INGE5: Mathématiques appliquées et optimisation Bernard Fortz 5-6 Table des matières I Introduction à la recherche opérationnelle Quelques exemples de modèles mathématiques Tour d horizon des techniques de recherche opérationnelle II Optimisation libre et sous contraintes 6 Optimisation libre dans R n 6. Définitions............................................... 6. Conditions du premier ordre..................................... 6. Conditions du second ordre...................................... 7. Maxima et minima globaux...................................... 9.5 Applications.............................................. 9 Optimisation sous contraintes. Introduction............................................... Problèmes de maximisation sous contraintes............................... Containtes prenant la forme d équations............................. Containtes prenant la forme d inéquations.......................... 6.. Containtes mixtes....................................... 8. Problèmes de minimisation sous contraintes............................. 9. Exemples et applications....................................... III Programmation linéaire 5 Introduction 5. Notions de bases........................................... 5. Exemples de modèles linéaires.................................... 5. Forme standard et forme canonique d un programme linéaire.................... 5 6 Résolution de programmes linéaires 7 6. Résolution graphique......................................... 7 6. La méthode du simplexe....................................... 9 6.. L algorithme de base..................................... 9 6.. La méthode des deux phases................................. 6.. Cas particuliers........................................
7 Dualité et analyse de sensibilité 7 7. Le problème dual........................................... 7 7. Relations primal/dual......................................... 8 7. Interprétation économique de la dualité............................... 9 7. Méthode simplexe duale....................................... 7.5 Analyse de sensibilité......................................... 8 Solveurs et langages de modélisation 7 Référence Hamdy A. Taha, Operations Research, an introduction, Prentice-Hall. Carl P. Simon, Lawrence Blume, Mathématiques pour économistes, De Boeck Université.
Première partie Introduction à la recherche opérationnelle Quelques exemples de modèles mathématiques Un premier problème Exemple (Achat de billets d avion). Un homme d affaires doit effectuer 5 voyages entre Fayetteville (FYV) à Denver (DEN), en partant le lundi de FYV et revenant le mercredi de DEN à FYV. Billet aller-retour : $. Réduction de % si un weekend est inclus. Aller simple : 75 % du prix aller-retour. Question Comment acheter les billets pour les 5 semaines (à prix minimum)? Aide à la décision Problème d aide à la décision. Quelles sont les alternatives possibles?. Quelles sont les restrictions à cette décision?. Quel est l objectif utilisé pour évaluer les alternatives? Restrictions FYV-DEN le lundi et DEN-FYV le mercredi de la même semaine. Evaluation des alternatives Alternatives Acheter 5 FYV-DEN-FYV normaux. 5 x $ = $ Acheter un FYV-DEN, DEN-FYV-DEN comprenant un weekend et un DEN-FYV..75 x $ + x.8 x $ +.75 x $ = $88 Acheter un FYV-DEN-FYV pour le lundi de la première semaine et le mercredi de la dernière semaine, et DEN-FYV-DEN comprenant un weekend pour les autres voyages. 5 x.8 x =6 La troisième alternative est la meilleure. Modèle de recherche opérationnelle Ingrédients principaux Alternatives (variables, inconnues du problème). Restrictions (contraintes). Fonction objectif à optimiser (minimiser ou maximiser). Définition (Solution admissible). Une solution admissible est un ensemble de valeurs données aux variables qui satisfait toutes les contraintes. Définition (Solution optimale). Une solution optimale est une solution admissible qui optimise la fonction objectif. Définition (Modèle de recherche opérationnelle). Maximiser ou minimiser (fonction objectif) Sujet à { contraintes } Variables : continues (réelles), entières, booléennes (/),... Objectif : linéaire / non-linéaire, concave / convexe,...
Contraintes : linéaire / non-linéaire, concave / convexe, égalités / inégalités,... Paramètres : connus avec certitude (modèles déterministes) / incertains (modèles stochastiques) Exemple 5 (Maximisation de la surface d un rectangle). Supposons que l on veut plier un fil de fer de longueur L en rectangle de manière à maximiser la surface du rectangle. l w Formulation max A = lw s.t. l + w = L Solution A = ( L w) w = Lw w da dw = L w = Solution optimale : w = l = L Méthodes de résolution Dans l exemple, solution analytique au problème. La plupart des problèmes pratiques sont trop grands ou trop complexes pour être résolus analytiquement. Méthodes itératives Déplacement de solution en solution pour atteindre l optimum (méthodes exactes) ou une "bonne" solution (heuristiques). Importance des algorithmes et des solutions informatiques. Tour d horizon des techniques de recherche opérationnelle Recherche opérationnelle La recherche opérationnelle est une technique d aide à la décision. Etapes pratiques. Définition du problème. Construction d un modèle. Solution du modèle. Validation du modèle 5. Implémentation de la solution Méthodologie Les étapes les plus importantes sont la définition du problème (suppose un dialogue avec le décideur) et la construction du modèle (prendre conscience des hypothèses simplificatrices et de leur impact). La phase de validation doit permettre de remettre en cause la validité du modèle. Une approche globale nécessite donc un aller-retour constant entre le modèle et les attentes du décideur. Techniques principales Programmation linéaire Programmation en nombres entiers Optimisation dans les réseaux
Programmation non linéaire "Optimisation" multi-critères Programmation dynamique Modèles stochastiques Simulation 5
