Systèes oscillants Définition : Un systèe oscillant est un systèe écanique dont le ouveent est périodique et qui s effectue de part et d autre d une position d équilibre stable. A L exeple du pendule pesant I Définitions : pendule pesant et pendule siple 1) Le pendule pesant Un pendule pesant est un solide obile autour d un axe fixe horizontal ne dépassant pas son centre d inertie. Ecarté de sa position d équilibre, il oscille sous la seule action de son poids. 2) Le pendule siple Un pendule siple est constitué d un solide de asse, de petite diension, suspendu par un fil inextensible, de asse négligeable devant celle du solide et de longueur l très supérieure à la diension du solide. Un pendule siple est une odélisation siplificatrice du pendule pesant. 3) Oscillation du pendule Une oscillation du pendule est le trajet effectué par le solide entre deux passages consécutifs, dans le êe sens, par la position d équilibre. II Etude du ouveent du pendule siple Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on étudie le ouveent du centre d inertie du pendule siple. Bilan des forces : Le poids P, la tension du fil T (radiale centripète vers le point d attache du fil). Condition d équilibre du pendule siple : D après la preière loi de Newton : P + T = 0, dans la position d équilibre. Donc P = T θ = 0. Interprétation du ouveent du pendule : F = P + T. 1
La résultante des forces est non nulle, dirigée vers sa position d équilibre E. L enseble des forces tend à raener le systèe vers son état d équilibre. Lorsque le systèe dépasse la position d équilibre, la résultante des forces change de sens et provoque un ralentisseent du systèe, son arrêt. III Lois du pendule siple 1) Loi d isochronise des petites oscillations a. Approche historique Dans l ouvrage Dialogues (1632), Galilée affire, à propos des oscillations d un pendule siple, que : «Chacune de ces oscillations se fait dans des teps égaux, tant celle de 90, que celle de 50, ou de 20, de 10, de 4.». Dans l ouvrage Horlogiu Oscillatoriu (1658), Huygens note que seules les oscillations de faible aplitude doivent être considérées coe isochrones, c est-à-dire avoir une période indépendante de l aplitude. b. Etude expérientale Réalisons une expérience pour lever cette contradiction. Prenons un pendule siple coportant une boule dense et de faible diaètre. Mesurons la durée des cinq preières oscillations pour différentes aplitudes : 60, 45, 30, 15, 10, 5, 3. Les résultats des esures réalisées avec un pendule d une longueur l = 2 : θ ( ) 3 5 10 30 45 60 T (s) 2,85 2,85 2,85 2,90 2,99 3,13 2
c. Interprétation Contraireent aux affirations de Galilée, la période T des oscillations d un pendule siple dépend de l aplitude lorsque celle-ci est supérieure à 10 environ. Lorsque l aplitude des oscillations d un pendule siple est inférieure à environ 10, la période est pratiqueent indépendante de l aplitude (loi d isochronise des petites oscillations). 2) Lois des asses a. Etude expérientale Fabriquons trois pendules siples de êe longueur avec trois boules de êe rayon : l une en plob, l autre en acier, la dernière en bois. Mesurons la période d oscillation de chacun d eux pour une êe aplitude θ. b. Interprétation On choisit des boules de êe diaètre pour que les forces de frotteent de l air soient les êes et que les distances OG soient identiques. Nous constatons que ces pendules, de asses différentes, oscillent avec la êe période. La période T des oscillations d un pendule siple est indépendante de la asse de la boule suspendue à l extréité du fil (loi des asses). 3) Lois des longueurs a. Etude expérientale Prenons un pendule siple de longueur l. Mesurons sa période d oscillations de faible aplitude. Modifions la longueur et faisons une nouvelle esure de période. Etablissons un tableau de esure. Représentons graphiqueent T en fonction de l, puis T² en fonction de l. On obtient les graphiques suivants. 3
