est le point de la droite (AB) tel que : Si k > 0, AC = k AB et les points B et C sont du même côté de A (figure 8). Si k < 0, AC = ( k) AB et les points B et C sont de part et d autre de A (figure 9). Figure 8 Multiplication d un vecteur par un réel Cas 1 Figure 9 Multiplication d un vecteur par un réel Cas 2 Remarque : Autrement dit : Si k > 0, AB et AC ont même direction, même sens et AC = k AB. Si k < 0, AB et AC ont même direction, sens opposés et AC = ( k) AB. Exemples : 1. AC = 2 AB (voir figure 10) 2. AC = 3 4AB (voir figure 11) Figure 10 Multiplication d un vecteur par un réel Exemple 1 Exercices : 9, 10, 11 page 233 ; 51, 52, 53 page 241 et 56 page 242 7 57 page 242 8 [TransMath] Remarques : 1. Par convention : 0 u = 0 et k 0 = 0. On a ainsi : k u = 0 si et seulement si k = 0 ou u = 0. 2. Les règles de calcul de calcul sont les mêmes que pour les nombres. Exemple : A, B et C sont trois points distincts. Exprimer la somme vectorielle AB + 3AC 2BC en fonction des seuls vecteurs AB et AC. 7. Construction du produit d un vecteur par un réel. 8. Exprimer une condition sous forme vectorielle. AB + 3 AC 2 ( ) BC = AB + 3AC 2 BA + AC (1) = AB + 3 AC 2 BA 2 AC (2) = AB + 3 AC + 2 AB 2 AC (3) = AB + 2 AB + 3 AC 2 AC (4) = 3 AB + AC (5) 7
3.2 Coordonnées de k u 4 COLINÉARITÉ APPLICATIONS Figure 11 Multiplication d un vecteur par un réel Exemple 2 On commence par une relation de Chasles (ligne 1), puis on développe la parenthèse (ligne 2) et enfin, on regroupe les termes jusqu à arriver au résultat voulu. Exercices : 54 page 241 et 55 page 242 9 39 page 239 et 106 page 247 10 [TransMath] 3.2 Coordonnées de k u Propriété ( (admise) ) : On se place dans un repère (O ; I (; J). Si a u et si k R, les coordonnées de k b k a u sont k b Exercices : 19, 20, 21, 22, 23 page 235 et 78, 79 page 243 11 [TransMath] ) 4 Colinéarité Applications 4.1 Colinéarité, alignement et parallélisme Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires si l un d eux est le produit de l autre par un réel, c est-à-dire s il existe un réel k tel que u = k v (ou v = k u ). Autrement dit, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur direction est la même. Remarque : Par convention, le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs. Exemples : 1. Sur la figure 12, les deux vecteurs sont colinéaires. Figure 12 Vecteurs colinéaires 2. Sur la figure 13, les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. De cette définition découle la propriété suivante : Propriété : Parallélisme et alignement 1. (AB) (CD) si et seulement si il existe un réel k tel que AB = kcd (c est-à-dire si AB et CD sont colinéaires) 2. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si il existe un réel k tel que AB = kac (c est-à-dire si AB et AC sont colinéaires) Exercices : 58, 59, 60 page 242 12 [TransMath] 9. Calcul vectoriel. 10. Point défini par une égalité vectorielle. 11. Coordonnées de points, de vecteurs. 12. Colinéarité Applications. 8
RÉFÉRENCES 4.2 Expression de la colinéarité dans un repère Figure 13 Vecteurs non colinéaires 4.2 Expression de la colinéarité dans un repère Propriété : Colinéarité ( Soit O ; i ; ) ( ) ( ) j un repère, a u et b a v b deux vecteurs. u et v sont colinéaires si et seulement si leur coordonnées sont proportionnelles, ce qui signifie : ab = ba (ou bien : ab ba = 0) ( ) ( ) ( ) Exemple : 2 u, 1 6 v et 3 3 w. 2 { pour u et 2 3 = 6 v : ( 1) ( 6) = 6 donc u et v sont colinéaires. { pour u et 2 ( 2) = 4 w : ( 1) 3 = 3 donc u et w ne sont pas colinéaires. pour v et w : sans aucun calcul supplémentaire, ils ne sont pas colinéaires (sinon u et w le seraient aussi). Exercices : 26 page 237 et 80, 81, 82 page 244 13 27, 28, 29, 31, 32 page 237 et 68, 70, 72 page 243 14 33, 34 page 237 et 63, 64, 65 page 242 15 40, 41 page 239 ; 83, 85, 86, 87, 88, 90 page 244 et 92 page 245 16 [TransMath] Références [TransMath] Transmath Seconde, Nathan (édition 2010). 4, 5, 6, 7, 8, 9 13. Colinéarité de vecteurs. 14. Alignement, parallélisme. 15. Coordonnées d un point sur une droite. 16. Choix d un repère. 9