Deuxième partie Optimisation libre et sous contraintes Optimisation libre dans R n. Définitions Optimisation à une variable 5 -x**-*x+ 5-5 - -5 - -5 - - Condition nécessaire Soit une fonction y = f(x) définie sur un intervalle U R. Si x est un minimum (maximum) intérieur de y = f(x), alors f (x ) = Conditions suffisantes Si f (x ) = et f (x ) > (f (x ) < ), x est un minimum (maximum) local strict de y = f(x). Si f (x ) = et f (x) (f (x ) ) pour tout x U, x est un minimum (maximum) global de y = f(x) sur U. Conditions similaires dans R n Maximum (et minimum) dans R n Soit F : U R une fonction de n variables réelles, avec U R n. Définition 6 (Maximum global, strict, local).. Un point x U est un maximum (global) de F sur U si F (x ) F (x) pour tout x U.. Un point x U est un maximum strict de F sur U si F (x ) > F (x) pour tout x U.. Un point x U est un maximum local (ou relatif) de F s il existe une sphère B r (x ) autour de x, tel que F (x ) F (x) pour tout x B r (x ) U.. Un point x U est un maximum local strict de F s il existe une sphère B r (x ) autour de x, tel que F (x ) > F (x) pour tout x x, x B r (x ) U. Les définitions de minimum, minimum strict, minimum local, minimum local strict sont similaires (changer et > en et <).. Conditions du premier ordre Point stationnaire et point intérieur Dans le cas à une variable, si x est un minimum ou un maximum de f, alors f (x ) =. Définition 7 (Point stationnaire). Soit F : U R une fonction de classe C définie sur U R n. Un point stationnaire de F est un point x tel que F x i (x ) = pour tout i =,..., n. Définition 8 (Point intérieur). x U est un point intérieur de U s il existe une sphère B r (x ) U. 6
Conditions du premier ordre Théorème 9 (Conditions du premier ordre). Soit F : U R une fonction de classe C de n variables réelles, avec U R n. Si x est un maximum local ou un minimum local de F sur U et si x est un point intérieur de U, alors x est un point stationnaire de F. Démonstration. (Cas du maximum uniquement) Soit B = B r (x ) U une sphère de centre x telle que F (x ) F (x) pour tout x B. x i doit aussi maximiser la fonction x i F (x,..., x i, x i, x i+,..., x n) pour tout x i ]x i r, x i + r[. Optimisation à une variable pour i =,... n : F x i (x ) = pour tout i =,..., n. 8 6 - - -6 - - 6 8-8 -6 - - Exemple (Conditions du premier ordre). x y + 9xy Conditions du premier ordre : F x = x + 9y = F y = y + 9x = Solutions : (, ) et (, ) Minimum, maximum???. Conditions du second ordre Matrice hessienne Définition (Matrice hessienne). Une fonction F : U R une fonction de classe C définie sur U R n admet en chaque point de son domaine de définition n dérivées partielles du second ordre. Ces dérivées peuvent être classés dans une matrice n n appelée matrice hessienne de la fonction F. D F (x) = Remarque : cette matrice est symétrique F x (x) F x n x (x)..... F x x n (x) F x n x n (x) 7
Conditions suffisantes Théorème (Conditions suffisantes du second ordre). Soit F : U R une fonction de classe C de n variables réelles, avec U R n un ensemble ouvert. Soit x un point stationnaire de F. Alors,. si la matrice hessienne D F (x ) est définie négative, x est un maximum local strict de F ;. si la matrice hessienne D F (x ) est définie positive, x est un minimum local strict de F ;. si la matrice hessienne D F (x ) est une matrice indéfinie, x n est ni un minimum local ni un maximum local de F ; Définition (Point-selle ou point-col). On appelle point-selle ou point-col de F un point stationnaire x tel que D F (x ) est une matrice indéfinie. Vérification du caractère défini positif/négatif : Si x est un point stationnaire de F :. Si les n mineurs diagonaux principaux de D F (x ) alternent en signe, le premier étant négatif, F xx <, F x x F xx F xx F xx >, F xx F xx F xx F xx F xx F xx F xx F xx F xx <,... alors x est un maximum local strict de F.. Si les n mineurs diagonaux principaux de D F (x ) sont tous positifs, F xx >, F x x F xx F xx F xx >, F xx F xx F xx F xx F xx F xx F xx F xx F xx >,... alors x est un minimum local strict de F.. Sinon, x est un point-selle de F. Conditions nécessaires Théorème (Conditions nécessaires du second ordre). Soit F : U R une fonction de classe C de n variables réelles, et x un point intérieur de U.. Si x est un minimum local de F, alors ( F/ x i )(x ) = pour tout i =,..., n ; de plus, tous les mineurs principaux de la matrice D F (x ) sont.. Si x est un maximum local de F, alors ( F/ x i )(x ) = pour tout i =,..., n ; de plus, tous les mineurs principaux de la matrice D F (x ) d ordre impair sont et tous les mineurs principaux d ordre pair sont. 8 6 - - -6 - - 6 8-8 -6 - - Exemple 5 (Conditions du second ordre). x y + 9xy Points stationnaures : (, ) et (, ) Matrice hessienne : ( ) ( Fxx F yx 6x 9 = F yx F yy 9 6y ) 8
Mineurs principaux diagonaux : (, ) : point-selle, (, ) : minimum local strict. F xx = 6x et det D F (x) = 6xy 8 F xx (, ) = et det D F (, ) = 8 F xx (, ) = 8 et det D F (, ) = Notons que (, ) ne constitue pas un minimum global de F car la fonction F au point (, n) vaut F (, n) = n et elle tend vers lorsque n tend vers +.. Maxima et minima globaux Optimisation à une variable Soit une fonction y = f(x) définie sur un intervalle U R, et soit x un point stationnaire de f. x constitue un maximum global de f sur U si. x est un maximum local de f et c est le seul point stationnaire de f dans U, ou. f sur tout U (i.e. f est concave sur U). La condition. n est pas vraie dans le cas multivarié Maximum global de fonctions concaves Equivalent de f pour une fonction de n variables : D F (x) semi-définie négative. Théorème 6 (Critères de maxima globaux). Soit F : U R une fonction de classe C de n variables réelles, avec U R n un ensemble ouvert convexe.. Les trois conditions suivantes sont équivalentes : (a) F est une fonction concave sur U. (b) F (y) F (x) DF (x)(y x) pour tout (x, y) U. (c) D F (x) est semi-définie négative pour tout x U.. Si F est une fonction concave sur U et s il existe un point x de U tel que DF (x ) = alors x est un maximum global de F sur U. Minimum global de fonctions convexes Equivalent de f pour une fonction de n variables : D F (x) semi-définie positive. Théorème 7 (Critères de minima globaux). Soit F : U R une fonction de classe C de n variables réelles, avec U R n un ensemble ouvert convexe.. Les trois conditions suivantes sont équivalentes : (a) F est une fonction convexe sur U. (b) F (y) F (x) DF (x)(y x) pour tout (x, y) U. (c) D F (x) est semi-définie positive pour tout x U.. Si F est une fonction convexe sur U et s il existe un point x de U tel que DF (x ) = alors x est un minimum global de F sur U..5 Applications Maximisation du profit Firme cherchant à maximiser son profit en produisant un bien unique à partir de n inputs. Combinaison de facteurs x R n +, production y = G(x) continûment différentiable, prix de vente unitaire p et coût C(x) associé à l emploi de la combinaison de facteurs x. Recette : R(X) = pg(x), profit : F (x) = R(x) C(x). 9
