Une introduction aux poutres planes

Une introduction aux poutres planes Principe des travaux virtuels Poutres homogènes planes Géométrie et chargement Equilibre Lois de comportement Poutres composites

Efforts extérieurs et déplacements imposés u d F d Déplacement imposé u d sur la surface Ω u Force répartie imposée F d sur la f d Ω surface Ω F Force volumique imposée f d à l intérieur de Ω Champ u CCA (cinématiquement admissible) : u = u d sur Ω u ε (grad = 0.5 u + grad T u ) Champ σ CA (statiquement admissible) : σ.n = Fd sur Ω F divσ + f d = 0 dans Ω Poutres planes Principe des travaux virtuels

Pour σ Evaluation du travail développé par σ CA et u CCA non reliés par la loi de comportement dans u Ω Ω σijε ijdω = = = = σijε ijdω = Ω 1 2 σ ij σiju i,jdω Ω Ω Ω Ω ( u i,j + u ) j,i dω ( (σ ) ij u i),j σ ij,ju i dω σijn j u id σij,ju idω Ω F i u id + fi d u idω Ω Théorème des travaux virtuels : u i, variation autour d un état d équilibre (u i = 0 sur Ω u ) Ω σ ijε ijdω = δw int = δw ext = Ω F F d i u id + Ω f d i u idω Poutres planes Principe des travaux virtuels

Poutre droite chargée dans son plan x 3 P p t F x 1 M Forces concentrées P perpendiculaire à l axe de la poutre, F dans l axe de la poutre Forces surfaciques p perpendiculaire à l axe de la poutre, t dans l axe de la poutre Moment de flexion M autour de x 2 - l axe de la poutre, x 1, est droit, la section est à une abscisse x 1 ; - la poutre se déforme dans le plan x 1 x 3, qui est plan principal d inertie ; - la poutre transmet des efforts normaux en direction x 1, des cisaillements en direction x 3 et des moments autour de l axe x 2. - L axe x 1 joint est le lieu des centres d inerties des sections : x 3d = 0 Poutres planes Définitions

Cinématique de la poutre de Timoshenko L idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, de la structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont d autant plus satisfaisantes que l élancement est important (et fausses dans le cas contraire). Pour traiter le cas d une poutre plane, on conserve dans la description géométrique deux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugués (au sens du travail virtuel). ollicitation axe de la poutre perp à l axe moment de flexion «force» N T M «déplacement» U V θ Pour le cas d une poutre mince, on néglige le cisaillement (modèle N, M, Navier Bernoulli). Poutres planes Définitions

Cinématique de la poutre de Timoshenko u 1 = U (x 1 ) + θ x 3 u 3 = V (x 1 ) ε 11 = U,1 + θ,1x 3 2ε 13 = V,1 + θ Géométrie et cinématique d une poutre plane, (a) plan de la ligne neutre, (b) section Poutres planes Définitions

Travaux virtuels des efforts internes δw int = = V L (ε 11σ 11 + 2ε 13σ 13 )dv ( U,1 σ 11 d + θ,1 x 3 σ 11 d + (V,1 + θ ) ) σ 13 d dx 1 On introduit alors naturellement les quantités N, T, M conjuguées de U, V, θ : N = σ 11 d T = σ 13 d M = x 3 σ 11 d ce qui donne : δw int = L ( NU,1 + Mθ,1 + T (V,1 + θ ) ) dx 1 Poutres planes Efforts intérieurs

Traitement du travail des efforts intérieurs A partir de : δw int = L ( NU,1 + Mθ,1 + T (V,1 + θ ) ) dx 1 On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple : NU,1dx 1 = ((NU ),1 N,1 U ) dx 1 = [NU ] L 0 N,1 U dx 1 L d où : δw int = L L ( N,1 U M,1 θ T,1 V + T θ )) dx 1 +N(0)U (0) N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) +M(0)θ (0) M(L)θ (L) L Poutres planes Efforts intérieurs

Travail des efforts extérieurs On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x 1 = 0 et x 1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont : les forces normales F 0 et F L, tangentielles P 0 et P L, les moments M 0 et M L, les efforts répartis sur la surface, représentés par des densités linéiques normales p et tangentielle t : δw ext = F 0 U (0) + F L U (L) + P 0 V (0) + P L V (L) + M 0 θ (0) + M L θ (L) + (pv + tu )) dx 1 L Poutres planes Efforts extérieurs

