1 La formule de Black et Scholes en t discret

Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose qu un agent a le choix entre deux placements possibles : La Caisse d Epargne 2,5% garanti, dont le cours évolue au cours du temps suivant la formule ici α > 1 : R n = R 0 α n, n = 1, 2,... Action en bourse : 1 seul type d action, dont le cours fluctue suivant la formule : S n = S 0 ξ 1 ξ 2 ξ n, n = 1, 2,... où les v.a. {ξ n, n 1} sont i.i.d. avec IPξ i = u = p, IPξ 1 = d = 1 p, d < α < u u= up, d= down. Une option d achat en Anglais call = un contrat conclu à l instant 0, aux termes duquel le vendeur s engage à vendre à l acheteur un nombre fixé y d actions à l instant T, au prix fixé K quel que soit le prix S T de l action à l instant T. Une option de vente en Anglais put est un contrat analogue, dans lequel le vendeur s engage à acheter à l acheteur des actions. L option donne à l acheteur le droit pas l obligation d acheter resp. de vendre les y actions au prix K à l instant T. Evidemment, l acheteur va exercer son action si S T > K resp. S T < K, et ne pas l exercer si S T K resp. S T K. En échange de ce droit, l acheteur paie un prix x à l instant 0. Quel est le juste prix x de cette option? L acheteur débourse xeàl instant 0, et à l instant T il encaisse un gain égal à fs T = ys T K + resp. yk S T +. 1

Le vendeur, lui, encaisse xeàl instant 0, et débourse ys T K + resp. yk S T + à l instant T. Il cherche à se couvrir. Pour cela il va placer au mieux les xeque lui verse l acheteur à l instant 0, pour qu ils deviennent à l instant T un montant aussi proche que possible de fs T. L idéal serait qu il existe un montant x et une stratégie de placement au cours du temps appelée stratégie de couverture telle que les x e de l instant 0 deviennent exactement fs T eàl instant T. Or une telle stratégie de couverture existe, et le montant initial x nécessaire est appelé le juste prix de l option. Supposons qu à l instant n la richesse initiale x soit devenue X n = X n Z n + Z n, où Z n est la partie investie en bourse, et X n Z n la somme déposée à la Caisse d Epargne. Alors la richesse à l instant n + 1 sera On veut que X n+1 = X n Z n α + Z n ξ n+1 = X n α + Z n ξ n+1 α. X T = fs T. Cherchons X T 1 et Z T 1 tels que cette relation soit satisfaite. X T 1 α + Z T 1 ξ T α = fs T 1 ξ T p.s. ce qui impose les deux relations suivantes : X T 1 α + Z T 1 d α = fs T 1 d, X T 1 α + Z T 1 u α = fs T 1 u. On résoud ce système de deux équations aux deux inconnues X T 1 et Z T 1, et on obtient X T 1 = 1 α ΦfS T 1, avec Φ fs = u α α d fs d + fs u u d u d = IE fsξ T, 2

si IP ξ n = u = q, IP ξ n = d = 1 q, avec q = α d p! En outre u d En itérant, on obtient : Soit encore : Z T 1 = fs T 1u fs T 1 d u d = dérivée discrète. X T k = 1 α kφk fs T k Z T k = Φk 1 fs T k u Φ k 1 fs T k d α k 1 u d avec X k = Fk, S k Z k = Fk + 1, S ku Fk + 1, S k d, u d Fk, s = α T k Φ T k fs T k = α T k CTq l l 1 q T k l fsu l d T K l l=0 = α T k IE fs ξ k+1 ξ T, où sous IP les ξ n sont i.i.d. de loi commune donnée comme ci dessus différente de la loi des fluctuations du marché!. où S T = α T S T. x = α T Φ T fs 0 T = α T CT l ql 1 q T l fs 0 u l d T l l=0 = α T IE fs 0 ξ 1 ξ T = IE S T Kα T +, cas d un call = IE Kα T S T +, cas d un put, 3