Supposons que R et C soient tels qu à l optimum la firme utilise un montant strictement positif de chaque facteur x est un point intérieur. Conditions de premier ordre : = F (x ) = R (x ) C (x ) x i x i x i A l optimum, la recette marginale associée à l utilisation d une unité supplémentaire de facteur i est égale au coût marginal associé à l utilisation de cette même unité. Si coût unitaire w i de chaque facteur i constant : C(x) = w x +... w n x n, pour tout i =,..., n. Monopole discriminant R (x ) = p G (x ) = w i G (x ) = w i x i x i x i p Un monopole intervient sur deux marchés distincts et séparés (e.g. national et étranger) Fonction de demande inverse : P i = G i (Q i ), avec Q i le niveau de production sur le marché i (i =, ). Recette : Q G (Q ) + Q G (Q ). Si une seule usine, les coûts dépendent du niveau de production totale Q = Q + Q. Fonction de coût C(Q + Q ). Profit : F (Q, Q ) = Q G (Q ) + Q G (Q ) C(Q + Q ). Conditions de premier ordre (si Q > et Q > ) : ou = F Q = d(qg(q)) dq C (Q + Q ) = F Q = d(qg(q)) dq C (Q + Q ) d(q G (Q )) dq = d(qg(q)) dq = C (Q + Q ) A l optimum, la recette marginale sur chaque marché doit être égale au coût marginal de la production totale. Méthode des moindres carrés Etude de données tirées d observations ou d expériences : recherche d un graphe linéaire représentant au mieux ces données. Supposons que chaque observation est représentée par un point (x i, y i ) R. Deux données : droite unique. Trois données ou plus : il est peu probable que toutes les observations s alignent exactement le long d une seule droite. Recherche d une droite qui ajusterait au mieux ces données. n couples de données (x, y ),..., (x n, y n ). Pour toute droite y = mx + b, il est possible de calculer les distances verticales entre chaque point et la droite. (x, y ) (x, mx + b) (x, mx + b) (x, mx + b) (x, y ) (x, y ) Distance entre x i, y i et la droite : y i (mx i + b). Distance agrégée : (fonction de m et de b) S(m, b) = n (mx i + b y i ) i=
Conditions de premier ordre : S m = n i= (mx i + b y i )x i = S b = n i= (mx i + b y i ) = Ces équations peuvent se réécrire : ( n ) n i= x i m+ ( i= x i) b = n i= x iy i ( n i= x i) m+ nb = n i= y i Solution : m = n n i= x iy i ( n i= x i)( n i= y i) n n i= x i ( n i= x i) b = ( n i= x i )( n i= y i) ( n i= x i)( n i= x iy i ) n n i= x i ( n i= x i) Définition 8 (Droite de régression). La méthode décrite s appelle méthode des moindres carrés et la droite y = m x + b, droite de régression. Exemple 9 (Méthode des moindres carrés). Droite qui passe au mieux par (, ), (, ), (, ), (, ) et (5, )? i x i y i x i y i x i 9 9 8 6 9 5 5 5 5 59 m = b = 5 5 5 59 5 5 = 5 7 59 5 5 59 5 5 = 9 7 y = 5 7 x + 9 7 ou 5x + 7y = 9 Optimisation sous contraintes. Introduction Forme générale f : fonction objectif. max f(x,..., x n ) sous les contraintes g (x,..., x n ) b... g k (x,..., x n ) b k h (x,..., x n ) = c... h m (x,..., x n ) = c m
g, h : fonctions contrainte. g j définissent des contraintes en inéquation. h i définissent des contraintes en équation. Non négativité (x i ) éventuellement contenues dans les inéquations g j (x,..., x n ) b j. Exemple (Problème du consommateur). x i : quantité consommée d un bien i ( i n). U(x,..., x n ) : indice de satisfaction lié à la consommation de x unités du bien, x unités du bien,... p i : prix du bien i. l : revenu du consommateur. max U(x,..., x n ) n sous les contraintes p i x i I, i= x i i =,..., n Exemple (Détermination de l offre de travail). x i : quantité consommée d un bien i, p i : prix du bien i ( i n) Taux de salaire horaire w, revenu non salarial I. l temps consacré au travail, l temps consacré aux loisirs. U(x,..., x n, l ) : indice de satisfaction lié à la consommation de x unités du bien, x unités du bien,...et à l heures de loisirs. max U(x,..., x n, l ) n sous les contraintes p i x i I + wl, i= l + l = x i l, l i =,..., n Exemple (Maximisation du profit pour une entreprise). Entreprise utilisant n facteurs pour la production d un seul bien. y : quantité de ce bien, x i : quantité des facteurs avec y = f(x,..., x n ) la fonction de production donnant la quantité maximale produite à partir de (x,..., x n ). p : prix de vente d une unité du bien, w i : prix d achat d une unité du facteur i, g j (x,..., x n ) b j, j =,..., k : contraintes sur les ressources disponibles (stocks,...). max Π(x,..., x n ) = sous les contraintes n pf(x,..., x n ) w i x i pf(x,..., x n ) i= n w i x i i= g j (x,..., x n ) b j x i j =,..., k i =,..., n. Problèmes de maximisation sous contraintes.. Containtes prenant la forme d équations Cas à deux variables et une contrainte en équation Problème étudié max f(x, x ) s.c. h(x, x ) = c
A titre d exemple, maximisation de l utilité d un consommateur portant sur deux produits, en négligeant les containtes de non-négativité, et en supposant que tout le budget disponible est dépensé. Dans ce cas : h(x, x ) = p x + p x et c = I. Résolution géométrique b x* C = {(x, x ) R : h(x, x ) = c}. Objectif : trouver la courbe de niveau correspondant à la valeur la plus élevée et rencontrant le graphe de la contrainte. Cette courbe de niveau ne peut pas couper C (sinon il existe une courbe de niveau plus élevée : cf. point b). La courbe de niveau à valeur maximale doit donc être tangente à la courbe C (comme au point x ). Les deux courbes sont tangentes au point x si leurs pentes sont égales en ce point. Pente de la courbe de niveau de f : f x (x )/ f x (x ). Pente de C : h x (x )/ h x (x ). f x (x ) f x (x ) Ces équations peuvent être réécrites : = h x (x ) h x (x ) ou C f x (x ) h x (x ) = f (x ) µ h (x ) x x =, f (x ) µ h (x ) x x =. Système de équations à inconnues (x, x, µ). En ajoutant la contrainte h(x, x ) = c, on obtient un système de équations à inconnues définissant l optimum : f (x, x ) µ h (x, x ) x x =, f (x, x ) µ h (x, x ) x x =, h(x, x ) c =. f x (x ) h x (x ) = µ Ces contraintes sont les conditions de premier ordre pour l optimisation (sans contraintes) de la fontion à variables L(x, x, µ) = f(x, x ) µ(h(x, x ) c).
