Les vecteurs du plan

Les vecteurs du plan Colinéarité Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2015/2016 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 1 / 13

1 Vecteurs colinéaires Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées 2 3 Vecteur directeur Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 2 / 13

I) Vecteurs colinéaires a) Définition et première propriété Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées Définition Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si l un d eux est le produit de l autre par un réel, c est-à-dire s il existe un réel k tel que u = k v ou v = k u Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 3 / 13

I) Vecteurs colinéaires a) Définition et première propriété Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées Définition Deux vecteurs u et v sont dits colinéaires si l un d eux est le produit de l autre par un réel, c est-à-dire s il existe un réel k tel que u = k v ou v = k u Le vecteur nul est colinéaire avec tous les autres vecteurs Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 3 / 13

b) Parallélisme et alignement Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées A, B, C et D étant quatre points distincts, Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 4 / 13

b) Parallélisme et alignement Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées A, B, C et D étant quatre points distincts, Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. A, B et C étant trois points distincts, Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 4 / 13

c) Colinéarité et coordonnées Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement leurs cordonnées sont proportionnelles. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 5 / 13

c) Colinéarité et coordonnées Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement leurs cordonnées sont proportionnelles. Critère de colinéarité Dans un repère (O ; I ; J). Les vecteurs u ( ) x et v y ( x ) y sont colinéaires si et seulement si xy x y= 0 Exemple 1 On considère les points A( 1 ; 1), B(2 ; 2) et C(8 ; 4) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC. Les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires? Que peut-on en déduire? Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 5 / 13

II) a) Les différents repères Au collège et en seconde, un repère était formé de trois points non alignés: Le repère (O, I,J) est formé de trois points: Le point O est l origine du repère; Le point I est le point unité sur l axe des abscisses; Le point J est le point unité sur l axe des ordonnés. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 6 / 13

Repère orthonormé Vecteurs colinéaires 4 3 4 3 2 1 2 1 J O 1 I + A 1 2 3 4 5 Les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires. Les longueurs OI et OJ sont égales. 2 3 4 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 7 / 13

Repère orthogonal Vecteurs colinéaires Les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires. + B J + A O I Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 8 / 13

Repère quelconque Vecteurs colinéaires + A J O I Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 9 / 13

Repère quelconque Vecteurs colinéaires + A j J O i I Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 9 / 13

Repère quelconque Vecteurs colinéaires + A j O J i 1,5 i I 2 j Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 9 / 13

b) Vecteurs colinéaires Définition Choisir un repère c est : choisir un point appelé origine du repère; choisir deux vecteurs non colinéaires. On notera le repère (O ; i, j ) ou (O ; OI, OJ ) Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 10 / 13

b) Vecteurs colinéaires Définition Choisir un repère c est : choisir un point appelé origine du repère; choisir deux vecteurs non colinéaires. On notera le repère (O ; i, j ) ou (O ; OI, OJ ) Dire que le point M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (O ; i, j ) signifie que: OM = x i + y j Dire que le vecteur u a pour coordonnées (x ; y) dans la base ( i, j ) signifie que: u = x i + y j Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 10 / 13

c) u et v étant deux vecteurs non colinéaires. Pour tout vecteur w du plan, il existe un unique couple de réels (x ; y) tel que w = x u + y v A, B et C étant trois points alignés. Pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x ; y) tel que AM = x AB + yac Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 11 / 13

Vecteurs colinéaires III) a) Vecteur directeur Vecteur directeur B (d) A u Définition Un vecteur directeur d une droite d est un vecteur u non nul qui a la même direction que d. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 12 / 13

Vecteur directeur a, b et c étant trois nombres tels que a 0 ou b 0. L ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées sont telles que ax+ by+ c= 0 est une droite. Définition Une équation de la forme ax+ by+ c= 0 avec a 0 ou b 0 est appelée une équation cartésienne de la droite. Toute droite a une équation cartésienne de la forme ax+ by+ c= 0 avec a 0 ou b 0 Le vecteur u ( b ; a) est alors un vecteur directeur de cette droite. Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Vecteurs Année 2015/2016 13 / 13