Remarque 1 Le choix de Z n ne dépend que des fluctuations des cours jusqu à l instant n donc bien de quantités connues à cet instant. Le résultat est indépendant de p, il ne dépend que de α, et des valeurs prises par les ξ i. Le résultat s exprime à l aide d une loi de probabilité artificielle IP, t.q. n, IE ξ n = α, c est à dire que sous IP, l espérance mathématique du gain à la bourse est le gain que fournit la caisse d épargne. 2 La formule de Black Scholes en temps continu ous allons maintenant établir la formule de Black Scholes en temps continu par passage à la limite sur le modèle discret. On suppose maintenant que, T étant un réel positif arbitraire, t prend les valeurs 0, 1 [T],...,, et que avec [t] S t = S 0 ξk, k=1 [t] S t = S 0 exp k=1 η k = log ξ k r. α = e r/ η k, σ }. On suppose que les ηk σ prennent leurs valeurs dans l ensemble {, La formule pour le prix du call resp. du put devient donc, si Zt := [t] k=1 η k, IE [ S0 expz T Ke rt + ] 4

resp. [ Ke IE rt S 0 expzt ]. + Il reste à trouver la loi limite de Z T quand sous IP. On a le Théorème 2 Si Zt := [t] k=1 η k et pour chaque les {ηk, k 0} sont i.i.d. à valeurs dans { σ σ, }, avec IE ηk = µ, et µ µ quand, alors sous IP, quand, Z t µt + σb t, t 0, où {B t, t 0} est un mouvement brownien sous IP. Preuve On sait cf. par exemple Breiman [Probability] page 180 que si une v.a.r. X admet un moment d ordre 3, pour tout r IR, IE expirx = 1 + irie X r2 2 IE X 2 i r3 6 IE X 3 + δx, r, avec δx, r 3IE X 3. Donc donc IE expirη k = 1 + irµ r2 σ 2 IE expirz t = 1 + irµ r2 σ 2 exp irµt r2 σ 2 t 2 2 + O 3/2, [t] 2 + O 3/2 quand. Pour pouvoir appliquer ce théorème, il nous reste à calculer l espérance de ηk sous IP. Cette dernière probabilité est caractérisée par l identité soit, avec p a := IP η k = σ,. IE expη k = 1, exp σ p a + exp σ p b = 1, 5

d où et p a = e σ 1 e σ e σ e σ σ, p b = 1 e e σ IE η k = σ2 2 + 1. Il résulte alors du théorème ci dessus que sous IP, Z t σ2 2 t + σb t. On en déduit la formule limite pour le prix du call : C 0 = e rt IE S T K + = 2π 1/2 + et celle du put P 0 = e rt IE K S T + = 2π 1/2 +, S 0 e σ2 T 2 +σ Ty Ke rt Ke rt S 0 e σ2 T 2 +σ Ty + + e y2 /2 dy, e y2 /2 dy. Ces formules se réécrivent comme suit en fonction de la fonction de répartition F de la loi normale centrée réduite. C 0 = S 0 Fd 1 Ke rt Fd 2, P 0 = Ke rt F d 2 S 0 F d 1, avec d 1 = 1 σ T log d 2 = 1 σ T log S0 K S0 K + r T σ + r T σ + σ T 2, σ T 2. otons que l on trouve la formule dite de parité call put C 0 P 0 = S 0 Ke rt, en remarquant que Fd i + F d i = 1, i = 1, 2. 6

Remarque 3 La formule de Black Scholes en temps continu dépend de la volatilité σ et du taux d intérêt r. On peut considérer que r est connu, par contre la volatilité est essentiellement inconnue! On peut l estimer à l aide d une procédure statistique. On peut aussi inverser la formule de Black Scholes comme suit. Il existe en fait un marché des options. Connaissant, K, T, r et S 0, il existe une seule valeur de la volatilité σ qui redonne par la formule de Black Scholes le prix observé sur le marché. Cette valeur de la volatilité dite volatilité implicite est la valeur que les acteurs du marché semblent anticiper comme volatilité. Remarque 4 On a vu que S t = S 0 exp r σ2 t + σbt, 2 et sous la probabilité dite risque neutre IP, {Bt, t 0} est un mouvement brownien. On a aussi S t = S 0 exp µt + σb t, où {B t, t 0} est un mouvement brownien sous la probabilité IP qui modélise les fluctuations du marché. On a donc la relation µ r Bt = + σ t + B t. σ 2 Le paramètre µ n intervient pas du tout dans la formule de Black Scholes. 3 Option portant sur plusieurs sous jacent Jusqu ici nous nous sommes contentés d étudier des options portant sur un seul actif risqué. Même si c est le cas d un grand nombre d options, il en existe qui portent sur plusieurs actifs risqués à la fois. Un premier exemple typique de ce second type est le cas des options spread, qui portent sur l écart entre les prix de deux actifs, i.e. H = ST 1 S2 T +, où S 1 et S 2 sont les prix de deux actifs risqués. Un second exemple est constitué par les options sur portefeuille appelées aussi options paniers basket option en Anglais. Les options sur indice type CAC 40 en sont un exemple. Une option de vente put sur portefeuille est un moyen d assurer son portefeuille. Étant donné un 7