Lagrangien Définition (Lagrangien). La fonction de Lagrange ou Lagrangien associée au problème est La variable µ est appelée multiplicateur de Lagrange. max f(x, x ) s.c. h(x, x ) = c L(x, x, µ) = f(x, x ) µ(h(x, x ) c). Le multiplicateur µ peut être interprété économiquement comme la valeur de la ressource associée à la contrainte. Pour que le raisonnement ait du sens, il faut que h x (x ) ou h x (x ) (condition de qualification de la contrainte). Théorème (Optimisation à deux variables et une contrainte en équation). Soient f et h deux fonctions continûment différentiables de deux variables. Supposons que x = (x, x ) soit la solution du problème : max f(x, x ) s.c. h(x, x ) = c Supposons de plus que (x, x ) ne soit pas un point stationnaire de la fonction h. Alors, il existe un réel µ tel que (x, x, µ ) est un point stationnaire du Lagrangien L(x, x, µ) = f(x, x ) µ(h(x, x ) c). Remarque : cette condition du premier ordre ne permet pas de distinguer minimum et maximum. Exemple 5 (Lagrangien ). Considérons le problème défini par f(x, x ) = x x, h(x, x ) = x + x, c = 6 : max x x s.c. x + x = 6. h n admet pas de point stationnaire (fonction linéaire), donc la condition de qualification est satisfaite. L(x, x, µ) = x x µ(x + x 6), Point candidat à la solution : x = 8, x =, µ =. L x = x µ = L x = x µ = L µ = (x + x 6) = Exemple 6 (Lagrangien ). Considérons le problème défini par f(x, x ) = x x, h(x, x ) = x + x, c = : max x x s.c. x + x =. h admet un point stationnaire (, ), mais ce point n appartient pas à l ensemble réalisable, donc la condition de qualification est satisfaite. L(x, x, µ) = x x µ(x + x ), L x = x x µx = L x = x µx = L µ = (x + x ) = De la première contrainte, on déduit x = ou x = µ. Si x =, alors x = ± et µ =. Si x, x == µ, on obtient x = x et x =. Donc x = ± et x = ±. Si x =, µ =.5 et si x =, µ =.5. Points candidats : (,, ), (,, ), (,,.5), (,,.5), (,,.5) et (,,.5) En comparant les fonctions objectifs, on voit que la fonction est maximisée en (, ) et (, ).
Cas de plusieurs contraintes en équation Problème étudié max f(x,..., x n ) s.c. h (x,..., x n ) = a. h m (x,..., x n ) = a m Notation : C h = {(x,..., x n ) : h (x..., x n ) = a,..., h m (x,..., x n ) = a m }. Nous devons généraliser la condition de qualification ( h (x ), h ) (x ) (, ). x x Matrice jacobienne Matrice jacobienne des fonctions contraintes : Dh(x ) = h h x (x )... x n (x ) h x (x h )... x n (x )..... h m x (x h )... m x n (x ) Un vecteur x est un point stationnaire de h = (h,..., h m ) si le rang de la matrice Dh(x ) est strictement inférieur à m. Les fonctions (h,..., h m ) satisfont la condition de qualification non dégénérée (CQND) si le rang de leur matrice jacobienne en x, Dh(x ), est égal à m. Théorème 7 (Optimisation à plusieurs variables et contraintes en équation). Soient f, h,..., h m des fonctions continûment différentiables de n variables. Supposons qu on cherche à maximiser (ou minimiser) la fonction f(x) sur un ensemble de réalisables défini par : C h = {(x,..., x n ) : h (x..., x n ) = a,..., h m (x,..., x n ) = a m }. Supposons que le point x C h constitue un maximum ou un minimum local de f sur C h, et que x satisfait la CQND. Alors, il existe des réels µ,..., µ m tels que (x,..., x n, µ,..., µ m) = (x, µ ) soit un point stationnaire du Lagrangien m L(x, µ) = f(x) µ i (h i (x) a i ). i= Exemple 8 (Lagrangien - plusieurs contraintes en équation). Considérons le problème max f(x) = xyz s.c. h (x, y, z) = x + y = h (x, y, z) = x + z = 5
Matrice jacobienne des contraintes Dh(x, y, z) = ( x y ). Rang < si et seulement x = y = (non réalisable) CQND satisfaite. Lagrangien : L(x, y, z, µ, µ ) = xyz µ (x + y ) µ (x + z ). Maximum : (.7676,.69,.7676)... Containtes prenant la forme d inéquations Cas à deux variables et une contrainte en inéquation Problème étudié max f(x, y) s.c. g(x, y) b g(x*) x* f(x*) g(x,y)=b Le point x (maximum) se trouve sur la frontière de g(x, y) b) (contrainte saturée, active ou serrée). Les courbes de niveau de f et g sont tangentes ; f(x ) et g(x ) sont alignés : f(x ) λ g(x ) =. Lagrangien généralisé Le signe du multiplicateur joue maintenant un rôle important. f(x ) indique la direction dans laquelle f augmente le plus rapidement au point x. Si x maximise la fonction, ce gradient ne peut donc pas s orienter vers le domaine réalisable. Il faut donc que λ. Lagrangien généralisé : L(x, y, λ) = f(x, y) λ(g(x, y) b). Il faut que Le cas de L λ sera étudié plus loin. Contrainte non saturée à l optimum L x (x ) = L y (x ) =. 6
r f(r) g(r) q g(x,y)=b Supposons que le maximum de f se produise en un point q où g(x, y) < b. Il existe un point r tel que les courbes de niveau de f et g sont tangentes, i.e. f(r) = λ g(r), mais λ <. Par contre, q est un maximum local non contraint de f, donc De plus, g(q) b. f f (q) = (q) =. x y Complémentarité Nous pouvons utiliser le Lagrangien généralisé et annuler L x En résumé : soit la contrainte est saturée et λ, soit la contrainte est non saturée et λ =. Relation de complémentarité : λ (g(x, y) b) =. et L y pourvu que λ =. Théorème 9 (Optimisation à deux variables et une contrainte en inéquation). Soient f et g deux fonctions continûment différentiables de deux variables. Supposons que x = (x, y ) maximise f sur le domaine défini par g(x, y) b. Si g(x, y ) = b, supposons de plus que (x, y ) ne soit pas un point stationnaire de la fonction g. Alors, il existe un réel λ tel le Lagrangien généralisé et x, y, λ satisfont :. L x (x, y, λ ) =,. L y (x, y, λ ) =,. λ (g(x, y ) b) =,. λ, 5. g(x, y ) b. Cas de plusieurs contraintes en inéquation Problème étudié L(x, y, λ) = f(x, y) λ(g(x, y) b) max f(x,..., x n ) s.c. g (x,..., x n ) b. g k (x,..., x n ) b k 7