b. Interprétation Le carré T² de la période est proportionnel à la longueur l. La période T des oscillations d un pendule siple est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du pendule : T = k. l. 4) Influence de la pesanteur a. Activité Motivation : Le poids P de l objet suspendu tend à raener un pendule vers sa position d équilibre : cette force est la cause des oscillations. La période T pourrait donc dépendre de la valeur P =.g du poids sans dépendre de la asse (loi des asses) : elle dépendrait donc de l intensité g de la pesanteur. Expérience : Au XVIII e siècle, les arins se sont deandés si la période des oscillations du pendule de leurs horloges de arine n était pas odifiée par le changeent de latitude du lieu. Au cours de leurs voyages entre le 50 e parallèle nord et l équateur, ils ne pouvaient pas négliger cette perturbation éventuelle. Aucune variation n était observable par des esures directes de la période, car l écart relatif était de l ordre du illièe. En revanche, la coparaison du teps indiqué par une horloge à pendule avec le teps de passage du Soleil ou d une étoile au éridien révélait des dérives qui ne pouvaient être négligeables. Une horloge «gardait» l heure de Londres. Mais lorsque cette horloge était transportée à l équateur, elle se ettait à retarder de 113 s par jour sidéral. b. Interprétation L intensité g de la pesanteur change avec la latitude, car la Terre n est pas sphérique : elle est aplatie aux pôles. La valeur de g est légèreent plus élevée au 50 parallèle nord qu à l équateur. L horloge régulée par un pendule présentait, par rapport à la êe horloge en Europe, un retard à l équateur : elle avait donc copté, au bout d une journée un plus petit nobre d oscillations ; donc la durée de chaque oscillation, c està-dire la période était devenue trop grande. La période T d un pendule siple augente lorsque l intensité g de la pesanteur diinue. 4
5) Déterination de l expression de la période d un pendule siple l a. Hoogénéité de la forule T = k g Les paraètres l et g qui interviennent dans la période sont dits spécifiques du pendule siple. Montrons à partir d une analyse des unités de esure de la longueur l, de l intensité de la pesanteur g et de la période T que l expression de celle-ci est l de la fore : T = k g l s exprie en ètre () et g en ètre par seconde au carré (.s -2 ). Le quotient l g s exprie donc en, soit en s², et donc 2.s Par conséquent, puisque T s exprie en seconde, on peut écrire k est un coefficient nuérique sans unité. b. Déterination du coefficient k l g s exprie en seconde. T = k Un enseble de esures effectuées sur des oscillations de faible aplitude Tesurée donne, pour le rapport = k, un valeur oyenne de 6,28. l g La théorie du pendule siple, pour des oscillations de faible aplitude peu ou non aorties, ontre que k = 2π. c. Conclusion La période qui ne dépend que des paraètres spécifiques du pendule est appelée période propre du pendule siple, souvent notée T 0. l Son expression est T = 0 2π g, avec T 0 en seconde (s), l en ètre () et g en ètre par seconde au carré (.s -2 ). l g, où IV Oscillations libres aorties 1) Nature des oscillations et grandeur caractéristique Observations expérientales : On réalise l enregistreent et l acquisition du ouveent du centre d inertie d un pendule siple. On trace les variations d aplitude des oscillations en fonction du teps. On observe des oscillations écaniques libres aorties : régie pseudo-périodique. 5
Définition : Ce régie est caractérisé par une pseudo-période : la pseudo-période est la durée T qui sépare deux passages consécutifs du pendule, dans le êe sens, par la position de repos. Déterination graphique de la pseudo-période des oscillations : On esure la durée de plusieurs pseudo-périodes puis on divise cette durée par le nobre de pseudo-périodes coptées, pour plus de précision. Ainsi, on trouve T = 0,9 s sur le docuent. 2) Oscillations faibleent aorties Si l aortisseent est très faible, on considère le régie coe périodique et on assiile la pseudo-période à la période propre de l oscillateur écanique. 3) Oscillations forteent aorties Si les oscillations sont très forteent aorties, on observe un régie apériodique. Les aortisseurs de voiture doivent fonctionner en régie apériodique. V Oscillations forcées et résonance 1) Etude expérientale Le dispositif d étude coporte un pendule constitué d une boule (ou d un disque) fixée sur une tige pouvant tourner autour d un axe fixe grâce à un rouleent à billes. A la partie supérieure de la tige est soudé un arc en fer pouvant pénétrer dans une bobine. La bobine est alientée par un générateur de courant continu qui délivre des ipulsions de courte durée à intervalles de teps égaux notés T E. Quand la bobine est alientée, le fer doux subit l action d une force agnétique attractive. Cette force est périodique de êe période T E que les ipulsions délivrées par le générateur très basse fréquence. 6