Caractérisation de l équilibre δw int = L ( N,1 U M,1 θ T,1 V + T θ )) dx 1 +N(0)U (0) N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) +M(0)θ (0) M(L)θ (L) δw ext = F 0 U (0) + F L U (L) + P 0 V (0) + P L V (L) + M 0 θ (0) + M L θ (L) + (pv + tu )) dx 1 L Comme l égalité δw int + δw ext = 0 est valable quel que soit le triplet (U, V, θ ), on trouve, en identifiant terme à terme les expressions de δw int et δw ext : N(0) = F 0 N(L) = F L T (0) = P 0 T (L) = P L et : M(0) = M 0 M(L) = M L N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 Poutres planes Equilibre

Ecriture de l équilibre On pose : N = σ 11 d T = σ 13 d M = x 3 σ 11 d On obtient : N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 t p ignification physique pour une «tranche» de la poutre dn = tdx 1 T N M N+dN T+dT M+dM dt = pdx 1 dm = T dx 1 Poutres planes Equilibre

Lois de comportement : force axiale On a Eε 11 = σ 11 ν(σ 22 + σ 33 ) On néglige σ 22 et σ 33 N = σ 11 d = Eε 11 d = Eu 1,1 d N = EU,1 d + E(θx 3 ),1 d Le deuxième terme du développement est nul. N = U, 1E Poutres planes Loi de comportement

Lois de comportement : moment M = x 3 σ 11 d = x 3 Eε 11 d = x 3 U,1 d + x 3 (θx 3 ),1 d Le premier terme du développement est nul. avec I = M = θ,1 x 2 3d = θ,1 I x 2 3 d, rigidité à la flexion, si bien que : M = x 3σ 11 d = EIθ,1 NB : pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I = 2bh3 3 Poutres planes Loi de comportement

Lois de comportement : cisaillement T = σ 13 = 2µε 13 d = µ(u 1,3 + u 3,1 )d = µ (θ + V,1 ) d si bien que : T = µ(θ + V,1 ) Poutres planes Loi de comportement

Lois de comportement Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure. N = EU,1 T = µ(θ + V,1 ) M = EIθ,1 V,1 = θ + T/µ θ,1 = M/EI M,1 T = 0 T,1 + p = 0 Poutres planes Loi de comportement

Déformée flexion cisaillement Le terme de cisaillement, produit une évolution linéaire de la flèche. Le terme de flexion pure lié au moment M est en puissance 3 de x 1 V,11 = θ,1 = M EI V,111 = M, 1 EI = T EI La flèche est obtenue comme solution d un problème d ordre 4 par rapport aux efforts appliqués : V,1111 = p EI Poutres planes Loi de comportement

Méthode de résolution Le déplacement horizontal s obtient en intégrant la relation : U,1 = N/E La rotation relative entre les sections s obtient en intégrant la relation : θ,1 = M/EI La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l un provenant de la rotation elle même, et l autre de l effort tranchant T : V,1 = θ + T/µ Poutres planes Loi de comportement

Remarques Expression des contraintes locales La connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de contrainte locaux. ( Eε 11 = Eu 1,1 ) est la somme de deux termes, dus à l élongation et à la flexion : σ 11 = N/ + Mx 3 /I i le cisaillement est négligeable θ = V,1 M = EIV,11 Poutres planes Loi de comportement

Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points) x 3 P x 1 si x 1 < l : T = P/2 ; M = P x 1 /2 si x 1 > l : T = P/2 ; M = P (l x 1 /2) T,M P/2 Pl/2 M x 1 T P/2 Poutres planes Flexion 3 points

Flexion 3 points : calcul de la flèche max L angle θ est tel que θ,1 = P x 1 /2EI, et, comme il est nul en x 1 = l, on a : θ = P (x2 1 l 2 ) 4EI La flèche, qui est nulle en x 1 = 0, se calcule par : V = x1 0 θdx 1 + x1 0 T µ dx 1 soit : V = P l3 6EI + P l 2µ Poutres planes Flexion 3 points