Condition de qualification non dégénérée Sans perte de généralité, supposons que les k premières contraintes soient saturées en x et que les k k dernières ne le soient pas. Les fonctions (g,..., g k ) satisfont la condition de qualification non dégénérée (CQND) si le rang de la matrice jacobienne des contraintes saturées en x, g x (x g )... x n (x ) g x (x g )... x n (x )..... est égal à k. g k x (x )... g k x n (x ) Théorème (Conditions de Kuhn et Tucker). Soient f, g,..., g k des fonctions continûment différentiables de n variables. Soit x R n un maximum local de f sur un ensemble de réalisables défini par : Supposons que la CQND soit satisfaite. Considérons le Lagrangien généralisé g (x..., x n ) b,..., g k (x,..., x n ) b k. L(x,..., x m, λ,..., λ k ) = f(x ) Alors, il existe k multiplicateurs réels λ,..., λ k tels que : L. x i (x, λ ) =, pour i =,... n,. λ j (g j(x ) b j ) =, pour j =,..., k,. λ j, pour j =,..., k,. g j (x ) b j, pour j =,..., k... Containtes mixtes Problème étudié max f(x,..., x n ) k λ j (g j (x ) b j ). j= s.c. g (x,..., x n ) b... g k (x,..., x n ) b k h (x,..., x n ) = c... h m (x,..., x n ) = c m Condition de qualification non dégénérée Sans perte de généralité, supposons que les k premières contraintes en inéquations soient saturées en x et que les k k dernières ne le soient pas. Les fonctions (g,..., g k, ) satisfont la condition de qualification non dégénérée (CQND) si le rang de la matrice jacobienne des contraintes en inéquation saturées et des contraintes en équation en x, g x (x g )... x n (x )..... g k x (x g )... k x n (x ) h x (x h )... x n (x )..... h m x (x )... 8 h m x n (x )
est égal à k + m. Théorème (Maximisation sous contraintes mixtes). Soient f, g,..., g k, h,..., h m des fonctions continûment différentiables de n variables. Soit x R n un maximum local de f sur un ensemble de réalisables défini par Supposons que la CQND soit satisfaite. Considérons le Lagrangien généralisé g (x..., x n ) b,..., g k (x,..., x n ) b k, h (x..., x n ) = c,..., h m (x,..., x n ) = c k L(x,..., x m, λ,..., λ k, µ,..., µ m ) k m = f(x ) λ j (g j (x ) b j ) µ i (h i (x ) c i ) Alors, il existe k + m multiplicateurs réels λ,..., λ k, µ,..., µ m tels que : L. x i (x, λ, µ ) =, pour i =,... n,. λ j (g j(x ) b j ) =, pour j =,..., k,. h i (x ) = c i, pour i =,..., m,. λ j, pour j =,..., k, 5. g j (x ) b j, pour j =,..., k. j=. Problèmes de minimisation sous contraintes Contraintes en équations : caractérisation du premier ordre d un minimum identique à la caractérisation du premier ordre d un maximum. Pour des contraintes en inéquations, le raisonnement géométrique précédent appliqué à un minimum nous aurait amené à écrire un Lagrangien généralisé dans lequels les multiplicateurs sont négatifs ou nuls. Autre approche : écrire les contraintes en inéquations sous la forme g(x) b. Avantages : approche plus intuitive, dualité. Problème étudié min f(x,..., x n ) i= s.c. g (x,..., x n ) b... g k (x,..., x n ) b k h (x,..., x n ) = c... h m (x,..., x n ) = c m Condition de qualification non dégénérée Sans perte de généralité, supposons que les k premières contraintes en inéquations soient saturées en x et que les k k dernières ne le soient pas. Les fonctions (g,..., g k, ) satisfont la condition de qualification non dégénérée (CQND) si le rang de la matrice jacobienne des contraintes en inéquation saturées et des contraintes en équation en x, g x (x g )... x n (x )..... g k x (x g )... k x n (x ) h x (x h )... x n (x ). est égal à k + m. h m x (x )....... h m x n (x ) 9
Théorème (Minimisation sous contraintes mixtes). Soient f, g,..., g k, h,..., h m des fonctions continûment différentiables de n variables. Soit x R n un minimum local de f sur un ensemble de réalisables défini par Supposons que la CQND soit satisfaite. Considérons le Lagrangien généralisé g (x..., x n ) b,..., g k (x,..., x n ) b k, h (x..., x n ) = c,..., h m (x,..., x n ) = c k L(x,..., x m, λ,..., λ k, µ,..., µ m ) k m = f(x ) λ j (g j (x ) b j ) µ i (h i (x ) c i ) Alors, il existe k + m multiplicateurs réels λ,..., λ k, µ,..., µ m tels que : j=. L x i (x, λ, µ ) =, pour i =,... n,. λ j (g j(x ) b j ) =, pour j =,..., k,. h i (x ) = c i, pour i =,..., m,. λ j, pour j =,..., k, 5. g j (x ) b j, pour j =,..., k. i=
. Exemples et applications Détermination d un programme publicitaire Firme voulant maximiser son chiffre d affaire sous la contrainte d un niveau de profit minimal. Fonction de recette R(y, a) dépendant du niveau de production y et d un certain volume de publicité a R, avec R a >. Coût associé à la production de y unités : C(y). Coût unitaire de publicité fixé à. Le problème s écrit : max R(y, a) s.c. Π(y, a) R(y, a) C(y) a m a. Supposons que la solution optimale est (y, a ) avec y > et vérifie la CQND. Lagrangien généralisé : Conditions du premier ordre : L(y, a, λ, λ ) = R(y, a) + λ a λ (m R(y, a) + C(y) + a). L y = ( + λ ) R y λ C (y) =, L a = ( + λ ) R a + λ λ =, λ a = et λ (m R(y, a) + C(y) + a) =. R a > et λ λ λ <. Comme λ, λ >. La contrainte de profit minimal est donc saturée et Π(y, a ) = m. La recette marginale R y doit être strictement positive à l optimum. On peut également déduire que le profit marginal π y est négatif à l optimum. Le niveau de production y est donc plus élevé à l optimum que celui d une firme qui maximise son profit. L effet Averch-Johnson Analyse de l effet sur une firme d une mesure imposée par les pouvoirs publics : fixation d une contrainte de taux équitable. Firme en monopole, utilisant deux facteurs de production (travail et capital) pour produire un unique bien. Fonction de production y = f(x, x ) avec y quantité produite, x quantité de travail, x quantité de capital. Ces deux facteurs sont essentiels, i.e. une production strictement positive nécessite des quantités strictement positives de capital et de travail. Recette R(y) = p(y)y avec p(y) la fonction de demande inverse ; c : coût d acquisition d une unité de capital ; r : coût d entretien d une unité de capital ; r : taux de salaire. Masse salariale : r x. Valeur du capital : c x. Taux de rendement du capital : (R(y) r x )/c x. Mesure de politique économique envisagée : Normalisation : c =. Problème de maximisation du profit : Notation : R (x, x ) = R(f(x, x )). Lagrangien généralisé : R(y) r x c x s. max π = R(f(x, x )) r x r x s.c. π = R(f(x, x )) r x s x x, x. L = R (x, x ) r x r x λ(r (x, x ) r x s x ) + ν x + ν x.
En supposant la CQND satisfaite, il doit exister à l optimum λ, ν, ν tels que L x = ( λ) R x r + λs + ν = L x = ( λ) R x ( λ)r + ν = λ(r (x, x ) r x s x ) =, ν x =, ν x =. On peut montrer que : Pour que le profit de la firme soit positif, il faut s > r. Donc si s > r, x >, x >, ν = ν =. λ <. Le niveau optimal de l emploi est tel que la recette marginale du travail est égale au taux de salaire : (p(y)y) x = r. La condition est donc la même que sans mesure gouvernementale. Si la contrainte de régulation est saturée, r > (p(y)y) x, i.e. le coût marginal d une unité de capital à l optimum est supérieur à sa recette marginale. La contrainte de régulation se traduit donc par une mauvaise allocation des ressources.
