Contrôle n 4 ème 1 2heures. Calculatrices autorisées. Partie numérique: 21 points Exercice 1: 4 points Les rennes et les lutins du père Noël ont décidé de partager leur dernier repas avant la grande tournée du 24 décembre. Par soucis d'équité, et conformément à leur régime alimentaire, les rennes se partagent 180 carottes et les lutins 4 petits pains. Extraordinaire: ils ont tous le même nombre d'aliments.. 1) Combien chacun des congénères va-t-il manger d'aliments sachant qu'il y a un minimum de rennes? 2) Combien y-a-t-il de lutins? ) Combien y a-t-il de rennes derrière Nicolas, le petit renne au nez rouge? Exercice 2: 4 points D = ( x 7) 2 ( x 7) ( 2 x 4) 1) Développer et réduire D. 2) Calculer D pour x = 2 ) Factoriser D. 4) Résoudre ( x 7) ( x 1) = 0 Exercice : points 1. Donner G sous forme d'une fraction irréductible. G = 1 ( 1 4 + 4 4 ) 2. Le père Noël a vendu le quart de son pré aux rennes en 02 et les quatre cinquièmes du reste en 0. a. Quelle fraction de la propriété a été vendue en 0? b. Quelle fraction de la propriété reste invendue à l'issue des deux années? c. Quelle était la superficie de la propriété sachant que la partie invendue au bout des deux années représente six hectares? Exercice 4: 7 points On donne un programme de calcul : Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. Ajouter 4 à ce produit. Ecrire le résultat. 1. Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre - 2, on obtient 0. 2. Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est. a) Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie). b) En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul? Justifier la réponse. 4. On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ? Exercice : points Démontrer que si n est un nombre entier, alors ( n n ) est divisible à la fois par 2 et par.
Partie géométrique: 19 points Exercice 1: points ABCD est un carré. E est le point de [AD] tel que AE = 1 AD. F est le point de [AB] tel que AF = 1 AB. 1. Démontrer que les droites (EF) et (DB) sont parallèles. 2. a) Par quel nombre doit-on multiplier la longueur BD pour obtenir la longueur EF? Justifier la réponse donnée. b) Par quel nombre doit-on multiplier l'aire du triangle ABD pour obtenir l'aire du triangle AEF? Justifier la réponse donnée. Exercice 2: 6 points La pyramide ABCD représentée sur la figure ci-contre :. a pour base ABCD, carré de centimètres de côté;. a pour hauteur [A] et A = 4 cm. On admettra que :. les faces AB et AD sont des triangles rectangles en A;. la face DC est un triangle rectangle en D. 1. ans faire de calculs, tracer avec précision un patron de la pyramide ABCD. 2. En utilisant le patron et en reportant à l'aide du compas les longueurs nécessaires, tracer en vraie grandeur le triangle BD.. Calculer le volume V de la pyramide ABCD. 4. Calculer la longueur D.. On donne C = 4 cm. Que peut-on en déduire pour le triangle DC? Exercice : points Une boîte de chocolats noirs a la forme d'un cône de révolution sectionné par un plan parallèle à la base. La partie supérieure est le couvercle et la partie inférieure contient les chocolats. On donne AB = 0 cm O = 18 cm O ' = 6 cm 1. Calculer le volume du cône de sommet et de base le cercle C 1.Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité. 2. a) Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du cône de sommet et de base C 1 au cône de sommet et de base C 2. b) En déduire le volume du cône de sommet et de base C 2. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.. Calculer le volume du récipient qui contient les chocolats (sans le couvercle).on A O' O C 2 C 1 B ne donnera que la valeur exacte. Exercice 4: pt Une boîte est formée d un cylindre de hauteur 8 cm, surmontée d une demi-sphère de rayon cm. 1. Calculer le volume V de la boîte en cm. (on donnera une valeur approchée au mm ) 2. Cette boîte est agrandie avec un coefficient k = 2. Calculer le volume V de la boîte agrandie. cm 8 cm
Correction ème 1 Partie numérique: 17 points Exercice 1: 4 points 1. A = 7 6 2 10 7 2 10 A = 6 10 A = 0 10 2 A = 10 1 2. Pour rendre irréductible une fraction, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD. On utilise l'algorithme d'euclide 270 = 18 1 + 910 18 = 910 2 + 0 Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD (270 ; 18 ) = 910 18 18 : 910 = 270 270 : 910 18 270 = 2 Exercice 2: 4 points 1) On note n le nombre d'aliments que chacun va manger. On note l le nombre de lutins et r le nombre de rennes. n l = 4 n r = 180 Donc n est un diviseur commun à 4 et 180. Comme on veut un minimum de rennes, cela implique que chacun mange un maximum d'aliments. Donc n est le PGCD de 4 et 180. On utilise l'algorithme d'euclide 4 = 180 1 + 16 180 = 16 1 + 1 16 = 1 11 + 0 Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD (4 ; 180) = 1. Chacun va manger 1 aliments. 2) 4 : 1 = 2. Il y a 2 lutins. ) 180 : 1 = 12. Il y a 12 rennes au total, donc 11 rennes derrière le petit Nicolas. Exercice : 4 points 1) D = 2 x 2 2 x 7 + 7 2 ( 10 x 2 x 14 x + 28) D = 2 x 2 70 x + 49 10 x 2 + 4 x 28 D = 1 x 2 6 x + 21 2) D = 1 ( 2) 2 6 ( 2) + 21 D = 1 4 + 72 + 21 D = 1 ) D = ( x 7) ( x 7 ( 2 x 4)) D = ( x 7 ) ( x 7 2 x + 4) D = ( x 7) ( x ) 4) ( x 7) ( x 1) = 0 Un produit de facteurs est nul lorsqu'au moins l'un des facteurs est nul x 7 = 0 ou x 1 = 0 x = 7 ou x = 1 x = 7 ou x = 1 L'équation a deux solutions: 7 et 1. Exercice 4: points 1. G = 1 ( + 12 ) G = 1 17 G = 2. a. i le Père Noël a vendu le quart de son pré aux rennes en 02, il en restait trois quarts. 4 4 = Le Père Noël a vendu de son terrain en 0. b. On note f cette fraction: f = 1 1 4 c. On note x la superficie d'origine. x = 6 donc x = 6 Exercice : 7 pt 1) ( ( 2) + 4 ) ( 2) + 4 = 2 ( 2 ) + 4 ( ( 2) + 4 ) ( 2) + 4 = 4 + 4 ( ( 2) + 4 ) ( 2) + 4 = 0 (0, pt) 2) ( + 4 ) + 4 = 9 + 4 ( + 4 ) + 4 = 49 (0, pt) f = G f = Il reste de parcelle invendue. x = 40 La parcelle faisait à l'origine 40 hectares.