Déterinons la période propre T 0 des oscillations libres du pendule peu aorti. T0 Faisons varier la période T E de la force agnétique de à 2T0. 2 Notons dans un tableau, pour chaque période T E choisie : La période T des oscillations forcées du pendule. L aplitude θ des oscillations du pendule. Accroissons l aortisseent du pendule à l aide du dispositif de freinage, puis recoencer l expérience. 7
2) Interprétation 1 La période T (la fréquence et f = ) des oscillations du pendule est la êe que la T 1 période T E ( f = ) de la force agnétique : les oscillations du pendule sont dites T E forcées. Le dispositif {générateur-bobine}, qui ipose sa période, est l excitateur. L aplitude θ des oscillations forcées dépend de la période des T E de l excitateur. Lorsque la période T E de l excitateur est voisine de la période propre T 0 du pendule, l aplitude des oscillations forcées est axiale : on dit qu il y a résonance. Le pendule is en oscillations forcées est appelé résonateur. L aplitude θ des oscillations forcées est d autant plus grande que l aortisseent est faible : la résonance est alors dite aiguë. Quand l aortisseent est iportant, on constate que l aplitude est faible : la résonance est floue ; la période T E de la force agnétique lors de la résonance est netteent différente de la période propre T 0 du pendule. Quand l aortisseent est iportant, la résonance disparaît. 3) Conclusion La période des oscillations forcées d un résonateur est iposée par l excitateur. A la résonance, l aplitude des oscillations du résonateur est axiale. Pour un résonateur peu aorti, la période de résonance est voisine de sa période propre. B L exeple du pendule élastique en translation I Caractéristiques du ressort 1) Constante de raideur d un ressort et force de rappel a. Déterination expérientale Description du dispositif : On accroche un ressort de asse négligeable à spires non jointives sur un support vertical. On note L 0 la longueur à vide du ressort. On suspend une asse à l extréité de ce ressort et on esure la nouvelle longueur L du ressort. On en déduit l allongeent L du ressort. Puis on recoence avec différentes asses. 8
Schéa : Bilan des forces : Le poids P. La force de rappel du ressort F. Déterination de la valeur de la force de rappel : D après la preière loi de Newton : le systèe est dans un état d équilibre : P + F = 0. Par projection suivant un axe vertical orienté vers le haut : P + F = 0 d où P = F d où F = g. 9
Courbe représentant F en fonction de L : La courbe obtenue est une droite croissante passant par l origine. On a donc F proportionnelle à L. F = k. L, avec k la constante de raideur du ressort. k représente le coefficient directeur de la droite : k = 5,3 u.s.i. b. Unité F N k. L 1 2 1 2 [] = = = N. = kg..s. = kg.s 2) Caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort Dispositif expériental : On considère un écanise oscillant odélisé par un solide relié à l une des extréités d un ressort ; l autre extréité du ressort étant fixe. Le solide peut coulisser sur un axe horizontal. Ce systèe constitue un oscillateur élastique en translation horizontale. Bilan des forces appliquées sur le solide : Le poids P. La force de rappel du ressort F. La force exercée par le support R. Le ouveent étant horizontal : les coposantes horizontales se copensent : P + R = 0. 10
Schéas en position d étireent, à l équilibre et en copression : Caractéristiques de F : Point d application : le point de contact entre le solide et le ressort. Direction : l axe du ressort. Sens : vers la position d équilibre. Valeur : F = k. L, ici L = x donc F = k. x. Aspect vectoriel : F = k. x. i, i est le vecteur unitaire de l axe Ox. II Oscillateur élastique en translation 1) Oscillations écaniques libres aorties On enregistre le ouveent du centre d inertie d un solide accroché à un ressort. On observe des oscillations écaniques libres aorties : on parle de régie pseudopériodique. Les oscillations diinuent d aplitude à cause de l enseble des forces de frotteents. 11
Si les frotteents sont très iportants : on observe un régie apériodique. 2) Oscillations écaniques libres non aorties Si les frotteents deviennent négligeables : les oscillations sont périodiques. La pseudo-période devient la période propre du régie périodique. a. Présentation des conditions de l expérience Dispositif expériental : On étudie le ouveent du systèe {asse} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. A l instant t : Conditions initiales : On lâche le systèe d une position x 0 sans vitesse initiale. Bilan des forces : Le poids P. La réaction du support R. La force de rappel du ressort F. Les frotteents sont négligés. 12