Troisième partie Programmation linéaire 5 Introduction 5. Notions de bases Programmation linéaire Définition (Programme linéaire). Modèle mathématique dans lequel la fonction objectif et les contraintes sont linéaires en les variables. Applications Optimisation de l usage de ressources limitées dans les domaines militaire, industriel, agricole, économique,... Existence d algorithmes très efficaces pour résoudre des problèmes de très grande taille (simplexe, points intérieurs) 5. Exemples de modèles linéaires Exemple (Production de peinture). Une société produit de la peinture d intérieur et d extérieur à partir de deux produits de base M et M. Données Quantité utilisée par tonne Quantité disponible par jour Extérieure Intérieure M 6 M 6 Profit par tonne 5 Contraintes supplémentaires Demande maximum en peinture d intérieur : tonnes / jour. La production en peinture d intérieur ne dépasser que d une tonne celle d extérieur. Formulation (Production de peinture) Alternatives (variables, inconnues du problème) x = tonnes de peinture d extérieur produites par jour x = tonnes de peinture d intérieur produites par jour Fonction objectif à optimiser max z = 5x + x Restrictions (contraintes)
6x + x x + x 6 x x x x, x Solutions et méthodes de résolution Solution admissible : satisfait toutes les contraintes. x =, x = ( z = 9) Nous voulons trouver la solution (admissible) optimale. Infinité de solutions admissibles! Méthodes pour trouver l optimum Méthode graphique Simplexe ( Ellipsoide, points intérieurs ) Exemple 5 (Diet problem). Une personne doit décider de son régime alimentaire. Elle a le choix entre deux types d aliments (maïs, fèves) à mélanger pour un repas. La quantité nécessaire par jour est de g. Le régime stipule que la personne doit manger au moins % de protéines et au plus 5% de fibres. Données Quantité par gramme d aliment Coût Aliment Protéines Fibres (EUR / kg) Maïs.9..5 Fèves.6.6.5 Formulation (Diet problem) Variables x = grammes de maïs par repas x = grammes de fèves par repas Objectif min z =.5x +.5x Contraintes Quantité totale : x + x Protéines :.9x +.6x.(x + x ) Fibres :.x +.6x.5(x + x ) Non-négativité : x, x
5. Forme standard et forme canonique d un programme linéaire Forme standard Définition 6 (Forme standard). Un programme linéaire est sous forme standard lorsque toutes ses contraintes sont des égalités et toutes ses variables sont non-négatives. Représentation matricielle max s.c. c T x Ax = b x n variables, m contraintes, m < n, c, x R n, b R m, A R m n. Forme canonique Définition 7 (Forme canonique). Un programme linéaire est sous forme canonique lorsque toutes ses contraintes sont des inégalités et toutes ses variables sont non-négatives. Représentation matricielle max s.t. c T x Ax b x n variables, m contraintes, c, x R n, b R m, A R m n. Théorème 8 (Equivalence des formes standard et canonique). Tout programme linéaire peut s écrire sous forme standard et sous forme canonique. Démonstration. Une containte d inégalité a T x b peut être transformée en égalité par l introduction d une variable d écart : a T x + s = b, s. Une contrainte d égalité a T x = b peut être remplacée par deux inégalités : a T x b a T x b a T x b a T x b. min c T x = max c T x. Variable x non restreinte : substitution par deux variables (partie positive et négative) x = x + x x +, x. Il existe toujours une solution optimale telle que x + = ou x =. 5
Forme standard du problème de production de peinture max z = 5x + x s.c.6x + x x + x 6 x x x x, x Forme standard max z = 5x +x s.c. 6x +x +s = x +x +s = 6 x +s = x +x +s = x, x, s, s, s, s Forme matricielle max s.t. c T x Ax = b x c = 5, x = x x s s s s, A = 6, b = 6 Variables pouvant prendre des valeurs négatives Exemple 9 (Vente de hamburgers). Un fast-food vend des hamburgers et des cheeseburgers. Un hamburger utilise 5 g. de viande alors qu un cheeseburger n en utilise que g. Le fast-food démarre chaque journée avec kg de viande mais peut commander de la viande supplémentaire avec un coût additionnel de EUR par kg pour la livraison. Le profit est de. EUR pour un hamburger et.5 EUR pour un cheeseburger. La demande ne dépasse pas 9 sandwiches / jour, et les surplus de viande sont donnés au Restos du Coeur. Combien le fast-food doit-il produire de sandwiches de chaque type par jour? Variables x = nombre de hamburgers / jour x = nombre de cheeseburgers / jour Contraintes Commande de viande supplémentaire : 5x + x + x =, x non restreint Le coût pour la viande supplémentaire apparaît seulement si x <. 6
Substitution de x par variables non-négatives : x = x + x, x+, x 5x + x + x + x = Borne supérieure sur les ventes : x + x 9. Modèle complet max z =.x +.5x.x s.c. 5x + x + x + x = x + x 9 x, x, x +, x Rappel : Il existe une solution optimale telle que x + = ou x =. 6 Résolution de programmes linéaires 6. Résolution graphique Représentation graphique (5) () () () () (6) Production de peinture max z = 5x + x sous les contraintes : 6x + x () x + x 6 () x () x x () x (5) x (6) 7
Géométrie des solutions B A C D z= E F Ensemble des solutions admissibles Polyèdre (ABCDEF) Courbes de niveaux de l objectif Ensemble de solutions ayant un profit (valeur de l objectif) donné : intersection entre une droite et le polyèdre. Amélioration de la solution Recherche d une direction dans laquelle le profit z augmente. Résolution graphique (Production de peinture) z= B A C D E F Recherche de la solution optimale La droite mobile doit garder une intersection avec l ensemble des solutions admissibles. Solution optimale : x =, x =.5 (E) La solution optimale est un sommet du polyèdre. Cette observation est la base de l algorithme du simplexe. 8
Résolution graphique (Diet problem) Diet problem min z =.5x +.5x sous les contraintes x + x.x.x.x.x x x Solution optimale x = 7 5. x = 8 86 6.7 z = 7 7.9 6. La méthode du simplexe 6.. L algorithme de base Idées de base Solution optimale : sommet (point extrême). Idée fondamentale du simplexe : déplacement de sommet en sommet adjacent de manière à améliorer la fonction objectif. Transformation des inégalités en égalités : forme standard du programme linéaire - système de m équations à n inconnues (m < n). Identification algébrique des sommets : correspondance avec les bases d un système d équations. Solutions de base Système de m équations linéaires à n inconnues (m < n) : infinité de solutions. Si on fixe à zéro n m variables : système de m équations à m inconnues possédant une solution unique (si la matrice est inversible). C est une solution de base. Définition (Solution de base). Une solution de base d un programme linéaire est la solution unique du système de m équations à m inconnues obtenu en fixant à zéro n m variables (pourvu que la matrice du système soit inversible). Les variables fixées à zéro sont appelées variables hors base et les autres variables en base. 9
Exemple (Production de peinture). Prenons B = {s, s, s, s }. z = +5x +x s = 6x x s = 6 x x s = x s = +x x Si x = x =, alors s =, s = 6, s =, s =. Toutes ces valeurs sont non-négatives et la solution est réalisable. Définition (Solution de base réalisable). Une solution de base telle que toutes les variables prennent des valeurs non-négatives est appelée solution de base réalisable. Géométrie des solutions de base B A C D E F Prenons B = {s, s, s, s } x = x =, s =, s = 6, s =, s =. Cette solution de base réalisable correspond au sommet (, ). Base Solution Objectif Sommet {s, s, s, s } (, ) A {x, s, s, s } (, ) F {s, x, s, s } (6, ) Non réalisable {x, x, s, s } (,.5) E Théorème. Toute solution de base réalisable correspond à un sommet du polyèdre. Détermination de la solution de base optimale n! Nombre maximum de solutions de base : m!(n m)! Algorithme "bête et méchant" : énumération de toutes les bases. Méthode du simplexe : partir d une solution de base admissible et passer à une solution de base voisine qui améliore la valeur de l objectif. Solution voisine : changement d une variable en base. etapes :. Détermination de la variable entrante.. Détermination de la variable sortante.. Pivotage. L algorithme du simplexe Variable entrante z = +5x +x s = 6x x s = 6 x x s = x s = +x x Si x (ou x ) augmente (entre en base), la valeur de la fonction objectif z augmente. Quelle est la valeur maximale de x?