) a) ( 1 + 4 ) 1 + 4 = 1 + 4 ( 1 + 4 ) 1 + 4 = 9 ( 1 + 4 ) 1 + 4 = 2 (2 pt: à chaque fois, 0, pour le calcul, 0, pour le carré) ( 2 + 4 ) 2 + 4 = 6 2 + 4 ( 2 + 4 ) 2 + 4 = 16 ( 2 + 4 ) 2 + 4 = 4 2 b) On note x le nombre choisit au départ. ( x + 4 ) x + 4 = x 2 + 4 x + 4 ( x + 4 ) x + 4 = (x + 2 ) 2 2, points décomposés en : 0, pt pour l apparition d une lettre 0, pt pour (x + 4) x + 4 0, pt pour le développement 1 pt pour la factorisation 4) (x + 2 ) 2 = 1 (x + 2 ) 2 1 = 0 (x + 2 + 1) ( x + 2 1 ) = 0 (x + ) ( x + 1 ) = 0 Un produit de facteurs est nul lorsqu au moins un des facteurs est nul. x + = 0 ou x + 1 = 0 x = ou x = 1 L équation a deux solutions et 1. Il faut donc choisir ces deux nombres au départ. 1, points pour les deux réponses exactes 1 pt pour une démarche cohérente débouchant sur une valeur exacte. Exercice 6: n n = n ( n 2 1) n n = n ( n + 1 ) ( n 1 ) n étant entiers, n 1, n, et n + 1 sont trois entiers consécutifs. Donc n n est bien le produit de trois entiers L'un d'entre eux est nécessairement divisible par et au moins l'un des trois est pair, donc divisible par 2. consécutifs. Partie géométrique Exercice 1: 1. AE AD = 1 AF AB = 1 AE Donc AD = AF AB De plus dans le triangle ABD, F (AB) E (AD). A, E et D sont rangés dans le même ordre que A, F et B D'après la réciproque du théorème de Thales, les droites (EF) et (BD) sont parallèles. 2.a) Comme les droites (EF) et (BD) sont parallèles, cela veut dire que les triangles AEF et ABD forment une configuration de Thales. Donc AEF est une réduction de ABD de rapport AE AD soit 1. Grâce à cette réduction, on sait qu'il faut multiplier la longueur BD par 1 pour obtenir EF. 2. b) Grâce à cette réduction, on sait qu'il fait multiplier l'aire de ABD par ( 1 ) 2 soit 1 pour obtenir l'aire de AEF. 9 Exercice 2: ) V = 1 AB 2 A V = 1 2 4 V = 12 cm 4) AD est un triangle rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore, D 2 = A 2 + AD 2 D 2 = 4 2 + 2 D 2 = 2. D est une longueur donc D est positif donc D = 2 donc D = cm ) C 2 = 4 D 2 + CD 2 = 2 + 9 D 2 + CD 2 = 4 D 2 + CD 2 = C 2. Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, CD est rectangle en D.
Exercice : 1) AB est le diamètre du cercle C 1. Donc le rayon est AB soit 1 cm. 2 On note V 1 le volume du cône C 1. V 1 = 1 π OA2 O V 1 = 1 π 1 2 18 V 1 = 10 π cm V 1 4241 cm 2) a) On note k le coefficient de réduction cherché. k = O ' k = 6 k = 1 O 18 b) On note V 2 le volume de C 2. V 2 = ( 1 ) V 1 V 2 = 1 27 10π V 2 = 0 π cm V 2 17 cm. ) V = V 1 V 2 V = 10 π 0 π V = 100 π. cm Exercice 4: 1) V = π R 2 h + 1 2 ( 4 π R ) V = π 2 8 + 2 π V = 72 π + 18 π V = 90 π. cm V 282,74 cm 2) V ' = 2 V V '= 8 90 π V ' = 7 π cm Exercice : chaque boule a un diamètre 10 cm, donc cm de rayon a) On note le volume perdu V: V = 10 4 π. V = 1 000 12 4 π V = 1000 00 π cm V 476 cm b) D mesure cm de diamètre, donc 2, cm de rayon. OO 1 B est un triangle rectangle en O 1. On peut appliquer le théorème de Pythagore. OB 2 = OO 1 2 + O 1 B 2. R 2 = h 2 + O 1 B 2 h 2 = R 2 2, 2 h 2 = 2 2, 2 h 2 = 2 6,2 h 2 = 18,7 h est une longueur donc h > 0. h = 18,7 h 4, cm C D Exercice 2 patron de la pyramide B A