Flexion 3 points : calcul de la flèche max V = P l3 6EI + P l 2µ Application numérique : P = 160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-épaisseur) EI = 2 3 100 75000 23 = 40000000 N.mm 2 µ = 75000 2 1.3 100 2 = 5769231 N v = ( 10.41 + 0.0017) mm Le terme lié à l effort tranchant est négligeable. Poutres planes Flexion 3 points

Poutre sandwich en flexion 3 points x 3 P e e 2l 2h x 1 On considère un sandwich, avec au centre ( h < x 3 < h) un matériau à faibles propriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques E m et µ m ), et, de chaque côté ( h e < x 3 < h et h < x 3 < h + e) une couche métallique (caractéristiques élastiques E a et µ a ). Poutres planes Poutre sandwich

Poutre sandwich : force axiale N = σ 11 d La contrainte σ 11 est discontinue, et : σ 11 (x 3 ) = E(x 3 )ε 11 σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) N = U,1 si bien que : E(x 3 )d + θ,1 E(x 3 )x 3 d E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la seconde intégrale est nulle N =< E > U,1 avec < E >= E(x 3 )d Poutres planes Poutre sandwich

Poutre sandwich : moment M = x 3 σ 11 d σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) M = U,1 si bien que : x 3 E(x 3 )d + θ,1 E(x 3 )x 2 3d E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la première intégrale est nulle M =< EI > θ,1 avec < EI >= E(x 3 )x 2 3d Poutres planes Poutre sandwich

Poutre sandwich : cisaillement La contrainte σ 13 est continue à l interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeur donnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x 1 est non nulle, alors que la surface x 3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ 13 n est pas égale à 2µε 13. x 3 σ 13 = 0 σ 31 x 3 σ 13 x 1 σ 11 T = σ 13 d b 0 +h h σ 13 dx 2 dx 3 = (V,1 + θ) +h h 2bµ(x 3 )dx 3 T < µ > +h h (V,1 + θ) Poutres planes Poutre sandwich

Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d utiliser les valeurs homogénéisées des produits EI et µ : v = P l 3 6 < EI > + P l 2 < µ > L aluminium (e a, µ a ), est situé entre les cotes ±h et ±(h + e). La mousse (E m, µ m ) entre les cotes ±h. Il vient donc : < EI >= 2 3 b(e a((h + e) 3 h 3 ) + µ m h 3 ) < µ >= 2bhE m Poutres planes Poutre sandwich

Poutre sandwich en flexion 3 points Application numérique : L ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E a = 75000 MPa, E m = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à : < EI >= 2 3 100(75000 (173 15 3 ) + 20 15 3 ) = 7694500000 N.mm 2 < µ >= 2 100 15 20 2 1.3 = 23077 N V = (0.054 + 0.867) mm C est maintenant le terme lié à l effort tranchant qui est prépondérant. On note l importance qu il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d Young de 0,80 MPa au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l avantage de l assemblage «sandwich». Poutres planes Poutre sandwich

Finite element computations Material parameter Aluminium alloy : Young s modulus E a, Poisson s ratio ν a = 0.3 Foam, calcul B : Young s modulus E f, Poisson s ratio ν f Geometry Foam thickness 2h, Alu thickness = e Length Width of the plate = 500 mm 100 mm F Loading Force/unit width F = 1.5 N/mm 2h e e Aluminium Foam Poutres planes Poutre sandwich

Finite element computations Mesh and boundary conditions Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3 Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, ν=0.2 Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2 Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm Force YM V1 V2 V3 Bottom Poutres planes Poutre sandwich

Finite element computations Coarse and Fine meshes Poutres planes Poutre sandwich

y Finite element computations Deformed y shapes z x A y z x B z x C Poutres planes Poutre sandwich

Vertical displacement 2 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet coarse A fine A bending shear total -2 U2 (mm) -4-6 -8-10 -12 0 50 100 150 200 250 300 < - - - center - - Y - - right support - - - > Poutres planes Poutre sandwich

Vertical displacement 0.1 0-0.1 Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core fine B bending shear total -0.2-0.3 U2 (mm) -0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9 0 50 100 150 200 250 300 < - - - center - - Y - - right support - - - > Poutres planes Poutre sandwich

Vertical displacement 5 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core fine B bending shear total -5-10 U2 (mm) -15-20 -25-30 -35 0 50 100 150 200 250 300 < - - - center - - Y - - right support - - - > Poutres planes Poutre sandwich