Contraintes : les autres variables doivent rester positives. Variable sortante s = 6x x s = 6 x x 6 s = toujours! s = +x x toujours! x Pivotage Si x =, alors s =. x entre en base, s sort de la base. Substitution : x = 6 s x Nouveau système : z = 5 6 s + x x = 6 s x s = + 6 s x s = x s = 5 6 s 5 x Représentation matricielle (dictionnaire) B = indices des variables en base, N = indices des variables hors base. Décomposition des données et variables (en réarrangeant l ordre des variables) : A = ( ( ) ( ) ) xb cb A B A N, x =, c = x N c N avec x B, c B R m, x N, c N R n m, A B R m m, A N R m (m n). Equations du simplexe Si A B est inversible : Ax = b A B x B + A N x N = b x B + A B A N x N = A B b Notation : z = c T x = c T Bx B + CN T x N = c T B(A B b A B A Nx N ) + c T Nx N = c T BA B b + (ct N c T BA B A N) }{{} coûts réduits ou profits marginaux x l + k N a lk x k = b l l B x N z = z + k N c k x k
Règles de pivotage Variable entrante Choisir la variable k hors base avec le profit marginal maximum (max z) ou le coût réduit minimum (min z). max z k = arg max i i N min z k = arg min i i N Si c k (max) ou c k (min) pour tout k N, solution optimale, STOP. z +5x +x = s +6x +x = s +x +x = 6 s +x = s x +x = Variable sortante Choisir la variable l en base telle que l = arg Si a lk pour tout l B, problème non borné, STOP. min b j j B:a jk > a jk z +5x +x = s +6x +x = s +x +x = 6 s +x = s x +x = Pivotage a ij = b i = a lj a lk a ij a ika lj a lk b l a lk b i a ikb l a lk i = l i l i = l i l z +5x +x = s +6x +x = s +x +x = 6 s +x = s x +x = z 5 6 s + x = x + 6 s + x = s 6 s + x = s +x = s + 6 s + 5 x = 5 z s s = x + s s = x 8 s + s = s + 8 s s = s + 8 s 5 s = 5
Présentation en tableau Présentation compacte pour effectuer les calculs sans répéter les systèmes d équations. Itération Var. en base z x Solution z c T c T A B A = c ct B A x B A B A = a A B b B b Var. en base z x x s s s s Solution z 5 s 6 s 6 s s Itération Var. en base z x x s s s s Solution z 5 6 x 6 s 6 s s 5 6 5 Itération Var. en base z x x s s s s Solution z x x 8 s 8 s 8 5 5 6.. La méthode des deux phases Solution initiale artificielle Une solution de base admissible n est pas toujours connue a priori. Certains problèmes n admettent pas de solution admissible, donc il est impossible de trouver une base de départ. La méthode des deux phases va permettre de déterminer une base admissible ou prouver que le problème est impossible. Exemple (Méthode des phase). min z = x +x s.c. x +x = x +x 6 x +x x, x
Introduction des variables d écart min z = x +x s.c. x +x = x +x x = 6 x +x +x = x, x, x, x Pas de base admissible "triviale". On voudrait voir apparaître une matrice identité. Introduction de variables artificielles. Introduction des variables artificielles min z = x +x min r = R +R min r = 7x x +x +9 s.c. x +x +R = x +x x +R = 6 x +x +x = x, x, x, R, R, x R, R et x peuvent être utilisées comme base de départ admissible. Base pour le système de départ si R = R = (hors base). Réécrire l objectif en fonction des variables hors base! 6.. Cas particuliers Bases dégénérées Si plusieurs choix sont possibles pour la variable sortante, une des variables en base sera nulle à l itération suivante. Base telle qu une variable en base est nulle : base dégénérée. Correspond à une contrainte redondante. Risque de cyclage! Exemple 5 (Bases dégénérées). max z = x +9x s.c. x +x 8 x +x x, x
Var. en base z x x s s Solution z 9 s 8 s z 9 8 x s z 8 x x En pratique, le risque de cyclage est quasiment nul. Méthodes pour l éviter : perturbations, ordre lexicographique pour les variables entrant en base,... Une bonne analyse a priori pour éliminer les redondances est le meilleur moyen d éviter ces problèmes! Solutions optimales multiples Si la fonction objectif est parallèle à une contrainte active pour la solution optimale, la même valeur de l objectif peut être prise par plusieurs solutions admissibles. Il y a une infinité de solutions optimales dans ce cas (toutes les combinaisons convexes de sommets optimaux). Cela se traduit par un profit marginal nul pour une ou plusieurs variables hors base. Exemple 6 (Solutions optimales multiples). Solution optimale : max z = x +x s.c. x +x 5 x +x x, x Var. en base z x x s s Solution z s 5 s z 5 x s z x x x = α + ( α) = α x = 5 α + ( α) = + α ( α ) Problèmes non bornés Certains problèmes sont non bornés dans une direction donnée. Si cette direction est une direction d amélioration de la fonction objectif, celle-ci peut prendre une valeur arbitrairement grande! 5
Exemple 7 (Problèmes non bornés). max z = x +x s.c. x x x x, x Var. en base z x x s s Solution z s s Tous les coefficients (sauf le profit maginal) dans la colonne de x sont négatifs ou nuls. Cela signifie que toutes les contraintes de non-négativité sont satisfaites quelle que soit la valeur de x. L objectif peut donc augmenter indéfiniment. Problèmes impossibles Le système de contraintes peut n avoir aucune solution. Méthode des phases : termine avec des variables artificielles non nulles. Généralement, provient d une mauvaise formulation du problème. Exemple 8 (Problèmes impossibles). max z = x +x s.c. x +x x +x x, x 6
7 Dualité et analyse de sensibilité 7. Le problème dual Problème primal et problème dual Problème primal max s.c. c T x Ax = b x n variables, m contraintes, m < n, c, x R n, b R m, A R m n. Problème dual min s.c. b T y A T y c (y non restreint) m variables, n contraintes, m < n, c, x R n, b R m, A R m n. Exemple 9 (Problème primal et dual - forme standard). Problème primal : max z = x +x s.c. x +x = 5 (y ) x x = 6 (y ) x, x Problème dual : min w = 5y +6y s.c y +y (x ) y y (x ) Propriétés et règles de construction du dual Théorème 5. Le problème dual du problème dual est le problème primal. Règles de construction Exemple 5 (Problème primal et dual - forme générale). Problème primal : Problème max Problème min Contrainte Variable = non restreinte Variable Contrainte non restreinte = max z = 5x +x +x s.c. x +x +x (y ) x x +x = 8 (y ) x, x, x 7