b. Etablisseent de l équation différentielle du ouveent D après la deuxièe loi de Newton : F ext =. a G, P + R + F =. a G. Par projection suivant l axe Ox : 0 + 0 F =. a x donc k. x =. a x. dv G dv Or a G = donc a dt = x x dt et dog dx v G = donc v x = ; donc dt dt d² x a x = = & x. dt² d² x On a donc k. x =. & x =.,.& x + k. x = 0. dt² k d² x k D où l équation différentielle du ouveent : & x& +. x = 0 ou +. x = 0. dt² c. Solution générale de l équation différentielle 2π La solution générale est de la fore : x( t) = X t + ϕ.cos.. T0 Avec : X : aplitude axiale des oscillations : abscisse axiale atteinte par le systèe. T 0 : période propre de l oscillateur. ϕ : phase à l origine des dates (constante qui dépend des conditions initiales. d. Expression de la période propre de l oscillateur k On injecte x (t) dans l équation différentielle & x& +. x = 0. 2π x( t) = X t + ϕ.cos.. T0 2π 2π x& ( t) = v t = X t + ϕ x ( )..sin. T0 T0 4π ² 2π & x&( t) = a t = X t + ϕ x ( )..cos. T0 ² T0 4π ² 2π k 2π Donc X..cos t + ϕ +. X.cos + t ϕ = 0 T0 T0 T0 X. 2π 4π ².cos t + ϕ + T0 T0 ² k = 0. 13
Cette équation est vérifiée à toutes les dates, coe 2π 4π ² k 4π ² k x = X.cos. t + ϕ 0. Donc + = 0, d où = d où T0 T0 ² T0 ² T 0 ² = 4π ². k Donc T = 0 2π k. T. Analyse diensionnelle : [ 0 ] = s Montrons que = k [ ] [] k III Oscillations écaniques forcées 1) Excitateur et résonateur a. Motivation = est hoogène à un teps. k kg 1 = = s² = 2 2 kg.s s Il est connu que sur une piste ondulée régulièreent, la conduite autoobile est difficile à certaines vitesses : les oscillations du véhicule prennent une aplitude telle que sa stabilité est enacée. Pourquoi l oscillateur élastique, constitué de l autoobile et de sa suspension, peut-il avoir une aplitude d oscillations iportante lorsqu il est souis à une action extérieure périodique? b. Etude expérientale Réalisons le ontage suivant : s. 14
Faisons varier la période de rotation du oteur entraînant la cae (ou excentrique). Notons l aplitude des oscillations. Accroissons les frotteents à l aide d une rondelle en carton. Observons l effet de l aortisseent. c. Interprétation L activité a peris d observer les oscillations forcées de l oscillateur élastique souis à une force périodique produite par un dispositif appelé excitateur. Pour une fréquence particulière de la force excitatrice, l aplitude des oscillations forcées est axiale : il y a résonance d aplitude. L oscillateur est appelé résonateur. Lorsque l aortisseent du résonateur est faible, l aplitude des oscillations forcées à la résonance est très grande : la résonance est aigüe. La période de résonance est alors voisine de la période propre. L accroisseent de l aortisseent du résonateur se traduit par une diinution de l aplitude des oscillations forcées et par une atténuation de la résonance : la résonance est alors floue. La période de résonance s écarte de la période propre de l oscillateur. 2) Exeples de phénoènes de résonance écanique a. Le haut-parleur La ebrane d un haut-parleur vibre avec la fréquence iposée par la force agnétique produite par le courant qui aliente la bobine placée dans le chap agnétique d un aiant peranent. L aortisseent est tel que la résonance est floue afin de ne pas privilégier des fréquences particulières. 15
b. Les autoobiles Lorsqu une roue d autoobile n est pas équilibrée (son centre d inertie n est pas sur l axe de rotation de la roue), il apparaît une vibration gênante dans la conduite : le shiy. Si une partie de la carrosserie est al serrée, elle peut se ettre en vibration avec une aplitude iportante pour une certaine vitesse de l autoobile et engendrer un bruit fort désagréable. c. Les achines tournantes Les oteurs électriques, alternateurs et outils en rotation, peuvent se coporter coe une roue d autoobile. Un équilibrage défectueux entraîne des vibrations qui ont souvent des conséquences très doageables pour la achine et son environneent. d. Les ouvrages antisisiques Les ieubles et les barrages construits dans les régions sisiques doivent être conçus de anière à éviter les résonances avec les éventuelles vibrations du sol. 16