portefeuille composé de a i actions de prix St i à l instant t, i = 1,...,d, un put qui paye K n i=1 a ist i + garantit que le portefeuille pourra être revendu au moins au prix K à l échéance. On pourra consulter comme référence [3], page 221. Suposons que, outre l actif non risqué, qui cote R t = e rt à l instant t le marché est composé de d actifs risqués, dont les prix St, i i = 1,..., d, fluctuent suivant le modèle [ ] d St i = S0 i exp µ i t + σ ij B j t, 1 i d, t 0. j=1 Pour généraliser la théorie de Black Scholes on montre, sous l hypothèse que la matrice Σ cf. ci dessous est inversible, l existence d une probabilité risque neutre IP équivalente à la probabilité IP, sous laquelle le processus des prix actualisés S t = e rt S t = e rt St 1,...,Sd t, t 0} soit une martingale vectorielle, donc en particulier t. q. IE S t = e rt IE S t = S 0, t 0. La formule pour le prix du call resp. de put devient n C 0 = IE a i Si T e rt K i=1 n resp. P 0 = IE e rt K a i Si T + i=1 +, où sous IP la loi de L t = log S t 1,..., log S t d est la loi de Gauss vectorielle logs 0 T 2 s2, ΣΣ T, avec l abus de notation logs 0 = logs0 1,...,logSd 0 et σ 11 σ 1d s 2 1 Σ =.., s 2 d =., où s 2 i = σij 2. σ d1 σ j=1 dd s 2 d 8

En effet la condition ci dessus sur IE St impose que S t i = S0 i exp s 2 t d i 2 + σ ij B j t, où B 1 t,...,b d t sont des mouvements brownien mutuellement indépendants sous IP. otons que la formule de parité call put prend maintenant la forme j=1 C 0 P 0 = n a i S0 i e rt K. i=1 4 Simulations On va appliquer la méthode de Monte Carlo au calcul du call dans le cas de l option panier présentée à la section précédente, avec n = 5, 5 80 3 a = 8 2, S 95 0 = 105, K = 2000, rt = 0, 05, 75 4 35 0, 3 0 0 0 0 0 0, 5 0 0 0 TΣ = 0 0 0, 4 0 0 0 0 0 0, 7 0. 0 0 0 0 0, 4 1 Calculer le prix du call en appliquant la méthode de Monte Carlo à la formule pour C 0 avec 1 000 tirages. On prendra soin d évaluer de façon approchée la variance de la v.a. dont on cherche à estimer l espérance, et on donnera un intervalle de confiance pour la quantité cherchée. 2 Faire le même calcul y compris l intervalle de confiance en combinant la même méthode appliquée à la formule pour le prix du put P 0 avec le même nombre de tirages, et la formule de parité call put. Comment les deux approches se comparent-elles? 9

5 Simulations en dimension 1 Le but est d appliquer la méthode de Monte Carlo au calcul du prix d une option d achat call européenne portant sur un sous jaçant dont le cours à l instant 0 est de 105e, au prix d exercice K = 110e, à échéance d un an, avec un taux bancaire à 5% i.e. rt = 0, 05, et une volatilité telle que σ T = 0, 3. 1 Calculer le prix du call en appliquant la méthode de Monte Carlo à la formule C 0 = IE [ ST Ke rt avec 1 000 tirages. On prendra soin d évaluer de façon approchée la variance de la v.a. dont on cherche à estimer l espérance, et on donnera un intervalle de confiance pour la quantité cherchée. 2 Faire le même calcul y compris l intervalle de confiance en combinant la même méthode appliquée à la formule pour le prix du put : [ Ke ] P 0 = IE rt S T, + avec le même nombre de tirages, et la formule de parité call put. 3 Calculer une troisième fois le prix de la même option d achat, en utilisant cette fois la formule + ], C 0 = S 0 Fd 1 Ke rt Fd 2, avec d 1 = 1 σ T log S0 + r T K σ + σ T 2, d 2 = 1 σ T log S0 + r T K σ σ T 2, et la fonction de répartition F de la 0, 1 fournie par Matlab. 4 Question subsidiaire Le prix du marché pour l option ci dessus étant de 15e, en déduire la volatilité implicite i.e. inverser la formule de Black Scholes en utilisant la méthode de ewton. 10

References [1] F. E. Benth : Option theory with stochastic analysis, Universitext, Springer, 2004. [2] D. Lamberton, B. Lapeyre : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Mathématiques et Applications 9, Ellipses, 1991. [3] M. Musiela, M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modeling : Theory and Application, Springer 1997. 11