Problème dual : min w = y +8y s.c y +y 5 (x ) y y (x ) y +y (x ) y 7. Relations primal/dual Théorème 5 (Dualité faible). Considérons la paire primale-duale : max s.c. c T x Ax = b x min s.c. b T y A T y c Si x est une solution admissible du primal et y une solution admissible du dual, alors c T x b T y S il y a égalité, alors x est une solution optimale du primal et y une solution optimale du dual. Théorème 5 (Dualité forte). Considérons la paire primale-duale : max s.c. c T x Ax = b x min s.c. b T y A T y c Si le primal et le dual admettent tous les deux une solution admissible, ils ont tous deux une solution optimale finie et la même valeur objectif optimale. Si le primal (dual) est non borné, le dual (primal) n admet pas de solution admissible. Théorème 5 (Complémentarité). Considérons la paire primale-duale : max s.c. c T x Ax = b x min s.c. b T y A T y c 8
Si x est une solution optimale du primal et y une solution optimale du dual, alors x i (a T i y c i ) =. où a i est la i-ème colonne de A. En d autres termes : x i > a T i y = c i, a T i y > c i x i =. Exemple 55 (Résolution du dual par les règles de complémentarité). Primal (P ) : max z = 5x +x +x s.c. x +x +x (y ) x x +x = 8 (y ) x, x, x Dual (D) : Solution optimale de (P ) : min w = y +8y s.c y +y 5 (x ) y y (x ) y +y (x ) y (x, x, x ) = z = 7 5 ( 6 5, ) 5, Solution optimale de (D) : x > y + y = 5 x > y y = ( ) 9 (y, y ) = 5, 5 w = 7 5 7. Interprétation économique de la dualité La forme canonique d un programme linéaire peut être interprétée comme un problème d allocation de ressources. Paire primale-duale : max s.c. c T x Ax b x min s.c. b T y A T y c y 9
Données : c j : profit par unité d activité j. b i : disponibilité de la ressource i. a ij : consommation de la ressource i par unité d activité j. Variables : x j : niveau de l activité j. y i : valeur d une unité de la ressource i. Interprétation de la dualité faible z w : profit valeur des ressources Interprétation de la dualité forte Le profit maximal est atteint si les ressources ont été exploitées complètement, i.e. jusqu à épuisement de leur valeur. Exemple 56 (Dualité dans le problème de production de peinture). max z = 5x +x s.c 6x +x x +x 6 x x +x x, x min w = y +6y +y +y 6y +y y 5 y +y +y +y y, y, y, y x =, x =.5, z = y =.75, y =.5, y = y =, w = Le profit augmente de.75 par augmentation d une tonne de M et de.5 par tonne de M. (Localement. Dans quelles limites? Voir analyse de sensibilité) Les "ressources" et sont abondantes, augmenter ces ressources n apporte aucun profit supplémentaire.
7. Méthode simplexe duale Relations primal / dual dans le tableau du simplexe Tableau primal final Var. en base z x x s s s s Solution z x x 8 s 8 s 8 5 5 Tableau dual final Var. en base w t t y y y y Solution 5 w y 8 8 8 y 5 Ici, toutes les contraintes dans le primal et dans le dual sont des inégalités correspondance entre variable originale du primal et variable d écart du dual (et vice-versa). Primal x x s s s s Dual t t y y y y Observation : Les valeurs des variables duales sont égales à l opposé des profits marginaux des variables correspondantes du primal. Les valeurs des variables primales sont égales aux coûts réduits des variables correspondantes du dual. Conséquence de la complémentarité des solutions primale et duale. Théorème 57. Considérons la paire primale-duale : max s.c. c T x Ax = b x min s.c. b T y A T y c. Pour toute solution de base non dégénérée x du primal, il existe une et une seule solution y du dual complémentaire à x.. x est admissible si et seulement si y satisfait les conditions d optimalité (coûts réduits non négatifs).. y est admissible si et seulement si x satisfait les conditions d optimalité (profits marginaux négatifs ou nuls). Démonstration. Le dual peut se réécrire sous forme standard : min s.c. b T y A T y t = c t
Considérons un ensemble de variables en base B et un ensemble de variables hors base N, tels que la base correspondante est non dégénérée : x B = A B b > x N = Par complémentarité, t B = et A T B y = c B. Dès lors, () et () sont des conséquences directes. y T = c T BA B, tt B = t T N = (c T N c T BA B A N) Simplexe dual : motivation Il arrive souvent qu une solution en base non admissible, mais satisfaisant les contraintes d optimalité soit identifiable facilement (par exemple, variables d écart de contraintes ). Cette base correspond à une solution admissible du dual. Idée de la méthode simplexe duale : résoudre (implicitement) le dual par la méthode du simplexe (mais en travaillant sur le tableau primal!) Partir avec une solution de base statisfaisant les conditions d optimalité (= base admissible pour le dual) et chercher à la rendre admissible (= dual optimale). Règles de pivotage (simplexe dual) Variable sortante Choisir la variable l en base avec la valeur minimum (négative). Si b l pour tout l B, solution admissible, STOP. Variable entrante Choisir la variable k hors base telle que k = arg min c i i N:a li < Si a li pour tout k N, problème non admissible, STOP. Exemple 58 (Simplexe dual). Forme standard avec les variables d écart en base : a li min z = x +x s.c. x +x x +x 6 x +x x, x min z = x +x s.c. x x +s = x x +s = 6 x +x +s = x, x, s, s, s Var. en base z x x s s s Solution z s s 6 s Var. en base z x x s s s Solution z s 5 x s